Măsurați cu semn

În matematică , o măsură semnată este o generalizare a conceptului de măsură care poate fi și negativă.

Definiție

Având în vedere un spațiu măsurabil $(X,\Sigma )$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ , adică un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu o algebră sigma $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ o măsură semnată este o funcție :

\mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}

{\ displaystyle \ mu: \ Sigma \ to \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty, - \ infty \}}

{\ displaystyle \ mu: \ Sigma \ to \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty, - \ infty \}}

care este sigma aditivă , adică satisface ecuația:

\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) }

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) }

pentru fiecare succesiune $A_{1},A_{2}\dots A_{n},\dots$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2} \ dots A_ {n}, \ dots}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2} \ dots A_ {n}, \ dots}$ de seturi disjuncte $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ . Trebuie remarcat faptul că o măsură semnată poate lua ca valoare doar mai infinită sau doar mai puțin infinită.

Pentru a evita confuzia cu măsurile obișnuite, măsurile care nu iau valori negative vor fi numite măsuri non-negative , spre deosebire de măsurile semnate care pot lua valori negative. Pentru simplitate, vom presupune că valoarea $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ nu este niciodată asumat de măsura semnată în cauză, iar cazul opus este similar.

Suma a două măsuri semnate cu valoare finită este o măsură semnată, la fel ca și produsul unei măsuri semnate cu valoare finită printr-un număr real. Rezultă că setul de măsuri semnate cu valori finite pe un spațiu măsurabil $(X,\Sigma )$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ este un spațiu vectorial real. Mai mult, variația totală definește o normă prin care spațiul măsurilor devine un spațiu Banach .

Proprietate

Același subiect în detaliu: teorema descompunerii lui Hahn .

O măsură semnată este diferența dintre două măsuri non-negative. De fapt, teorema descompunerii lui Hahn afirmă că, dată fiind o măsură cu semn $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , există două seturi măsurabile $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât:

$P\cup N=X$ ${\ displaystyle P \ cup N = X}$ ${\ displaystyle P \ cup N = X}$ Și $P\cap N=\emptyset$ ${\ displaystyle P \ cap N = \ emptyset}$ ${\ displaystyle P \ cap N = \ emptyset}$ .
$\mu (E)>0$ ${\ displaystyle \ mu (E)> 0}$ ${\ displaystyle \ mu (E)> 0}$ pentru fiecare $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ în $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ astfel încât $E\subseteq P$ ${\ displaystyle E \ subseteq P}$ ${\ displaystyle E \ subseteq P}$ . Cu alte cuvinte, $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un tot pozitiv .
$\mu (E)\leq 0$ ${\ displaystyle \ mu (E) \ leq 0}$ ${\ displaystyle \ mu (E) \ leq 0}$ pentru fiecare $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ în $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ astfel încât $E\subseteq N$ ${\ displaystyle E \ subseteq N}$ ${\ displaystyle E \ subseteq N}$ . Cu alte cuvinte, $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este un set negativ.

De asemenea, descompunerea este unică, cu excepția cazului în care adăugați / scădea din $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ μ-seturi nule.

Luând în considerare două măsuri non-negative $\mu ^{+}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {+}}$ $\ mu ^ {+}$ Și $\mu ^{-}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {-}}$ $\ mu ^ {-}$ definit de:

\mu ^{+}(E)=\mu (P\cap E)\qquad \mu ^{-}(E)=-\mu (N\cap E)

{\ displaystyle \ mu ^ {+} (E) = \ mu (P \ cap E) \ qquad \ mu ^ {-} (E) = - \ mu (N \ cap E)}

{\ displaystyle \ mu ^ {+} (E) = \ mu (P \ cap E) \ qquad \ mu ^ {-} (E) = - \ mu (N \ cap E)}

pentru fiecare set măsurabil $E\in \Sigma$ ${\ displaystyle E \ in \ Sigma}$ ${\ displaystyle E \ in \ Sigma}$ .

Se poate arăta că $\mu ^{+}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {+}}$ $\ mu ^ {+}$ Și $\mu ^{-}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {-}}$ $\ mu ^ {-}$ acestea sunt măsuri non-negative, a doua luând numai valori finite și se numește părți pozitive și, respectiv, negative $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ . Avem asta:

\mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}

{\ displaystyle \ mu = \ mu ^ {+} - \ mu ^ {-}}

{\ displaystyle \ mu = \ mu ^ {+} - \ mu ^ {-}}

Masura:

|\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}

{\ displaystyle | \ mu | = \ mu ^ {+} + \ mu ^ {-}}

{\ displaystyle | \ mu | = \ mu ^ {+} + \ mu ^ {-}}

se numește variația lui $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , și valoarea sa maximă posibilă, $\|\mu \|=|\mu |(X)$ ${\ displaystyle \ | \ mu \ | = | \ mu | (X)}$ ${\ displaystyle \ | \ mu \ | = | \ mu | (X)}$ , se numește schimbarea totală a $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Această consecință a teoremei descompunerii lui Hahn se numește descompunerea lui Jordan. Măsuri $\mu ^{+}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {+}}$ $\ mu ^ {+}$ , $\mu ^{-}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {-}}$ $\ mu ^ {-}$ Și $|\mu |$ ${\ displaystyle | \ mu |}$ $| \ mu |$ sunt independente de alegerea $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ în teorema descompunerii lui Hahn.

Spațiul măsurilor semnate

Suma a două măsuri finite semnate este încă o măsură semnată, la fel ca și produsul unei măsuri finite semnate cu un număr real. Din această închidere în raport cu combinația liniară derivă faptul că setul de măsuri finite cu semn pe spațiul de măsurare $(X,\Sigma )$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ $(X, \ Sigma)$ este un spațiu vectorial real, ceea ce nu este cazul măsurilor pozitive . Mai mult, variația totală (descrisă în paragraful anterior) definește o normă cu privire la care spațiul măsurilor finite semnate devine un spațiu Banach .

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu compact separabil , atunci spațiul măsurilor Baire finite semnate este dualul spațiului real Banach al funcțiilor continue cu valoare reală pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , prin teorema reprezentării lui Riesz .

Exemple

Consideră-o o măsură non-negativă $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ pe spațiu $(X,\Sigma )$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ și o funcție măsurabilă $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ $f: X \ to \ R$ astfel încât:

\int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty

{\ displaystyle \ int _ {X} \! | f (x) | \, d \ nu (x) <\ infty}

{\ displaystyle \ int _ {X} \! | f (x) | \, d \ nu (x) <\ infty}

Astfel, o măsură semnată este dată de:

\mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)

{\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} \! f (x) \, d \ nu (x)}

{\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} \! f (x) \, d \ nu (x)}

pentru toți $A\in \Sigma$ ${\ displaystyle A \ in \ Sigma}$ $A \ in \ Sigma$ . Această măsură ia numai valori finite. Pentru a vă permite să angajați $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ ca valoare trebuie să înlocuim presupunerea că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este absolut integrabil cu condiția mai puțin strictă:

\int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty

{\ displaystyle \ int _ {X} \! f ^ {-} (x) \, d \ nu (x) <\ infty}

{\ displaystyle \ int _ {X} \! f ^ {-} (x) \, d \ nu (x) <\ infty}

unde este:

f^{-}(x)=\max(-f(x),0)

{\ displaystyle f ^ {-} (x) = \ max (-f (x), 0)}

{\ displaystyle f ^ {-} (x) = \ max (-f (x), 0)}

este partea negativă a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Bibliografie

(EN) Donald L. Cohn, Teoria măsurătorilor, Birkhäuser, 1997. ISBN 3-7643-3003-1 .
( EN ) P. Billingsley, Convergența măsurilor de probabilitate , Wiley (1968)
( EN ) N. Bourbaki, Elements of math. Integrare , Addison-Wesley (1975) pp. Capitolul 6; 7; 8

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) MI Voitsekhovskii, Măsură semnată , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică