Transformarea Laplace-Stieltjes

Transformata Laplace-Stieltjes , al cărei nume se datorează lui Pierre-Simon Laplace și Thomas Joannes Stieltjes , este o transformată integrală care are caracteristici foarte asemănătoare transformatei Laplace . Pentru funcțiile cu valoare reală este transformata Laplace a unei măsuri Stieltjes , în timp ce, în general, este definită de obicei pe funcții evaluate într-un spațiu Banach .

Funcții reale

Transformarea Laplace-Stieltjes a unei funcții reale -evaluate $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este dat de integralul lui Lebesgue-Stieltjes :

\int \mathrm {e} ^{-sx}\,dg(x)\qquad s\in \mathbb {C}

{\ displaystyle \ int \ mathrm {e} ^ {- sx} \, dg (x) \ qquad s \ in \ mathbb {C}}

{\ displaystyle \ int \ mathrm {e} ^ {- sx} \, dg (x) \ qquad s \ in \ mathbb {C}}

De obicei necesită asta $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este o funcție cu variație limitată în regiunea de integrare. Cele mai utilizate formulări sunt transformarea bilaterală :

\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-sx}\,dg(x)

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} g \} (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- sx} \, dg ( X)}

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} g \} (s) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- sx} \, dg ( X)}

și transformarea unilaterală :

\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }\mathrm {e} ^{-sx}\,dg(x)

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} g \} (s) = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- sx} \, dg (x)}

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} g \} (s) = \ int _ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- sx} \, dg (x)}

unde limita inferioară $0^{-}$ ${\ displaystyle 0 ^ {-}}$ $0 ^ {-}$ inseamna:

\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }

{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ infty}}

{\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ {- \ varepsilon} ^ {\ infty}}

Acest lucru vă permite să integrați funcții precum delta Dirac (formal o distribuție ), care nu sunt delimitate în origine. Putem lua în considerare versiuni mai generale ale transformării Laplace-Stieltjes prin integrarea de-a lungul unei curbe în planul complex.

În cazul unei funcții scalare, apare un caz special al transformării Laplace a unei măsuri Stieltjes:

{\mathcal {L}}^{*}g={\mathcal {L}}(dg)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {*} g = {\ mathcal {L}} (dg)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {*} g = {\ mathcal {L}} (dg)}

În special, împărtășește multe proprietăți ale transformatei Laplace obișnuite, de exemplu teorema convoluției :

\{{\mathcal {L}}^{*}(g*h)\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)\{{\mathcal {L}}^{*}h\}(s)

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} (g * h) \} (s) = \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} g \} (s) \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} h \} (s)}

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} (g * h) \} (s) = \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} g \} (s) \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} h \} (s)}

Adesea sunt luate în considerare numai valorile reale $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ totuși, dacă integrala există ca integrală Lebesgue pentru o valoare reală dată $s=\sigma$ ${\ displaystyle s = \ sigma}$ ${\ displaystyle s = \ sigma}$ atunci există pentru fiecare $s\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {C}}$ astfel încât $\Re (s)\geq \sigma$ ${\ displaystyle \ Re (s) \ geq \ sigma}$ ${\ displaystyle \ Re (s) \ geq \ sigma}$ .

În teoria probabilității , fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ o variabilă aleatorie cu funcție de distribuție cumulativă $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Apoi, transformarea Laplace - Stieltjes este dată de valoarea așteptării :

\{{\mathcal {L}}^{*}F\}(s)=\mathrm {E} \left[\mathrm {e} ^{-sX}\right]

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} F \} (s) = \ mathrm {E} \ left [\ mathrm {e} ^ {- sX} \ right]}

{\ displaystyle \ {{\ mathcal {L}} ^ {*} F \} (s) = \ mathrm {E} \ left [\ mathrm {e} ^ {- sX} \ right]}

Măsurători vectoriale

Pentru funcțiile cu valoare reală, transformata Laplace-Stieltjes este un caz particular al transformatei Laplace aplicată unei măsuri, măsura Stieltjes asociată cu funcția. Cu toate acestea, transformata Laplace convențională nu poate gestiona măsuri vectoriale , care trimit într-un spațiu Banach .

Este $g:[0,\infty )\to X$ ${\ displaystyle g: [0, \ infty) \ to X}$ ${\ displaystyle g: [0, \ infty) \ to X}$ , cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu Banach, astfel încât pentru fiecare sub-interval $[0,T]$ ${\ displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ avem:

\sup \sum _{i}\|g(t_{i})-g(t_{i+1})\|_{X}<\infty

{\ displaystyle \ sup \ sum _ {i} \ | g (t_ {i}) - g (t_ {i + 1}) \ | _ {X} <\ infty}

{\ displaystyle \ sup \ sum _ {i} \ | g (t_ {i}) - g (t_ {i + 1}) \ | _ {X} <\ infty}

unde limita superioară este evaluată pe toate partițiile posibile ale $[0,T]$ ${\ displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ :

0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T

{\ displaystyle 0 = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {n} = T}

{\ displaystyle 0 = t_ {0} <t_ {1} <\ cdots <t_ {n} = T}

Integrala Lebesgue-Stieltjes față de măsura vectorială $d g$ ${\ displaystyle dg}$ ${\ displaystyle dg}$ :

\int _{0}^{T}e^{-st}dg(t)

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} e ^ {- st} dg (t)}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} e ^ {- st} dg (t)}

este definit ca o integrală Riemann-Stieltjes . Dacă și $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ este partiția considerată a $[0,T]$ ${\ displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ cu subdiviziune $0=t_{0}\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}=T$ ${\ displaystyle 0 = t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ dots \ leq t_ {n} = T}$ ${\ displaystyle 0 = t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ dots \ leq t_ {n} = T}$ , puncte distincte $\tau _{i}\in [t_{i},t_{i+1}]$ ${\ displaystyle \ tau _ {i} \ în [t_ {i}, t_ {i + 1}]}$ ${\ displaystyle \ tau _ {i} \ în [t_ {i}, t_ {i + 1}]}$ și dimensiunea $|\pi |=\max |t_{i}-t_{i+1}|$ ${\ displaystyle | \ pi | = \ max | t_ {i} -t_ {i + 1} |}$ ${\ displaystyle | \ pi | = \ max | t_ {i} -t_ {i + 1} |}$ , integralul Riemann - Stieltjes este dat de valoarea limitei:

\lim _{|\pi |\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}e^{-s\tau _{i}}[g(t_{i+1})-g(t_{i})]

{\ displaystyle \ lim _ {| \ pi | \ to 0} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} e ^ {- s \ tau _ {i}} [g (t_ {i + 1} ) -g (t_ {i})]}

{\ displaystyle \ lim _ {| \ pi | \ to 0} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} e ^ {- s \ tau _ {i}} [g (t_ {i + 1} ) -g (t_ {i})]}

considerat în topologia pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , unde, dacă există limita:

\lim _{T\to \infty }\int _{0}^{T}e^{-st}dg(t)

{\ displaystyle \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {T} e ^ {- st} dg (t)}

{\ displaystyle \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {T} e ^ {- st} dg (t)}

este egal cu transformarea Laplace - Stieltjes a $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ .

Bibliografie

KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Metode matematice pentru fizică și inginerie , 3rd, Cambridge University Press, 2010, p. 455, ISBN 978-0-521-86153-3 .
JJDistefano, AR Stubberud, IJ Williams, Feedback systems and control , 2nd, Schaum's schițe, 1995, p. 78, ISBN 0-07-017052-5 .

Elemente conexe

Portal de verificări automate

Portalul de matematică