Funcție integrabilă local

În matematică , o funcție integrabilă local este o funcție care este integrabilă pe orice subset compact al domeniului.

Spus $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ un întreg deschis în spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Și $f\colon U\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {C}}$ o funcție măsurabilă față de sigma-algebra lui Lebesgue , dacă integralul Lebesgue :

\int _{K}|f|\,d\mu

{\ displaystyle \ int _ {K} | f | \, d \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {K} | f | \, d \ mu}

există finit pentru orice subset compact $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se numește integrabil local.

Funcțiile integrabile local joacă un rol important în teoria distribuției și apar în teorema Radon-Nikodym .

Definiție alternativă

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un set deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Și $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ansamblul funcțiilor infinit diferențiabile $\varphi :\Omega \to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ varphi: \ Omega \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ varphi: \ Omega \ to \ mathbb {C}}$ suport compact definit pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ . O functie $f:\Omega \to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {C}}$ astfel încât:

\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | f \ varphi | \, \ mathrm {d} x <+ \ infty \ qquad \ forall \ varphi \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | f \ varphi | \, \ mathrm {d} x <+ \ infty \ qquad \ forall \ varphi \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}

se numește integrabil local. Setul tuturor acestor funcții este notat cu $L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )$ ${\ displaystyle L _ {\ mathrm {loc}} ^ {1} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle L _ {\ mathrm {loc}} ^ {1} (\ Omega)}$ .

Această definiție își are rădăcinile în abordarea teoriei măsurării și integrării bazată pe conceptul de operator liniar continuu într-un spațiu vector topologic , dezvoltat de grupul Nicolas Bourbaki și alții și adesea utilizat în contextul analizei funcționale . În special, definirea funcționalităților liniare prin integrale de bază $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o practică utilizată în teoria distribuțiilor , unde în acest caz funcțiile $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ se numesc funcții de testare .

Aceasta este o definiție echivalentă cu cea standard, dată la început, adică:

\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compatto}}

{\ displaystyle \ int _ {K} | f | \, \ mathrm {d} x <+ \ infty \ quad \ forall \, K \ subset \ Omega, \, K {\ text {compact}}}

{\ displaystyle \ int _ {K} | f | \, \ mathrm {d} x <+ \ infty \ quad \ forall \, K \ subset \ Omega, \, K {\ text {compact}}}

dacă și numai dacă:

\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega )

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | f \ varphi | \, \ mathrm {d} x <+ \ infty \ quad \ forall \, \ varphi \ în C _ {\ mathrm {c}} ^ {\ infty } (\ Omega)}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | f \ varphi | \, \ mathrm {d} x <+ \ infty \ quad \ forall \, \ varphi \ în C _ {\ mathrm {c}} ^ {\ infty } (\ Omega)}

Demonstrație

Într-adevăr, fie el $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ ${\ displaystyle \ varphi \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle \ varphi \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ . Fiind o funcție măsurabilă limitată de norma sa uniformă $\|\varphi \|$ ${\ displaystyle \ | \ varphi \ |}$ ${\ displaystyle \ | \ varphi \ |}$ și având un sprijin $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ compact prin definiție standard, avem:

\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | f \ varphi | \, \ mathrm {d} x = \ int _ {K} | f | \, | \ varphi | \, \ mathrm {d} x \ leq \ | \ varphi \ | _ {\ infty} \ int _ {K} | f | \, \ mathrm {d} x <+ \ infty}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | f \ varphi | \, \ mathrm {d} x = \ int _ {K} | f | \, | \ varphi | \, \ mathrm {d} x \ leq \ | \ varphi \ | _ {\ infty} \ int _ {K} | f | \, \ mathrm {d} x <+ \ infty}

Pentru a arăta implicația inversă, fie $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un subset compact de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ . Vrem să construim mai întâi o funcție de testare $\varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ ${\ displaystyle \ varphi _ {K} \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {K} \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ceea ce mărește funcția indicator $\chi _{K}$ ${\ displaystyle \ chi _ {K}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {K}}$ din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Distanța (setată) dintre $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și frontiera sa $\partial K$ ${\ displaystyle \ partial K}$ ${\ displaystyle \ partial K}$ este strict mai mare decât zero, adică:

\Delta :=d(K,\partial \Omega )>0

{\ displaystyle \ Delta: = d (K, \ partial \ Omega)> 0}

{\ displaystyle \ Delta: = d (K, \ partial \ Omega)> 0}

și puteți alege apoi un număr real $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ astfel încât $\Delta >2\delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 2 \ delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 2 \ delta> 0}$ (de sine $\partial K$ ${\ displaystyle \ partial K}$ ${\ displaystyle \ partial K}$ este gol pe care îl iei $\Delta =\infty$ ${\ displaystyle \ Delta = \ infty}$ ${\ displaystyle \ Delta = \ infty}$ ). Lasă-i să fie acum $K_{\delta }$ ${\ displaystyle K _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle K _ {\ delta}}$ Și $K_{2\delta }$ ${\ displaystyle K_ {2 \ delta}}$ ${\ displaystyle K_ {2 \ delta}}$ cartierele închise ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ având respectiv rază $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ Și $2\delta$ ${\ displaystyle 2 \ delta}$ ${\ displaystyle 2 \ delta}$ . Sunt compacte și satisfac:

K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega \qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0

{\ displaystyle K \ subset K _ {\ delta} \ subset K_ {2 \ delta} \ subset \ Omega \ qquad d (K _ {\ delta}, \ partial \ Omega) = \ Delta - \ delta> \ delta> 0}

{\ displaystyle K \ subset K _ {\ delta} \ subset K_ {2 \ delta} \ subset \ Omega \ qquad d (K _ {\ delta}, \ partial \ Omega) = \ Delta - \ delta> \ delta> 0}

Mulțumită convoluției $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ funcția este definită $\varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ ${\ displaystyle \ varphi _ {K} \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {K} \ în C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ca:

\varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y

{\ displaystyle \ varphi _ {K} (x) = {\ chi _ {K _ {\ delta}} \ ast \ varphi _ {\ delta} (x)} = \ int _ {\ mathbb {R} ^ { n}} \ chi _ {K _ {\ delta}} (y) \, \ varphi _ {\ delta} (xy) \, \ mathrm {d} y}

{\ displaystyle \ varphi _ {K} (x) = {\ chi _ {K _ {\ delta}} \ ast \ varphi _ {\ delta} (x)} = \ int _ {\ mathbb {R} ^ { n}} \ chi _ {K _ {\ delta}} (y) \, \ varphi _ {\ delta} (xy) \, \ mathrm {d} y}

unde este $\varphi _{\delta }$ ${\ displaystyle \ varphi _ {\ delta}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {\ delta}}$ este un mollificatore . De cand $\varphi _{K}(x)=1$ ${\ displaystyle \ varphi _ {K} (x) = 1}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {K} (x) = 1}$ pentru toți $x\in K$ ${\ displaystyle x \ în K}$ $x \ în K$ avem asta $\chi _{K}\leq \varphi _{K}$ ${\ displaystyle \ chi _ {K} \ leq \ varphi _ {K}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {K} \ leq \ varphi _ {K}}$ .

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție integrabilă local față de a doua definiție pe care o avem:

\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<+\infty

{\ displaystyle \ int _ {K} | f | \, \ mathrm {d} x = \ int _ {\ Omega} | f | \ chi _ {K} \, \ mathrm {d} x \ leq \ int _ {\ Omega} | f | \ varphi _ {K} \, \ mathrm {d} x <+ \ infty}

{\ displaystyle \ int _ {K} | f | \, \ mathrm {d} x = \ int _ {\ Omega} | f | \ chi _ {K} \, \ mathrm {d} x \ leq \ int _ {\ Omega} | f | \ varphi _ {K} \, \ mathrm {d} x <+ \ infty}

și deoarece acest lucru este valabil pentru orice subset compact $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi, de asemenea, integrat local în ceea ce privește prima definiție.

Generalizare

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ o deschidere de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Și $f\colon \Omega \to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ to \ mathbb {C}}$ o funcție măsurabilă față de sigma-algebra lui Lebesgue . Dacă pentru un dat $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ astfel încât $1\leq p\leq +\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq + \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq + \ infty}$ functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ satisface:

\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty

{\ displaystyle \ int _ {K} | f | ^ {p} \, \ mathrm {d} x <+ \ infty}

{\ displaystyle \ int _ {K} | f | ^ {p} \, \ mathrm {d} x <+ \ infty}

adică aparține spațiului $L^{p}(K)$ ${\ displaystyle L ^ {p} (K)}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (K)}$ pentru toate subseturile compacte ale $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este local $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ - integrabil. Setul tuturor funcțiilor de acest tip este notat cu $L_{\mathrm {loc} }^{p}(K)$ ${\ displaystyle L _ {\ mathrm {loc}} ^ {p} (K)}$ ${\ displaystyle L _ {\ mathrm {loc}} ^ {p} (K)}$ .

Proprietate

Completitudinea spațiului metric L ^p _loc

Spaţiu $L_{\mathrm {loc} }^{p}$ ${\ displaystyle L _ {\ mathrm {loc}} ^ {p}}$ ${\ displaystyle L _ {\ mathrm {loc}} ^ {p}}$ este un spațiu metric complet pentru $p\geq 1$ ${\ displaystyle p \ geq 1}$ $p \ geq 1$ . Topologia sa poate fi generată din familia de valori:

d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega )

{\ displaystyle d (u, v) = \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {1} {2 ^ {k}}} {\ frac {\ Vert uv \ Vert _ {p, \ omega _ { k}}} {1+ \ Vert uv \ Vert _ {p, \ omega _ {k}}}} qqad u, v \ in L _ {\ mathrm {loc}} ^ {p} (\ Omega)}

{\ displaystyle d (u, v) = \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {1} {2 ^ {k}}} {\ frac {\ Vert uv \ Vert _ {p, \ omega _ { k}}} {1+ \ Vert uv \ Vert _ {p, \ omega _ {k}}}} \ qquad u, v \ in L _ {\ mathrm {loc}} ^ {p} (\ Omega)}

unde este $\{\omega _{k}\}_{k\geq 1}$ ${\ displaystyle \ {\ omega _ {k} \} _ {k \ geq 1}}$ ${\ displaystyle \ {\ omega _ {k} \} _ {k \ geq 1}}$ este o familie de seturi ne-goale astfel încât:

$w_{k}\subset \subset \omega _{k+1}$ ${\ displaystyle w_ {k} \ subset \ subset \ omega _ {k + 1}}$ ${\ displaystyle w_ {k} \ subset \ subset \ omega _ {k + 1}}$ , adică $\omega _{k}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$ este strict inclus în $\omega _{k+1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k + 1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k + 1}}$ .
$\cup _{k}\omega _{k}=\Omega$ ${\ displaystyle \ cup _ {k} \ omega _ {k} = \ Omega}$ ${\ displaystyle \ cup _ {k} \ omega _ {k} = \ Omega}$ .
Funcții $\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}\to \mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert _ {p, \ omega _ {k}} \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ Vert \ cdot \ Vert _ {p, \ omega _ {k}} \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ , cu $k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ $k \ in \ mathbb {N}$ , sunt o familie indexată de seminorme definite ca:

{\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\int _{\omega _{k}}|u|^{p}\,\mathrm {d} x\qquad \forall \,u\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega )

{\ displaystyle {\ Vert u \ Vert _ {p, \ omega _ {k}}} = \ int _ {\ omega _ {k}} | u | ^ {p} \, \ mathrm {d} x \ qquad \ forall \, u \ în L _ {\ mathrm {loc}} ^ {p} (\ Omega)}

{\ displaystyle {\ Vert u \ Vert _ {p, \ omega _ {k}}} = \ int _ {\ omega _ {k}} | u | ^ {p} \, \ mathrm {d} x \ qquad \ forall \, u \ în L _ {\ mathrm {loc}} ^ {p} (\ Omega)}

L ^p ca subspatiu al lui L ^p _loc pentru p ≥ 1

Fiecare funcție $f\in L^{p}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {p}}$ $f \ în L ^ {p}$ , unde este $1\leq p\leq +\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq + \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq + \ infty}$ Și $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este o deschidere a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , este local integrabil.

Pentru a arăta acest fapt, având în vedere simplitatea cazului $p=1$ ${\ displaystyle p = 1}$ $p = 1$ se presupune în cele ce urmează ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 1 <p \ leq + \ infty}$ ${\ displaystyle 1 <p \ leq + \ infty}$ . Având în vedere funcția indicator $\chi _{k}$ ${\ displaystyle \ chi _ {k}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {k}}$ a subsetului compact $K\subset \Omega$ ${\ displaystyle K \ subset \ Omega}$ ${\ displaystyle K \ subset \ Omega}$ , avem:

\left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|\mu (K)|^{1/q}<+\infty

{\ displaystyle \ left | {\ int _ {\ Omega} | \ chi _ {K} | ^ {q} \, \ mathrm {d} x} \ right | ^ {1 / q} = \ left | {\ int _ {K} \ mathrm {d} x} \ right | ^ {1 / q} = | \ mu (K) | ^ {1 / q} <+ \ infty}

{\ displaystyle \ left | {\ int _ {\ Omega} | \ chi _ {K} | ^ {q} \, \ mathrm {d} x} \ right | ^ {1 / q} = \ left | {\ int _ {K} \ mathrm {d} x} \ right | ^ {1 / q} = | \ mu (K) | ^ {1 / q} <+ \ infty}

unde este $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este un număr pozitiv astfel încât $1/p+1/q=1$ ${\ displaystyle 1 / p + 1 / q = 1}$ ${\ displaystyle 1 / p + 1 / q = 1}$ pentru un dat $1\leq p\leq +\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq + \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq + \ infty}$ , Și $\mu (K)$ ${\ displaystyle \ mu (K)}$ ${\ displaystyle \ mu (K)}$ este măsura Lebesgue a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Apoi, prin inegalitatea lui Hölder, produsul $f\chi _{K}$ ${\ displaystyle f \ chi _ {K}}$ ${\ displaystyle f \ chi _ {K}}$ este o funcție integrabilă , adică aparține $L^{1}(\Omega )$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ Omega)}$ Și:

{\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty

{\ displaystyle {\ int _ {K} | f | \, \ mathrm {d} x} = {\ int _ {\ Omega} | f \ chi _ {K} | \, \ mathrm {d} x} \ leq \ left | {\ int _ {\ Omega} | f | ^ {p} \, \ mathrm {d} x} \ right | ^ {1 / p} \ left | {\ int _ {K} \ mathrm { d} x} \ right | ^ {1 / q} = \ | f \ | _ {p} | \ mu (K) | ^ {1 / q} <+ \ infty}

{\ displaystyle {\ int _ {K} | f | \, \ mathrm {d} x} = {\ int _ {\ Omega} | f \ chi _ {K} | \, \ mathrm {d} x} \ leq \ left | {\ int _ {\ Omega} | f | ^ {p} \, \ mathrm {d} x} \ right | ^ {1 / p} \ left | {\ int _ {K} \ mathrm { d} x} \ right | ^ {1 / q} = \ | f \ | _ {p} | \ mu (K) | ^ {1 / q} <+ \ infty}

Prin urmare $f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )$ ${\ displaystyle f \ în L _ {\ mathrm {loc}} ^ {1} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle f \ în L _ {\ mathrm {loc}} ^ {1} (\ Omega)}$ . Trebuie remarcat faptul că, deoarece deține:

{\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty

{\ displaystyle {\ int _ {K} | f | \, \ mathrm {d} x} = {\ int _ {\ Omega} | f \ chi _ {K} | \, \ mathrm {d} x} \ leq \ left | {\ int _ {K} | f | ^ {p} \, \ mathrm {d} x} \ right | ^ {1 / p} \ left | {\ int _ {K} \ mathrm {d } x} \ right | ^ {1 / q} = \ | f \ | _ {p} | \ mu (K) | ^ {1 / q} <+ \ infty}

{\ displaystyle {\ int _ {K} | f | \, \ mathrm {d} x} = {\ int _ {\ Omega} | f \ chi _ {K} | \, \ mathrm {d} x} \ leq \ left | {\ int _ {K} | f | ^ {p} \, \ mathrm {d} x} \ right | ^ {1 / p} \ left | {\ int _ {K} \ mathrm {d } x} \ right | ^ {1 / q} = \ | f \ | _ {p} | \ mu (K) | ^ {1 / q} <+ \ infty}

teorema se aplică și atunci când $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aparține doar spațiului funcțional local $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ - integrabil și, prin urmare, avem ca corolar că fiecare funcție $f\in L_{\mathrm {loc} }^{p}$ ${\ displaystyle f \ în L _ {\ mathrm {loc}} ^ {p}}$ ${\ displaystyle f \ în L _ {\ mathrm {loc}} ^ {p}}$ , unde este ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 1 <p \ leq + \ infty}$ ${\ displaystyle 1 <p \ leq + \ infty}$ , este local integrabil, adică aparține $f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}$ ${\ displaystyle f \ în L _ {\ mathrm {loc}} ^ {1}}$ ${\ displaystyle f \ în L _ {\ mathrm {loc}} ^ {1}}$ .

Exemple

Fiecare funcție (global) integrabilă în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este integrabil local, adică:

L^{1}(U)\subset L_{loc}^{1}(U)

{\ displaystyle L ^ {1} (U) \ subset L_ {loc} ^ {1} (U)}

{\ displaystyle L ^ {1} (U) \ subset L_ {loc} ^ {1} (U)}

Mai general, fiecare funcție din ${\rm {L}}^{p}(U)$ ${\ displaystyle {\ rm {L}} ^ {p} (U)}$ ${\ displaystyle {\ rm {L}} ^ {p} (U)}$ , cu $1\leq p\leq +\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq + \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq + \ infty}$ este integrabil local:

L^{p}(U)\subset L_{loc}^{1}(U)

{\ displaystyle L ^ {p} (U) \ subset L_ {loc} ^ {1} (U)}

{\ displaystyle L ^ {p} (U) \ subset L_ {loc} ^ {1} (U)}

Funcția constantă a $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ definit pe linia reală este local integrabil, dar nu global. Mai general, funcțiile continue sunt integrabile local.
Functia $f(x)=1/x$ ${\ displaystyle f (x) = 1 / x}$ $f (x) = 1 / x$ pentru $x\neq 0$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ $x \ neq 0$ Și $f(0)=0$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ $f (0) = 0$ nu este integrabil local pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , deoarece starea se încadrează în intervalele care conțin originea, în timp ce limitarea acesteia la $(0,+\infty )$ ${\ displaystyle (0, + \ infty)}$ ${\ displaystyle (0, + \ infty)}$ aparține lui $L_{loc}^{1}(0,+\infty )$ ${\ displaystyle L_ {loc} ^ {1} (0, + \ infty)}$ ${\ displaystyle L_ {loc} ^ {1} (0, + \ infty)}$ . ^[1]

Notă

^ Gianni Gilardi, Analysis Three , în McGraw-Hill Education , ed. 2014, McGraw-Hill, p. 93. Adus la 14 ianuarie 2018 (arhivat din original la 14 ianuarie 2018) .

Bibliografie

(EN) S. Saks, Teoria integralei, Hafner (1952)
( EN ) GP Tolstov, Pe curvilinea și iterarea integrală Trudy Mat. Inst. Steklov. , 35 (1950) pp. 1–101

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) IA Vinogradova, Funcție integrabilă local , în Enciclopedia de matematică , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, integrabil local în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Gianni Gilardi, Analysis Three , în McGraw-Hill Education , ed. 2014, McGraw-Hill, p. 93. Adus la 14 ianuarie 2018 (arhivat din original la 14 ianuarie 2018) .

[1]