Atât pozitiv cât și negativ în același timp

În matematică , se spune că un set este pozitiv (respectiv negativ ) în raport cu măsura semnată $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ dacă fiecare dintre subseturile sale are o măsură non-negativă (respectiv ne-pozitivă).

Definiție

În mod formal, este oferit un spațiu de măsurare $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ , cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ împreună diferit de gol , ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ o σ-algebră a subseturilor lui X și $\mu :{\mathfrak {F}}\longrightarrow \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}$ ${\ displaystyle \ mu: {\ mathfrak {F}} \ longrightarrow \ mathbb {R} \ cup \ left \ {- \ infty, + \ infty \ right \}}$ ${\ displaystyle \ mu: {\ mathfrak {F}} \ longrightarrow \ mathbb {R} \ cup \ left \ {- \ infty, + \ infty \ right \}}$ este o măsură semnată.

Având un set $E\in {\mathfrak {F}},\quad E\subset X$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}}, \ quad E \ subset X}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}}, \ quad E \ subset X}$ , se spune că este pozitiv dacă fiecare set $E^{*}\subset E,\quad E^{*}\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle E ^ {*} \ subset E, \ quad E ^ {*} \ in {\ mathfrak {F}}}$ ${\ displaystyle E ^ {*} \ subset E, \ quad E ^ {*} \ in {\ mathfrak {F}}}$ este astfel încât $\mu (E^{*})\geq 0.$ ${\ displaystyle \ mu (E ^ {*}) \ geq 0.}$ ${\ displaystyle \ mu (E ^ {*}) \ geq 0.}$

În mod similar, este posibil să se definească un set negativ:

Având un set $E\in {\mathfrak {F}},\quad E\subset X$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}}, \ quad E \ subset X}$ ${\ displaystyle E \ in {\ mathfrak {F}}, \ quad E \ subset X}$ , se spune că este negativ dacă fiecare set $E^{*}\subset E,\quad E^{*}\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle E ^ {*} \ subset E, \ quad E ^ {*} \ in {\ mathfrak {F}}}$ ${\ displaystyle E ^ {*} \ subset E, \ quad E ^ {*} \ in {\ mathfrak {F}}}$ este astfel încât $\mu (E^{*})\leq 0.$ ${\ displaystyle \ mu (E ^ {*}) \ leq 0.}$ ${\ displaystyle \ mu (E ^ {*}) \ leq 0.}$

Observații: Setul pozitiv (negativ) nu trebuie confundat în niciun caz cu un set de măsurare pozitiv (negativ).

Proprietate

Setul gol este atât un set negativ, cât și un set pozitiv.
Orice subset al unui set pozitiv (negativ) este încă pozitiv (negativ).
Uniunea numărabilă a mulțimilor pozitive (negative) disjuncte este pozitivă (negativă).

Proprietățile 2. și 3. implică faptul că

4. Uniunea numărabilă a seturilor pozitive (negative) este încă pozitivă (negativă)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică