Factorial în creștere

În matematică , pentru creșterea factorială a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ factori înseamnă produsul formei

x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)

{\ displaystyle x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (x + k-1)}

{\ displaystyle x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (x + k-1)}

.

Aici $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ denotă un întreg natural, în timp ce $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ poate denota un număr real sau complex sau o variabilă formală sau chiar un element generic al unui inel (în acest caz numerele întregi sunt identificate cu multiplii elementului unitar al inelului).

Diferite notații sunt folosite pentru a desemna expresia anterioară:

(x)_{n}=x^{\overline {n}}=x^{(n)}:=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}.

{\ displaystyle (x) _ {n} = x ^ {\ overline {n}} = x ^ {(n)}: = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = {\ frac {(x + n-1)!} {(x-1)!}}.}

{\ displaystyle (x) _ {n} = x ^ {\ overline {n}} = x ^ {(n)}: = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = {\ frac {(x + n-1)!} {(x-1)!}}.}

Prima notație folosită adesea, în special pentru a studia funcții speciale , se numește simbolul Pochhammer , așa cum a fost introdusă de matematicianul german Leo August Pochhammer . Unii, în combinatorie, folosesc simbolul Pochhammer pentru a indica factorialul descrescător al lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ factori

x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)

{\ displaystyle x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (x-k + 1)}

{\ displaystyle x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (x-k + 1)}

;

această expresie folosind simbolul Pochhammer definit mai sus ar fi dată de

(x-n+1)_{n}

{\ displaystyle (x-n + 1) _ {n}}

{\ displaystyle (x-n + 1) _ {n}}

O notație alternativă utilizată de Ronald L. Graham , Donald E. Knuth și Oren Patashnik în cartea lor Concrete Mathematics exprimă factorialul în creștere ca

x^{\overline {n}}:=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=(x)_{n},

{\ displaystyle x ^ {\ overline {n}}: = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = (x) _ {n},}

{\ displaystyle x ^ {\ overline {n}}: = x (x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n-1) = (x) _ {n},}

iar factorialul descrescător ca

x^{\underline {n}}:=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=(x-n+1)_{n}.

{\ displaystyle x ^ {\ underline {n}}: = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = (x-n + 1) _ {n}.}

{\ displaystyle x ^ {\ underline {n}}: = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-n + 1) = (x-n + 1) _ {n}.}

Are două avantaje: se distinge clar de alte notații și evidențiază paralelismul dintre cele două construcții.

Pentru $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ factorial crescător și factor descrescător dau produsul gol , adică

x^{\overline {0}}=x^{\underline {0}}=(x)_{0}=1.

{\ displaystyle x ^ {\ overline {0}} = x ^ {\ underline {0}} = (x) _ {0} = 1.}

{\ displaystyle x ^ {\ overline {0}} = x ^ {\ underline {0}} = (x) _ {0} = 1.}

Atât factorialul crescător, cât și factorul descrescător pot fi exprimate prin intermediul unui coeficient binomial :

{x \choose n}={\frac {x^{\underline {n}}}{n!}},

{\ displaystyle {x \ choose n} = {\ frac {x ^ {\ underline {n}}} {n!}},}

{\ displaystyle {x \ choose n} = {\ frac {x ^ {\ underline {n}}} {n!}},}

{x+n-1 \choose n}={\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}={\frac {(x)_{n}}{n!}}.

{\ displaystyle {x + n-1 \ choose n} = {\ frac {x ^ {\ overline {n}}} {n!}} = {\ frac {(x) _ {n}} {n!} }.}

{\ displaystyle {x + n-1 \ choose n} = {\ frac {x ^ {\ overline {n}}} {n!}} = {\ frac {(x) _ {n}} {n!} }.}

Prin urmare, numeroasele identități referitoare la coeficienții binomiali conduc la identități corespunzătoare pentru factorii crescători și descrescători.

Conexiunea cu calculul umbral

Factorii în creștere și factorii în scădere pot fi interpretați ca polinoame în variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar cele două succesiuni

x^{\overline {n}}\ {\mbox{ per }}\ n=0,1,2,\ldots \qquad x^{\underline {n}}\ {\mbox{ per }}\ n=0,1,2,\ldots

{\ displaystyle x ^ {\ overline {n}} \ {\ mbox {per}} \ n = 0,1,2, \ ldots \ qquad x ^ {\ underline {n}} \ {\ mbox {per}} \ n = 0,1,2, \ ldots}

{\ displaystyle x ^ {\ overline {n}} \ {\ mbox {per}} \ n = 0,1,2, \ ldots \ qquad x ^ {\ underline {n}} \ {\ mbox {per}} \ n = 0,1,2, \ ldots}

ca secvențe de polinoame . Acestea au roluri particulare în formule privind acțiunea asupra polinoamelor operatorilor, cum ar fi operatorul diferenței directe $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ , formule corespunzătoare teoremei de calcul a lui Taylor indusă de acțiunea operatorului de derivare. În aceste formule și în multe alte circumstanțe factorialele crescătoare și descrescătoare din calculul diferenței finite joacă rolul pe care îl au polinoamele $x^{n}$ ${\ displaystyle x ^ {n}}$ $x ^ {n}$ se joacă în calcul diferențial. De exemplu, rețineți asemănarea dintre

\Delta (x)_{k}=k(x)_{k-1},

{\ displaystyle \ Delta (x) _ {k} = k (x) _ {k-1},}

{\ displaystyle \ Delta (x) _ {k} = k (x) _ {k-1},}

si

Dx^{k}=kx^{k-1}

{\ displaystyle Dx ^ {k} = kx ^ {k-1}}

{\ displaystyle Dx ^ {k} = kx ^ {k-1}}

(unde este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ denotă derivata în raport cu variabila $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ). Teoria care permite ca aceste asemănări să fie tratate sistematic și riguros este calculul umbral de astăzi. Mai precis, teoriile referitoare la relațiile de acest gen care implică polinoame, cum ar fi factorialele crescătoare și descrescătoare, sunt teoria secvențelor polinomiale binomiale și teoria secvențelor Sheffer .

Elemente conexe

linkuri externe

Simbolul Pochhammer în MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică