Măsurarea la valorile proiectorului

În matematică , în special în analiza funcțională , o măsură cu valoare de proiector este o funcție definită pe un anumit subset al unui set fix ale cărui valori returnate sunt proiectoare autoadjuncte pe un spațiu Hilbert .

Măsurătorile cu proiector sunt utilizate pentru a exprima rezultatele teoriei spectrale , cum ar fi teorema spectrală pentru operatorii autoadjuncti .

Definiție

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un subgrup închis de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ . Măsurarea evaluată de proiector este definită ca un set de proiecții ortogonale $\{P_{\Omega }\}$ ${\ displaystyle \ {P _ {\ Omega} \}}$ ${\ displaystyle \ {P _ {\ Omega} \}}$ care satisface proprietățile: ^[1]

$P_{\emptyset }=0$ ${\ displaystyle P _ {\ emptyset} = 0}$ ${\ displaystyle P _ {\ emptyset} = 0}$ Și $P_{(-a,a)}=I$ ${\ displaystyle P _ {(- a, a)} = I}$ ${\ displaystyle P _ {(- a, a)} = I}$ pentru unii $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ o familie de seturi astfel încât:

\Omega =\bigcup _{i=1}^{\infty }\Omega _{i}\qquad \Omega _{i}\cap \Omega _{j}=\emptyset \quad i\neq j

{\ displaystyle \ Omega = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} \ Omega _ {i} \ qquad \ Omega _ {i} \ cap \ Omega _ {j} = \ emptyset \ quad i \ neq j }

{\ displaystyle \ Omega = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} \ Omega _ {i} \ qquad \ Omega _ {i} \ cap \ Omega _ {j} = \ emptyset \ quad i \ neq j }

atunci noi avem:

P_{\Omega }=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}P_{\Omega _{i}}

{\ displaystyle P _ {\ Omega} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {N} P _ {\ Omega _ {i}}}

{\ displaystyle P _ {\ Omega} = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {N} P _ {\ Omega _ {i}}}

unde limita este într-un sens puternic.

Aceasta este o măsură limitată și din definiție rezultă proprietatea suplimentară:

P_{\Omega _{1}}P_{\Omega _{2}}=P_{\Omega _{1}\cap \Omega _{2}}\

{\ displaystyle P _ {\ Omega _ {1}} P _ {\ Omega _ {2}} = P _ {\ Omega _ {1} \ cap \ Omega _ {2}} \}

{\ displaystyle P _ {\ Omega _ {1}} P _ {\ Omega _ {2}} = P _ {\ Omega _ {1} \ cap \ Omega _ {2}} \}

Dacă avem în vedere un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe care este definită o algebră sigma borel $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , o măsură evaluată de proiector este o funcție $P_{\Omega }$ ${\ displaystyle P _ {\ Omega}}$ ${\ displaystyle P _ {\ Omega}}$ definit pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și la valorile din spațiul proiectoarelor ortogonale definite pe un spațiu Hilbert de dimensiune finită $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . În acest caz, seturile $\{\Omega _{i}\}$ ${\ displaystyle \ {\ Omega _ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ Omega _ {i} \}}$ utilizate în definiție sunt elementele algebrei borel sigma $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , si tu ai $P_{X}=I$ ${\ displaystyle P_ {X} = I}$ ${\ displaystyle P_ {X} = I}$ .

De exemplu, luați în considerare spațiul Hilbert $H=L^{2}(X,\mu )$ ${\ displaystyle H = L ^ {2} (X, \ mu)}$ ${\ displaystyle H = L ^ {2} (X, \ mu)}$ , unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură a lui Borel. O măsurătoare cu valori ale proiectorului poate fi definită după cum urmează:

(P_{E}\psi )(x)=\chi _{E}(x)\psi (x)\qquad \forall \psi \in L^{2}(X,\mu )\quad \forall E\in M

{\ displaystyle (P_ {E} \ psi) (x) = \ chi _ {E} (x) \ psi (x) \ qquad \ forall \ psi \ în L ^ {2} (X, \ mu) \ quad \ forall E \ în M}

{\ displaystyle (P_ {E} \ psi) (x) = \ chi _ {E} (x) \ psi (x) \ qquad \ forall \ psi \ în L ^ {2} (X, \ mu) \ quad \ forall E \ în M}

pentru aproape fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Integrare în ceea ce privește o măsurătoare cu valori ale proiectorului

Având în vedere o familie de seturi măsurabile disjuncte reciproc $E_{i}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ și o funcție simplă :

s=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\chi _{E_{i}}\quad a_{i}\in \mathbb {C}

{\ displaystyle s = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ chi _ {E_ {i}} \ quad a_ {i} \ in \ mathbb {C}}

{\ displaystyle s = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ chi _ {E_ {i}} \ quad a_ {i} \ in \ mathbb {C}}

unde este $\chi _{E_{i}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {E_ {i}}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {E_ {i}}}$ este funcția indicator în raport cu setul $E_{i}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ pentru fiecare i și numere $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ sunt disjuncte.

Putem defini integralul $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ comparativ cu o măsurare la valorile proiectorului $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ În felul următor:

\int _{X}sdP:=\sum _{i=1}^{n}a_{i}P(E_{i})

{\ displaystyle \ int _ {X} sdP: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} P (E_ {i})}

{\ displaystyle \ int _ {X} sdP: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} P (E_ {i})}

Se arată că extinderea acestui operator integral de la spațiul funcțiilor simple la spațiul funcțiilor Banach $f:X\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}}$ limitat și măsurabil în raport cu algebra sigma a lui Borel $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este unic. Operatorul integral pozitiv este definit în acest fel:

\int _{E}f(x)dP(x):=\int _{X}\chi _{E}f(x)dP(x)\quad E\in M

{\ displaystyle \ int _ {E} f (x) dP (x): = \ int _ {X} \ chi _ {E} f (x) dP (x) \ quad E \ în M}

{\ displaystyle \ int _ {E} f (x) dP (x): = \ int _ {X} \ chi _ {E} f (x) dP (x) \ quad E \ în M}

comparativ cu măsurarea la valorile proiectorului $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ :

P_{E}=\int _{X}\chi _{E}dP(x)\

{\ displaystyle P_ {E} = \ int _ {X} \ chi _ {E} dP (x) \}

{\ displaystyle P_ {E} = \ int _ {X} \ chi _ {E} dP (x) \}

A mai spus ${\mbox{supp}}(P)$ ${\ displaystyle {\ mbox {supp}} (P)}$ ${\ displaystyle {\ mbox {supp}} (P)}$ sprijinul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , se arată că:

\int _{X}f(x)dP(x)=\int _{{\mbox{supp}}(P)}f(x)dP(x)\

{\ displaystyle \ int _ {X} f (x) dP (x) = \ int _ {{\ mbox {supp}} (P)} f (x) dP (x) \}

{\ displaystyle \ int _ {X} f (x) dP (x) = \ int _ {{\ mbox {supp}} (P)} f (x) dP (x) \}

Măsură asociată cu un operator

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu topologic pe care este definită o algebră sigma borel $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ un spațiu Hilbert e $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ o măsurare la valorile proiectorului. Pentru fiecare $\phi ,\psi \in H$ ${\ displaystyle \ phi, \ psi \ în H}$ ${\ displaystyle \ phi, \ psi \ în H}$ produsul intern :

\mu _{\phi ,\psi }(E):=(\phi ,P_{E}\psi )=\left(\phi ,\int _{X}\chi _{E}dP(x)\psi \right)\quad E\in M

{\ displaystyle \ mu _ {\ phi, \ psi} (E): = (\ phi, P_ {E} \ psi) = \ left (\ phi, \ int _ {X} \ chi _ {E} dP ( x) \ psi \ right) \ quad E \ in M}

{\ displaystyle \ mu _ {\ phi, \ psi} (E): = (\ phi, P_ {E} \ psi) = \ left (\ phi, \ int _ {X} \ chi _ {E} dP ( x) \ psi \ right) \ quad E \ in M}

reprezintă o măsură Borel complexă . În special, măsura $\mu _{\phi }:=\mu _{\phi ,\phi }$ ${\ displaystyle \ mu _ {\ phi}: = \ mu _ {\ phi, \ phi}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {\ phi}: = \ mu _ {\ phi, \ phi}}$ se numește măsura spectrală asociată cu $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ .

Printr-o măsură a tipului de $\mu _{\phi }$ ${\ displaystyle \ mu _ {\ phi}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {\ phi}}$ este posibil să se definească operatorul de integrare cu privire la o măsurare cu valori ale proiectorului și în cazul în care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este limitat, atâta timp cât este folosit setul:

\Delta _{f}:=\{\phi \in H:\int _{X}|f(x)|^{2}d\mu _{\phi }(x)<+\infty \}

{\ displaystyle \ Delta _ {f}: = \ {\ phi \ în H: \ int _ {X} | f (x) | ^ {2} d \ mu _ {\ phi} (x) <+ \ infty \}}

{\ displaystyle \ Delta _ {f}: = \ {\ phi \ în H: \ int _ {X} | f (x) | ^ {2} d \ mu _ {\ phi} (x) <+ \ infty \}}

ca domeniu de aplicație:

\int _{X}f(x)dP(x):\phi \to \int _{X}f(x)dP(x)\phi =\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}(x)dP(x)\phi

{\ displaystyle \ int _ {X} f (x) dP (x): \ phi \ to \ int _ {X} f (x) dP (x) \ phi = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} f_ {n} (x) dP (x) \ phi}

{\ displaystyle \ int _ {X} f (x) dP (x): \ phi \ to \ int _ {X} f (x) dP (x) \ phi = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} f_ {n} (x) dP (x) \ phi}

care definește în acest fel un operator liniar închis și delimitat , care este integralul lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în comparație cu $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Întregul $\Delta _{f}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {f}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {f}}$ este un subspatiu dens in $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , iar al doilea membru se caracterizează prin faptul că funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi văzută ca limita unei succesiuni $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ a funcțiilor măsurabile și mărginite care converg în norma de $L^{2}(X,\mu _{\phi })$ ${\ displaystyle L ^ {2} (X, \ mu _ {\ phi})}$ ${\ displaystyle L ^ {2} (X, \ mu _ {\ phi})}$ .

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție definită pe suportul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ astfel încât este limitată și măsurabilă în raport cu algebra sigma a lui Borel . Pentru teorema reprezentării Riesz există un singur operator:

B:=\int f(\lambda )dP_{\lambda }\

{\ displaystyle B: = \ int f (\ lambda) dP _ {\ lambda} \}

{\ displaystyle B: = \ int f (\ lambda) dP _ {\ lambda} \}

care satisface relația:

(\phi ,B\phi )=\int f(\lambda )d\mu _{\phi }=\int f(\lambda )d(\phi ,P_{\lambda }\phi )\quad \forall \phi \in H

{\ displaystyle (\ phi, B \ phi) = \ int f (\ lambda) d \ mu _ {\ phi} = \ int f (\ lambda) d (\ phi, P _ {\ lambda} \ phi) \ quad \ forall \ phi \ în H}

{\ displaystyle (\ phi, B \ phi) = \ int f (\ lambda) d \ mu _ {\ phi} = \ int f (\ lambda) d (\ phi, P _ {\ lambda} \ phi) \ quad \ forall \ phi \ în H}

unde este $d\mu _{\phi }=d(\phi ,P_{\lambda }\phi )$ ${\ displaystyle d \ mu _ {\ phi} = d (\ phi, P _ {\ lambda} \ phi)}$ ${\ displaystyle d \ mu _ {\ phi} = d (\ phi, P _ {\ lambda} \ phi)}$ denotă integrarea față de măsură $\mu _{\phi }=(\phi ,P\phi )$ ${\ displaystyle \ mu _ {\ phi} = (\ phi, P \ phi)}$ ${\ displaystyle \ mu _ {\ phi} = (\ phi, P \ phi)}$ .

Descompunerea spectrală a operatorilor normali și autoadjuncti

Același subiect în detaliu: Operator normal , Operator autoadjunct și Diagonalizabilitate .

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un operator normal mărginit definit pe un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Teorema descompunerii spectrale pentru operatorii normali afirmă că există o singură măsură la valorile proiectorului $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ astfel încât:

A=\int _{\sigma (A)}zdP^{A}(x,y)\qquad z:=(x,y)\to x+iy\in \mathbb {C} \quad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} zdP ^ {A} (x, y) \ qquad z: = (x, y) \ to x + iy \ in \ mathbb {C} \ quad ( x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} zdP ^ {A} (x, y) \ qquad z: = (x, y) \ to x + iy \ in \ mathbb {C} \ quad ( x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}

unde este $\sigma (A)={\mbox{supp}}(P^{A})$ ${\ displaystyle \ sigma (A) = {\ mbox {supp}} (P ^ {A})}$ $\ sigma (A) = {\ mbox {supp}} (P ^ {A})$ este spectrul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Se spune că $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ este măsura evaluată de proiector asociată cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

În special, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un operator autoadjunct, se poate defini o măsură cu valori limitate ale proiectorului:

P^{A}(\Omega )=\chi _{\Omega }(A)\

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega) = \ chi _ {\ Omega} (A) \}

P ^ {A} (\ Omega) = \ chi _ {\ Omega} (A) \

definite pe spectru $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Această măsură poate fi asociată în mod unic cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ În felul următor:

(\phi ,f(A)\psi ):=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )d(\phi ,P^{A}(\lambda )\psi )\quad \forall \phi ,\psi \in H

{\ displaystyle (\ phi, f (A) \ psi): = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) d (\ phi, P ^ {A} (\ lambda) \ psi) \ quad \ forall \ phi, \ psi \ în H}

(\ phi, f (A) \ psi): = \ int _ {{\ sigma (A)}} f (\ lambda) d (\ phi, P ^ {A} (\ lambda) \ psi) \ quad \ forall \ phi, \ psi \ in H

pentru fiecare funcție limitată măsurabilă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și, în acest caz, avem:

A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}\qquad f(A)=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )dP^{A}

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} \ qquad f (A) = \ int _ {\ sigma (A)} f (\ lambda) dP ^ {A}}

A = \ int _ {{\ sigma (A)}} \ lambda dP ^ {A} \ qquad f (A) = \ int _ {{\ sigma (A)}} f (\ lambda) dP ^ {A}

Formula din stânga se numește diagonalizarea lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . ^[2]

Deși este posibil să se definească în mod unic un operator autoadjunct (sau, mai general, un operator normal) $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pornind de la o măsurare cu valori ale proiectorului și de la cealaltă dacă este posibilă diagonalizarea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin intermediul unei măsurători limitate a valorii proiectorului $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ asa de $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ este măsura cu valorile proiectorului asociate în mod unic cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Fiecare operator autoadjunct limitat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin urmare, poate fi pus într-o corespondență unu-la-unu cu o măsurătoare cu valori limitate ale proiectorului $P^{A}$ ${\ displaystyle P ^ {A}}$ $P ^ {A}$ .

Operatori autoadjunși nelimitați

Același subiect în detaliu: transformarea Cayley .

Luați în considerare un operator autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este limitat. Prin transformarea Cayley $U(A)$ ${\ displaystyle U (A)}$ $U (A)$ asociat cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

U(A)=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\qquad A=\mathbf {i} (I+U(A))(I-U(A))^{-1}

{\ displaystyle U (A) = (A- \ mathbf {i} I) (A + \ mathbf {i} I) ^ {- 1} \ qquad A = \ mathbf {i} (I + U (A)) (IU (A)) ^ {- 1}}

{\ displaystyle U (A) = (A- \ mathbf {i} I) (A + \ mathbf {i} I) ^ {- 1} \ qquad A = \ mathbf {i} (I + U (A)) (IU (A)) ^ {- 1}}

este posibil să se definească, pornind de la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , o măsurare la valorile proiectorului $P^{U(A)}$ ${\ displaystyle P ^ {U (A)}}$ $P ^ {{U (A)}}$ în felul următor:

P^{A}(\Omega ):=P^{U(A)}(U(\Omega ))\qquad \Omega \subset \sigma (A)

{\ displaystyle P ^ {A} (\ Omega): = P ^ {U (A)} (U (\ Omega)) \ qquad \ Omega \ subset \ sigma (A)}

P ^ {A} (\ Omega): = P ^ {{U (A)}} (U (\ Omega)) \ qquad \ Omega \ subset \ sigma (A)

Întregul $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este un Borellian cuprins în spectrul (real) $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , Și $U(\Omega )$ ${\ displaystyle U (\ Omega)}$ $U (\ Omega)$ este rezultatul obținut prin aplicarea transformării Cayley pe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .

Se arată că dacă funcția de identitate , definită pe $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ , este elegant $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ cu privire la măsură $(x,P^{A}(\Omega )x)$ ${\ displaystyle (x, P ^ {A} (\ Omega) x)}$ $(x, P ^ {A} (\ Omega) x)$ , asa de $P^{U(A)}$ ${\ displaystyle P ^ {U (A)}}$ $P ^ {{U (A)}}$ definește o măsură la valorile proiectorului $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ .

În special, este posibil să scrieți:

A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}(\lambda )

{\ displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda)}

A = \ int _ {{\ sigma (A)}} \ lambda dP ^ {A} (\ lambda)

Chiar și în cazul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ corespondența nu limitată între $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ iar o măsurare cu valori ale proiectorului este biunivocă.

Proiecțiile și spectrul unui operator

Același subiect în detaliu: Spectrum (matematică) și Spectrum esențial .

Proiecțiile spectrale sunt un instrument care vă permite să caracterizați proprietățile spectrului $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ a unui operator autoadjunct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Mai întâi demonstrează că un număr $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ aparține lui $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ dacă și numai dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ se îndeplinește următoarea condiție: ^[3]

P_{(\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon )}(A)\neq 0

{\ displaystyle P _ {(\ lambda - \ varepsilon, \ lambda + \ varepsilon)} (A) \ neq 0}

{\ displaystyle P _ {(\ lambda - \ varepsilon, \ lambda + \ varepsilon)} (A) \ neq 0}

Această abordare face posibilă și împărțirea spectrului în două subseturi:

Spectrul esențial al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este setul $\sigma _{ess}(A)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ess} (A)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ess} (A)}$ numere $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel încât pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ rangul de $P_{(\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon )}(A)$ ${\ displaystyle P _ {(\ lambda - \ varepsilon, \ lambda + \ varepsilon)} (A)}$ ${\ displaystyle P _ {(\ lambda - \ varepsilon, \ lambda + \ varepsilon)} (A)}$ are dimensiune infinită. Se arată că acest set este închis. Echivalent, $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ aparține lui $\sigma _{ess}(A)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ess} (A)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ess} (A)}$ dacă și numai dacă este o valoare proprie care are multiplicitate infinită.

Este definit ca un spectru discret de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ întregul $\sigma _{disc}(A)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {disc} (A)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {disc} (A)}$ numere $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ astfel încât pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ rangul de $P_{(\lambda -\varepsilon ,\lambda +\varepsilon )}(A)$ ${\ displaystyle P _ {(\ lambda - \ varepsilon, \ lambda + \ varepsilon)} (A)}$ ${\ displaystyle P _ {(\ lambda - \ varepsilon, \ lambda + \ varepsilon)} (A)}$ are dimensiuni finite. Echivalent, $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ aparține lui $\sigma _{disc}(A)$ ${\ displaystyle \ sigma _ {disc} (A)}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {disc} (A)}$ dacă și numai dacă este un punct izolat al $\sigma (A)$ ${\ displaystyle \ sigma (A)}$ $\ sigma (A)$ și este o valoare proprie care are multiplicitate finită.

Extensii ale măsurătorilor la valorile proiectorului

De sine $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ este o măsură a valorilor proiectorului în sus $(X,M)$ ${\ displaystyle (X, M)}$ ${\ displaystyle (X, M)}$ , apoi harta:

\mathbf {1} _{A}\mapsto \pi (A)

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} \ mapsto \ pi (A)}

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} \ mapsto \ pi (A)}

extinde o hartă liniară peste un spațiu vectorial al funcțiilor de intensificare $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 235
^ Reed, Simon , p. 234 .
^ Reed, Simon , p. 236 .

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) GW Mackey, Theory of Unitary Group Representations , The University of Chicago Press, 1976
( EN ) G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators , [1] , American Mathematical Society, 2009.
( EN ) VS Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 235

[2] Reed, Simon , p. 234 .

[3] Reed, Simon , p. 236 .

[1]

[2]

[3]