Transformarea Laplace inversă

În matematică , transformata Laplace inversă sau antitransforma lui Laplace este inversa transformatei Laplace . Ambele au aplicații importante în studiul / analiza sistemelor dinamice liniare .

Definiție

Spus ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ transformata Laplace , transformata Laplace a unei funcții $F(s)$ ${\ displaystyle F (s)}$ $F (e)$ este funcția $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ astfel încât:

{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f (t) \ right \} = F (s)}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f (t) \ right \} = F (s)}

Dovedim că dacă o funcție $F(s)$ ${\ displaystyle F (s)}$ $F (e)$ are transformare inversă $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ , adică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție continuă în bucăți care îndeplinește condiția anterioară, atunci $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ este determinată în mod unic.

O formulare integrală a antitransformei Laplace, numită și integrală Bromwich sau formula inversă a lui Mellin , este dată de integralul liniei:

{\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {F (s) \} = f (t) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {\ gamma -iT} ^ {\ gamma + iT} e ^ {st} F (s) \, ds}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ {F (s) \} = f (t) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {\ gamma -iT} ^ {\ gamma + iT} e ^ {st} F (s) \, ds}

unde integrarea are loc de-a lungul liniei verticale $\Re (s)=\gamma$ ${\ displaystyle \ Re (s) = \ gamma}$ ${\ displaystyle \ Re (s) = \ gamma}$ în planul complex, cu $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ mai mare decât partea reală a tuturor singularităților din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Acest lucru asigură că linia de contur se află în regiunea de convergență. Dacă toate singularitățile din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ se află pe partea stângă a planului complex sau dacă $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ atunci nu are singularitate $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ poate fi luat nul și formula devine egală cu transformata Fourier inversă. De fapt, dacă $s=x+iy$ ${\ displaystyle s = x + iy}$ ${\ displaystyle s = x + iy}$ , în acest caz avem

${\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{-iT}^{iT}e^{st}F(s)\,ds={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}e^{iyt}F(iy)\,dy$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {- iT} ^ {iT} e ^ {st} F (s) \, ds = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {- T} ^ {T} e ^ {iyt} F (iy) \, dy}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {- iT} ^ {iT} e ^ {st} F (s) \, ds = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {- T} ^ {T} e ^ {iyt} F (iy) \, dy}$

Bibliografie

( EN ) BJ Davies, Transformări integrale și aplicațiile lor , 3rd, Berlin, New York, Springer-Verlag , 2002, ISBN 978-0-387-95314-4 .
( EN ) AV Manzhirov și Andrei D. Polyanin, Manual de ecuații integrale , Londra, CRC Press , 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3 .
( EN ) KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Metode matematice pentru fizică și inginerie , 3, Cambridge University Press, 2010, p. 455, ISBN 978-0-521-86153-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Formula inversă a lui Mellin , în PlanetMath .
Tabelele transformărilor integrale la EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.
Inversia rațională a Transformatei Laplace , la jaranet.us . Adus la 11 iulie 2009 (arhivat din original la 30 august 2009) .

Portal de verificări automate

Portalul de matematică