Măsură vectorială

În matematică , o măsură vectorială este o generalizare a conceptului de măsură .

Definiție

Dat fiind o algebră de mulțimi $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$ și un spațiu Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , o măsură vectorială finit aditivă (uneori numită pur și simplu măsură ) este o funcție $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ ${\ displaystyle \ mu: {\ mathcal {F}} \ to X}$ ${\ displaystyle \ mu: {\ mathcal {F}} \ to X}$ astfel încât pentru orice pereche de seturi disjuncte $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ apare:

\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)

{\ displaystyle \ mu (A \ cup B) = \ mu (A) + \ mu (B)}

{\ displaystyle \ mu (A \ cup B) = \ mu (A) + \ mu (B)}

O măsură vectorială $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ se numește aditiv numeric dacă pentru fiecare secvență $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ ${\ displaystyle (A_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle (A_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ de seturi disjuncte ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ astfel încât unirea lor este în ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ avem:

\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {i}) }

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {i}) }

unde seria din partea dreaptă converge în norma de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Se poate arăta că o măsură vectorială aditivă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este numeric aditiv dacă și numai dacă pentru fiecare secvență $(A_{i})_{i=1}^{\infty }$ ${\ displaystyle (A_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle (A_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ definit ca mai sus apare:

\lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\displaystyle \bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ | \ mu \ left (\ displaystyle \ bigcup _ {i = n} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) \ right \ | = 0 }

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ | \ mu \ left (\ displaystyle \ bigcup _ {i = n} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) \ right \ | = 0 }

unde este $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ este norma pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Măsurile vectoriale aditive numerice definite pe sigma-algebre sunt mai generale decât noțiunile de măsură , măsură cu semn și măsură complexă , care sunt funcții aditive numerice care se mapează respectiv pe linia reală extinsă $[0,\infty ]$ ${\ displaystyle [0, \ infty]}$ $[0, \ infty]$ , $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ Și $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .

Variația unei măsuri vectoriale

Dintr-o măsură vectorială $\mu :{\mathcal {F}}\to X$ ${\ displaystyle \ mu: {\ mathcal {F}} \ to X}$ ${\ displaystyle \ mu: {\ mathcal {F}} \ to X}$ , variația $|\mu |$ ${\ displaystyle | \ mu |}$ $| \ mu |$ din $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este definit ca:

|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|

{\ displaystyle | \ mu | (A) = \ sup \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ | \ mu (A_ {i}) \ |}

{\ displaystyle | \ mu | (A) = \ sup \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ | \ mu (A_ {i}) \ |}

unde limita superioară este luată luând în considerare toate partițiile :

A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}

{\ displaystyle A = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}}

{\ displaystyle A = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}}

din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ într-un număr finit de seturi disjuncte, pentru fiecare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ , și norma $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ este norma pe $X .$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle X.}$

Variația de $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o funcție finit aditivă care se mapează la $[0,\infty ]$ ${\ displaystyle [0, \ infty]}$ $[0, \ infty]$ . De asemenea avem:

||\mu (A)||\leq |\mu |(A)

{\ displaystyle || \ mu (A) || \ leq | \ mu | (A)}

{\ displaystyle || \ mu (A) || \ leq | \ mu | (A)}

pentru fiecare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ . De sine $|\mu |(\Omega )$ ${\ displaystyle | \ mu | (\ Omega)}$ ${\ displaystyle | \ mu | (\ Omega)}$ masura s-a terminat $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ se spune că are o variație limitată . Poate arăta că dacă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură vectorială cu variație limitată atunci $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este numeric aditiv dacă și numai dacă $|\mu |$ ${\ displaystyle | \ mu |}$ $| \ mu |$ este numeric aditiv.

Bibliografie

( EN ) Donald L. Cohn, Măsura teoriei , retipărire, Boston - Basel - Stuttgart, Birkhäuser Verlag , 1997 [1980] , pp. IX + 373, ISBN 3-7643-3003-1. , Zbl 0436.28001 .
( EN ) Joe Diestel și Jerry J., Jr. Uhl, Vector mesures, Mathematical Surveys, vol. 15, Providence, RI, American Mathematical Society, 1977, pp. xiii + 322, ISBN 0-8218-1515-6 .
( EN ) Kluvánek, I., Knowles, G., Vector Measures and Control Systems , North-Holland Mathematics Studies 20 , Amsterdam, 1976.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) D. van Dulst, Vector measure , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică