Teorema descompunerii lui Hahn

În matematică , teorema descompunerii lui Hahn , numită după matematicianul austriac Hans Hahn , afirmă că dat un spațiu măsurabil $(X,\Sigma )$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ $(X, \ Sigma)$ și o măsură semnată $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ definit pe sigma-algebră $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ , există două seturi măsurabile $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ în $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ astfel încât:

$P\cup N=X$ ${\ displaystyle P \ cup N = X}$ ${\ displaystyle P \ cup N = X}$ Și $P\cap N=\emptyset$ ${\ displaystyle P \ cap N = \ emptyset}$ ${\ displaystyle P \ cap N = \ emptyset}$
Pentru fiecare $E\in \Sigma$ ${\ displaystyle E \ in \ Sigma}$ ${\ displaystyle E \ in \ Sigma}$ astfel încât $E\subseteq P$ ${\ displaystyle E \ subseteq P}$ ${\ displaystyle E \ subseteq P}$ apare $\mu (E)\geq 0$ ${\ displaystyle \ mu (E) \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mu (E) \ geq 0}$ , adică $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un set pozitiv pentru $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .
Pentru fiecare $E\in \Sigma$ ${\ displaystyle E \ in \ Sigma}$ ${\ displaystyle E \ in \ Sigma}$ astfel încât $E\subseteq N$ ${\ displaystyle E \ subseteq N}$ ${\ displaystyle E \ subseteq N}$ apare $\mu (E)\leq 0$ ${\ displaystyle \ mu (E) \ leq 0}$ ${\ displaystyle \ mu (E) \ leq 0}$ , adică $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este un set negativ pentru $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Mai mult, această descompunere este în esență unică : pentru orice alt cuplu ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ Și ${Nu.}^{'}$ ${\ displaystyle N '}$ $N '$ de mulțimi măsurabile care satisfac definiția diferențe simetrice $P\Delta P'$ ${\ displaystyle P \ Delta P '}$ ${\ displaystyle P \ Delta P '}$ Și $N\Delta N'$ ${\ displaystyle N \ Delta N '}$ ${\ displaystyle N \ Delta N '}$ sunt seturi $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ -nul, în sensul că fiecare dintre subseturile lor are măsură zero față de măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ . Cuplul $(P,N)$ ${\ displaystyle (P, N)}$ ${\ displaystyle (P, N)}$ se numește descompunerea lui Hahn .

Teorema descompunerii lui Jordan

O consecință a teoremei descompunerii lui Hahn este teorema descompunerii lui Jordan, care afirmă că fiecare măsură semnată $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ poate fi descompus în mod unic în diferență:

\mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}

{\ displaystyle \ mu = \ mu ^ {+} - \ mu ^ {-}}

{\ displaystyle \ mu = \ mu ^ {+} - \ mu ^ {-}}

a două măsuri pozitive $\mu ^{+}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {+}}$ $\ mu ^ {+}$ Și $\mu ^{-}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {-}}$ $\ mu ^ {-}$ , dintre care cel puțin una dintre cele două este o măsură finită, astfel încât $\mu ^{+}(E)=0$ ${\ displaystyle \ mu ^ {+} (E) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {+} (E) = 0}$ de sine $E\subseteq N$ ${\ displaystyle E \ subseteq N}$ ${\ displaystyle E \ subseteq N}$ Și $\mu ^{-}(E)=0$ ${\ displaystyle \ mu ^ {-} (E) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {-} (E) = 0}$ de sine $E\subseteq P$ ${\ displaystyle E \ subseteq P}$ ${\ displaystyle E \ subseteq P}$ pentru fiecare descompunere Hahn $(P,N)$ ${\ displaystyle (P, N)}$ ${\ displaystyle (P, N)}$ din $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ . Cele două măsuri $\mu ^{+}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {+}}$ $\ mu ^ {+}$ Și $\mu ^{-}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {-}}$ $\ mu ^ {-}$ sunt numite părțile pozitive și, respectiv, negative ale $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , și cuplul $(\mu ^{+},\mu ^{-})$ ${\ displaystyle (\ mu ^ {+}, \ mu ^ {-})}$ ${\ displaystyle (\ mu ^ {+}, \ mu ^ {-})}$ se numește descompunere Jordan sau descompunere Hahn-Jordan .

Cele două măsuri pot fi definite ca:

\mu ^{+}(E):=\mu (E\cap P)\qquad \mu ^{-}(E):=-\mu (E\cap N)\qquad \forall E\in \Sigma

{\ displaystyle \ mu ^ {+} (E): = \ mu (E \ cap P) \ qquad \ mu ^ {-} (E): = - \ mu (E \ cap N) \ qquad \ forall E \ în \ Sigma}

{\ displaystyle \ mu ^ {+} (E): = \ mu (E \ cap P) \ qquad \ mu ^ {-} (E): = - \ mu (E \ cap N) \ qquad \ forall E \ în \ Sigma}

pentru fiecare descompunere Hahn $(P,N)$ ${\ displaystyle (P, N)}$ ${\ displaystyle (P, N)}$ din $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ . Descompunerea lui Jordan este unică (în timp ce descompunerea lui Hahn este doar esențial unică).

Ca corolar, având în vedere o descompunere a Iordaniei $(\mu ^{+},\mu ^{-})$ ${\ displaystyle (\ mu ^ {+}, \ mu ^ {-})}$ ${\ displaystyle (\ mu ^ {+}, \ mu ^ {-})}$ a unei măsuri finite $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , avem:

\mu ^{+}(E)=\sup _{B\in \Sigma ,B\subset E}\mu (B)\qquad \mu ^{-}(E)=-\inf _{B\in \Sigma ,B\subset E}\mu (B)\qquad \forall E\in \Sigma

{\ displaystyle \ mu ^ {+} (E) = \ sup _ {B \ in \ Sigma, B \ subset E} \ mu (B) \ qquad \ mu ^ {-} (E) = - \ inf _ { B \ in \ Sigma, B \ subset E} \ mu (B) \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}

{\ displaystyle \ mu ^ {+} (E) = \ sup _ {B \ in \ Sigma, B \ subset E} \ mu (B) \ qquad \ mu ^ {-} (E) = - \ inf _ { B \ in \ Sigma, B \ subset E} \ mu (B) \ qquad \ forall E \ in \ Sigma}

De asemenea, dacă $\mu =\nu ^{+}-\nu ^{-}$ ${\ displaystyle \ mu = \ nu ^ {+} - \ nu ^ {-}}$ ${\ displaystyle \ mu = \ nu ^ {+} - \ nu ^ {-}}$ pentru o pereche de măsuri finite și non-negative $(\nu ^{+},\nu ^{-})$ ${\ displaystyle (\ nu ^ {+}, \ nu ^ {-})}$ ${\ displaystyle (\ nu ^ {+}, \ nu ^ {-})}$ , asa de:

\nu ^{+}\geq \mu ^{+}\qquad \nu ^{-}\geq \mu ^{-}

{\ displaystyle \ nu ^ {+} \ geq \ mu ^ {+} \ qquad \ nu ^ {-} \ geq \ mu ^ {-}}

{\ displaystyle \ nu ^ {+} \ geq \ mu ^ {+} \ qquad \ nu ^ {-} \ geq \ mu ^ {-}}

ceea ce înseamnă că descompunerea Iordaniei este descompunerea minimă a $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ în diferența a două măsuri non-negative. În unele texte vorbim despre „proprietatea minimalității” descompunerii Iordaniei.

Demonstrație

Dovada teoremei descompunerii lui Hahn poate fi împărțită, pentru comoditate, în trei părți. În prima este prezentată o lemă preliminară, în a doua se construiește descompunerea și în a treia este demonstrată unicitatea ei.

Un set negativ este un set $A\in \Sigma$ ${\ displaystyle A \ in \ Sigma}$ $A \ in \ Sigma$ astfel încât $\mu (B)\leq 0$ ${\ displaystyle \ mu (B) \ leq 0}$ ${\ displaystyle \ mu (B) \ leq 0}$ pentru fiecare $B\in \Sigma$ ${\ displaystyle B \ in \ Sigma}$ ${\ displaystyle B \ in \ Sigma}$ care este un subset de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Asuma ca $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ nu preia valoare $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , este asta $D\in \Sigma$ ${\ displaystyle D \ in \ Sigma}$ ${\ displaystyle D \ in \ Sigma}$ satisface $\mu (D)\leq 0$ ${\ displaystyle \ mu (D) \ leq 0}$ ${\ displaystyle \ mu (D) \ leq 0}$ . Apoi, există un set negativ $A\subseteq D$ ${\ displaystyle A \ subseteq D}$ ${\ displaystyle A \ subseteq D}$ astfel încât $\mu (A)\leq \mu (D)$ ${\ displaystyle \ mu (A) \ leq \ mu (D)}$ ${\ displaystyle \ mu (A) \ leq \ mu (D)}$ .

Pentru a dovedi acest fapt, fie el

A_{0}=D

{\ displaystyle A_ {0} = D}

{\ displaystyle A_ {0} = D}

și presupuneți prin inducție că pentru

n\in \mathbb {N}

{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}

n \ in \ mathbb {N}

poate fi găsit

A_{n}\subseteq D

{\ displaystyle A_ {n} \ subseteq D}

{\ displaystyle A_ {n} \ subseteq D}

. Să fie și:

t_{n}=\sup\{\mu (B):B\in \Sigma ,\,B\subset A_{n}\}

{\ displaystyle t_ {n} = \ sup \ {\ mu (B): B \ in \ Sigma, \, B \ subset A_ {n} \}}

{\ displaystyle t_ {n} = \ sup \ {\ mu (B): B \ in \ Sigma, \, B \ subset A_ {n} \}}

extremul superior al

\mu (B)

{\ displaystyle \ mu (B)}

{\ displaystyle \ mu (B)}

evaluat pe toate subseturile măsurabile

B.

{\ displaystyle B}

B.

din

A_{n}

{\ displaystyle A_ {n}}

A_ {n}

, care poate fi și infinit. Deoarece setul este gol

\emptyset

{\ displaystyle \ emptyset}

\ emptyset

este un posibil candidat pentru

B.

{\ displaystyle B}

B.

în definiția lui

t_{n}

{\ displaystyle t_ {n}}

t_n

, este asta

\mu (\emptyset )=0

{\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}

{\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}

, da

t_{n}\geq 0

{\ displaystyle t_ {n} \ geq 0}

{\ displaystyle t_ {n} \ geq 0}

. Așa cum a fost definit

t_{n}

{\ displaystyle t_ {n}}

t_n

, există

B_{n}\subseteq A_{n}

{\ displaystyle B_ {n} \ subseteq A_ {n}}

{\ displaystyle B_ {n} \ subseteq A_ {n}}

în

\Sigma

{\ displaystyle \ Sigma}

\ Sigma

care satisface:

\mu (B_{n})\geq \min\{1,t_{n}/2\}

{\ displaystyle \ mu (B_ {n}) \ geq \ min \ {1, t_ {n} / 2 \}}

{\ displaystyle \ mu (B_ {n}) \ geq \ min \ {1, t_ {n} / 2 \}}

Pentru a încheia procedura inductivă este suficient să întrebați

A_{n+1}=A_{n}\setminus B_{n}

{\ displaystyle A_ {n + 1} = A_ {n} \ setminus B_ {n}}

{\ displaystyle A_ {n + 1} = A_ {n} \ setminus B_ {n}}

. Definire:

A=D\setminus \bigcup _{n=0}^{\infty }B_{n}

{\ displaystyle A = D \ setminus \ bigcup _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n}}

{\ displaystyle A = D \ setminus \ bigcup _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n}}

din moment ce decorurile

(B_{n})_{n\geq 0}

{\ displaystyle (B_ {n}) _ {n \ geq 0}}

{\ displaystyle (B_ {n}) _ {n \ geq 0}}

sunt subseturi disjuncte de

D.

{\ displaystyle D}

D.

, rezultă din aditivitatea sigma a măsurii semnate

\mu

{\ displaystyle \ mu}

\ mu

acea:

\mu (A)=\mu (D)-\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B_{n})\leq \mu (D)-\sum _{n=0}^{\infty }\min\{1,t_{n}/2\}

{\ displaystyle \ mu (A) = \ mu (D) - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mu (B_ {n}) \ leq \ mu (D) - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ min \ {1, t_ {n} / 2 \}}

{\ displaystyle \ mu (A) = \ mu (D) - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mu (B_ {n}) \ leq \ mu (D) - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ min \ {1, t_ {n} / 2 \}}

Asta arată că

\mu (A)\leq \mu (D)

{\ displaystyle \ mu (A) \ leq \ mu (D)}

{\ displaystyle \ mu (A) \ leq \ mu (D)}

. De sine

LA

{\ displaystyle A}

LA

este un set negativ, atunci există

B.

{\ displaystyle B}

B.

în

\Sigma

{\ displaystyle \ Sigma}

\ Sigma

care este un subset de

LA

{\ displaystyle A}

LA

și satisface

\mu (B)>0

{\ displaystyle \ mu (B)> 0}

{\ displaystyle \ mu (B)> 0}

. Atunci

t_{n}\geq \mu (B)

{\ displaystyle t_ {n} \ geq \ mu (B)}

{\ displaystyle t_ {n} \ geq \ mu (B)}

pentru fiecare n și, prin urmare, seria din partea dreaptă divergă a

+\infty

{\ displaystyle + \ infty}

+ \ infty

, ceea ce înseamnă că

\mu (A)=-\infty

{\ displaystyle \ mu (A) = - \ infty}

{\ displaystyle \ mu (A) = - \ infty}

, ceea ce nu este permis. Prin urmare,

LA

{\ displaystyle A}

LA

trebuie să fie un set negativ.

Este $N_{0}\neq \emptyset$ ${\ displaystyle N_ {0} \ neq \ emptyset}$ ${\ displaystyle N_ {0} \ neq \ emptyset}$ . Prin inducție, dat $N_{n}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ este definit:

s_{n}:=\inf\{\mu (D):D\in \Sigma ,\,D\subset X\setminus N_{n}\}

{\ displaystyle s_ {n}: = \ inf \ {\ mu (D): D \ in \ Sigma, \, D \ subset X \ setminus N_ {n} \}}

{\ displaystyle s_ {n}: = \ inf \ {\ mu (D): D \ in \ Sigma, \, D \ subset X \ setminus N_ {n} \}}

ca extremă inferioară (care poate rezista

-\infty

{\ displaystyle - \ infty}

- \ infty

) din

\mu (D)

{\ displaystyle \ mu (D)}

{\ displaystyle \ mu (D)}

pentru toate subseturile măsurabile

D\subset X\setminus N_{n}

{\ displaystyle D \ subset X \ setminus N_ {n}}

{\ displaystyle D \ subset X \ setminus N_ {n}}

. De cand

D.

{\ displaystyle D}

D.

poate fi și setul gol, și asta

\mu (\emptyset )=0

{\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}

{\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}

, da

s_{n}\leq 0

{\ displaystyle s_ {n} \ leq 0}

{\ displaystyle s_ {n} \ leq 0}

. Deci există

D_{n}

{\ displaystyle D_ {n}}

D_n

în

\Sigma

{\ displaystyle \ Sigma}

\ Sigma

cu

D_{n}\subseteq X\setminus N_{n}

{\ displaystyle D_ {n} \ subseteq X \ setminus N_ {n}}

{\ displaystyle D_ {n} \ subseteq X \ setminus N_ {n}}

Și:

\mu (D_{n})\leq \max\{s_{n}/2,-1\}\leq 0

{\ displaystyle \ mu (D_ {n}) \ leq \ max \ {s_ {n} / 2, -1 \} \ leq 0}

{\ displaystyle \ mu (D_ {n}) \ leq \ max \ {s_ {n} / 2, -1 \} \ leq 0}

După cum sa menționat în prima parte a dovezii, există un set negativ

A_{n}\subseteq D_{n}

{\ displaystyle A_ {n} \ subseteq D_ {n}}

{\ displaystyle A_ {n} \ subseteq D_ {n}}

astfel încât

\mu (A_{n})\leq \mu (D_{n})

{\ displaystyle \ mu (A_ {n}) \ leq \ mu (D_ {n})}

{\ displaystyle \ mu (A_ {n}) \ leq \ mu (D_ {n})}

. Pentru a încheia procedura inductivă, apare

N_{n+1}=N_{n}\cup A_{n}

{\ displaystyle N_ {n + 1} = N_ {n} \ cup A_ {n}}

{\ displaystyle N_ {n + 1} = N_ {n} \ cup A_ {n}}

.

Este:

N=\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}

{\ displaystyle N = \ bigcup _ {n = 0} ^ {\ infty} A_ {n}}

{\ displaystyle N = \ bigcup _ {n = 0} ^ {\ infty} A_ {n}}

Din moment ce decorurile

(A_{n})_{n\geq 0}

{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}

{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 0}}

sunt disjuncte, unul are pentru fiecare

B\subseteq N

{\ displaystyle B \ subseteq N}

{\ displaystyle B \ subseteq N}

în

\Sigma

{\ displaystyle \ Sigma}

\ Sigma

acea:

\mu (B)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B\cap A_{n})

{\ displaystyle \ mu (B) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mu (B \ cap A_ {n})}

{\ displaystyle \ mu (B) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mu (B \ cap A_ {n})}

datorită sigma-aditivitate a

\mu

{\ displaystyle \ mu}

\ mu

. Mai exact, acest lucru arată că

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

este un set negativ. Definire

P=X\setminus N_{n}

{\ displaystyle P = X \ setminus N_ {n}}

{\ displaystyle P = X \ setminus N_ {n}}

, de sine

P.

{\ displaystyle P}

P.

nu este un set pozitiv, atunci există

D\subseteq P

{\ displaystyle D \ subseteq P}

{\ displaystyle D \ subseteq P}

în

\Sigma

{\ displaystyle \ Sigma}

\ Sigma

cu

\mu (D)<0

{\ displaystyle \ mu (D) <0}

{\ displaystyle \ mu (D) <0}

. Atunci

s_{n}\leq \mu (D)

{\ displaystyle s_ {n} \ leq \ mu (D)}

{\ displaystyle s_ {n} \ leq \ mu (D)}

pentru fiecare n și:

\mu (N)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (A_{n})\leq \sum _{n=0}^{\infty }\max\{s_{n}/2,-1\}=-\infty

{\ displaystyle \ mu (N) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ max \ {s_ {n} / 2, -1 \} = - \ infty}

{\ displaystyle \ mu (N) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ max \ {s_ {n} / 2, -1 \} = - \ infty}

pentru care nu este permis

\mu

{\ displaystyle \ mu}

\ mu

. Prin urmare,

P.

{\ displaystyle P}

P.

este un tot pozitiv.

Pentru a experimenta unicitatea, fie $(N',P')$ ${\ displaystyle (N ', P')}$ ${\ displaystyle (N ', P')}$ o altă descompunere Hahn a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Dar apoi $P\cap N'$ ${\ displaystyle P \ cap N '}$ ${\ displaystyle P \ cap N '}$ este un set pozitiv și, de asemenea, un set negativ, deci fiecare subset al acestuia are măsură zero. Același lucru este valabil și pentru $N\cap P'$ ${\ displaystyle N \ cap P '}$ ${\ displaystyle N \ cap P '}$ . De cand:

P\,\triangle \,P'=N\,\triangle \,N'=(P\cap N')\cup (N\cap P')

{\ displaystyle P \, \ triangle \, P '= N \, \ triangle \, N' = (P \ cap N ') \ cup (N \ cap P')}

{\ displaystyle P \, \ triangle \, P '= N \, \ triangle \, N' = (P \ cap N ') \ cup (N \ cap P')}

demonstrația s-a terminat.

Bibliografie

( EN ) Patrick Billingsley,Probability and Measure - Ediția a treia , seria Wiley în probabilitate și statistici matematice, New York, John Wiley & Sons, 1995, ISBN 0-471-00710-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VI Sobolev, descompunerea Hahn , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Teorema descompunerii Hahn , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică