Zona cu semn
Această intrare sau secțiune despre geometrie nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
Termenul de zonă semnată se referă la o măsurare cu valori reale care este atribuită unei figuri plane mărginite de o curbă închisă orientată.
Să trecem la definiție pas cu pas, luând în considerare cifre mai elaborate, pentru a arăta cum această noțiune permite unificarea diferitelor instrumente de calcul crescute pentru a stimula diferite nevoi. În special, servește la justificarea semnului determinantului matricilor de ordinul 2 și a numeroaselor formule de geometrie analitică .
Zona unei histograme
Să luăm în considerare planul combinatoriu Z x Z și un pătrat elementar sau pătrat mic având vârfurile la punctele (0,0), (1,0), (1,1) și (0,1): este natural să atribuiți-i aria 1. Aceeași zonă de unitate este atribuită oricărui alt pătrat având ca vârfuri (i, j), (i + 1, j), (i + 1, j + 1) și (i, j + 1) , oricare ar fi numerele întregi i și j. Această atribuire ar trebui considerată ca o consecință a invarianței zonei prin traducere.
Considerăm apoi o histogramă obținută prin plasarea coloanelor formate din pătrate suprapuse unul lângă altul astfel încât să aibă toate bazele coloanelor pe axa absciselor și prima coloană cu laturile din stânga pe axa ordonatelor. Fie n coloanele și k 1 , k 2 , ..., k n înălțimile (numerele pătratelor) următoarelor coloane. Aria acestei histograme este dată cu valoarea
Această atribuire ar trebui considerată ca o consecință a cererii de aditivitate a zonei. Mai mult, histograma poate fi considerată ca un model al operației de însumare; dacă ne gândim la pătrate ca la dale sau dale de mozaic, avem un model material foarte tangibil al însumării.
Adunările unei însumări precum cea anterioară sunt doar numere întregi pozitive, în timp ce este util să se ia în considerare și adunările zero și negative (de exemplu pentru a reprezenta evenimente financiare care pot prezenta atât câștiguri, cât și pierderi). Completele negative pot fi reprezentate cu pătrate plasate sub axa abscisei. O zonă negativă ar trebui atribuită acestor pătrate „agățate” de axa absciselor. Căutăm o caracterizare geometrică a acestei negativități.
Zona histogramei anterioare, obținută cu pătrate deasupra axei abscisei, poate fi văzută închisă de un circuit închis care începe de la origine, are un segment orizontal care se termină în (n, 0), urcă până la punctul (n, k n ) și apoi urmează conturul superior al histogramei înapoi la punctul (0, k 1 ) și în cele din urmă coboară înapoi la origine. Când călătoriți prin acest circuit închis cu un obiect în mișcare (un stilou), toate pătratele care contribuie la zonă se află în stânga obiectului. O direcție pozitivă este atribuită circuitului (= în sens invers acelor de ceasornic) și zona regiunii înconjurate este presupusă a fi pozitivă.
Dacă, pe de altă parte, aveți o histogramă cu doar pătrate sub axa abscisei, aceasta este asociată cu un circuit care începe cu o cursă pe axa abscisei, apoi se deplasează vertical, apoi se deplasează înapoi la limita inferioară a configurației și în cele din urmă se întoarce la origine. Direcția negativă (= în sensul acelor de ceasornic) este asociată unui astfel de circuit și se presupune că zona regiunii înconjurate este negativă.
În cazul unei histograme cu pătrate deasupra și sub axa abscisei, există un circuit care începe cu linia orizontală obișnuită și apoi se mișcă înapoi pe perimetrul histogramei atingând din nou axa abscisei: avem, așadar, un circuit împletit. Este ușor de văzut că un obiect care trece prin circuit lasă la stânga pătratele contribuind cu zone pozitive și la dreapta pătratele care contribuie cu zone negative (în aplicația financiară acestea ar fi pătratele de debit).
Zona unei regiuni de rețea
O zonă semnată poate fi asociată cu orice configurație de pătrate mici definite printr-o cale închisă constând numai din secțiuni orizontale și verticale, oricât de legate sunt. Această generalizare corespunde necesității invarianței zonei pentru traduceri.
Este interesant să se definească modul în care zona se schimbă ca urmare a reflexiilor. După cum se poate vedea din reflecția cu privire la bou în cazul unei histograme financiare, acesta ar trebui să-și schimbe semnul. De fapt, o reflecție transformă un circuit neînțors de la sensul acelor de ceasornic la sens invers acelor de ceasornic și invers.
Domenii în planul rațional
Sunt considerați poligoane închise și orientate cu vârfuri raționale.
Cele mai simple definesc dreptunghiuri și ariile sunt exprimate cu diferențele în coordonatele vârfurilor.
Pentru ariile definite de triunghiuri cu picioare orizontale și verticale, se impune invarianța p și rotația lui π și zona b * h / 2 este atribuită acestui triunghi.
O regiune definită de poligon care este convexă se descompune în triunghiuri, iar aria sa este definită prin aditivitate. În consecință, circuitele se descompun.
Un poligon închis simplu se descompune în poligonale închise convexe. Un poligon generic (întrețesut) se descompune în poligoane simple.
De asemenea, puteți avea căi închise repetate și regula nu se schimbă.
Dacă se aplică o transformare liniară determinată de matricea M, aria este transformată de un factor det M.
Aceasta rezultă din interpretarea determinantului ca zonă a figurii obținute prin modificarea pătratului cu vârfuri (0,0), (1,0), (1,1) și (0,1).