Factorial de creștere de bază q

În matematică , în domeniul combinatoriei , spunem factorial de creștere de bază q în x față de $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ seria

$(x;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{k}x),$ ${\ displaystyle (x; q) _ {\ infty}: = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {k} x),}$ ${\ displaystyle (x; q) _ {\ infty}: = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-q ^ {k} x),}$

pentru variabilele complexe x și q ; dacă apar probleme de convergență, cerem să fie | q | <1.

Pe de altă parte, spunem factorial creșterea de bază q în x relativ la numărul complex n

$(x;q)_{n}:={\frac {(x;q)_{\infty }}{(q^{n}x;q)_{\infty }}}$ ${\ displaystyle (x; q) _ {n}: = {\ frac {(x; q) _ {\ infty}} {(q ^ {n} x; q) _ {\ infty}}}}$ ${\ displaystyle (x; q) _ {n}: = {\ frac {(x; q) _ {\ infty}} {(q ^ {n} x; q) _ {\ infty}}}}$

Dacă n este un întreg natural

$(x;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-q^{k}x)=(1-x)(1-xq)(1-xq^{2})\cdots (1-xq^{n-1})$ ${\ displaystyle (x; q) _ {n}: = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-q ^ {k} x) = (1-x) (1-xq) ( 1-xq ^ {2}) \ cdots (1-xq ^ {n-1})}$ ${\ displaystyle (x; q) _ {n}: = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-q ^ {k} x) = (1-x) (1-xq) ( 1-xq ^ {2}) \ cdots (1-xq ^ {n-1})}$

Prin urmare, o familie de secvențe de polinoame este identificată în x parametrizat cu q care începe cu următoarele componente:

(x;q)_{0}=1

{\ displaystyle (x; q) _ {0} = 1}

{\ displaystyle (x; q) _ {0} = 1}

(x;q)_{1}=1-x

{\ displaystyle (x; q) _ {1} = 1-x}

{\ displaystyle (x; q) _ {1} = 1-x}

(x;q)_{2}=(1-x)(1-qx)=1-(1+q)x+qx^{2}\qquad

{\ displaystyle (x; q) _ {2} = (1-x) (1-qx) = 1- (1 + q) x + qx ^ {2} \ qquad}

{\ displaystyle (x; q) _ {2} = (1-x) (1-qx) = 1- (1 + q) x + qx ^ {2} \ qquad}

\,(x;q)_{3}=(1-x)(1-qx)(1-q^{2}x)=1-(1+q+q^{2})x+(q+q^{2}+q^{3})x^{2}-q^{3}x^{3}\,

{\ displaystyle \, (x; q) _ {3} = (1-x) (1-qx) (1-q ^ {2} x) = 1- (1 + q + q ^ {2}) x + (q + q ^ {2} + q ^ {3}) x ^ {2} -q ^ {3} x ^ {3} \,

{\ displaystyle \, (x; q) _ {3} = (1-x) (1-qx) (1-q ^ {2} x) = 1- (1 + q + q ^ {2}) x + (q + q ^ {2} + q ^ {3}) x ^ {2} -q ^ {3} x ^ {3} \,

Aceste polinoame (formal) sunt numite și factorialele q -cresterea, q simboluri -Pochhammer și simboluri Pochhammer de bază q. Acestea sunt utilizate pe scară largă în formule care exprimă proprietățile seriei q de bază hipergeometrică .

Notare cu mai multe argumente

Deoarece identitățile care implică simbolurile q ale lui Pochhammer conțin adesea produsul a mai multor simboluri, în mod convențional un produs este scris ca un singur simbol cu mai multe argumente:

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m};q)_{n}=(x_{1};q)_{n}(x_{2};q)_{n}\ldots (x_{m};q)_{n}.

{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {m}; q) _ {n} = (x_ {1}; q) _ {n} (x_ {2}; q) _ {n} \ ldots (x_ {m}; q) _ {n}.}

{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {m}; q) _ {n} = (x_ {1}; q) _ {n} (x_ {2}; q) _ {n} \ ldots (x_ {m}; q) _ {n}.}

Bibliografie

George Gasper, Mizan Rahman (1990): Seria hipergeometrică de bază , Cambridge University Press, ISBN 0521350492
Roelof Koekoek și Rene F. Swarttouw, Schema Askey a polinoamelor ortogonale și analogii săi q , secțiunea 0.2.

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) Eric W. Weisstein, q -Analog , în MathWorld , Wolfram Research.
(RO) Eric W. Weisstein, q -Bracket , în MathWorld , Wolfram Research.
(RO) Eric W. Weisstein, q -Factorial , în MathWorld , Wolfram Research.
(RO) Eric W. Weisstein, q -Coeficient binomial , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică