T student multivariat

În statistici , distribuția t-Student multivariată este o distribuție de probabilitate multivariată . Este o generalizare vectorială aleatorie a distribuției Student t , care este o distribuție aplicabilă variabilelor aleatorii univariate. În timp ce cazul unei matrici aleatorii ar putea fi tratat în cadrul acestei structuri, distribuția Student t pentru matrice este distinctă și face o utilizare specială a structurii matricei.

Definiție

O metodă comună de a construi o distribuție t Student multivariată, pentru cazul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ dimensiunea, se bazează pe observația că dacă $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ Și $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ sunt independente și distribuite ca ${\mathcal {N}}({\mathbf {0} },{\boldsymbol {\Sigma }})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} ({\ mathbf {0}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} ({\ mathbf {0}}, {\ boldsymbol {\ Sigma}})}$ Și $\chi _{\nu }^{2}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ nu} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {\ nu} ^ {2}}$ (adică distribuții multivariate normale și chi-pătrate ), respectiv, matricea $\mathbf {\Sigma } \,$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma} \,}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma} \,}$ este o matrice p × p e ${\mathbf {y} }/{\sqrt {u/\nu }}={\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {y}} / {\ sqrt {u / \ nu}} = {\ mathbf {x}} - {\ boldsymbol {\ mu}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {y}} / {\ sqrt {u / \ nu}} = {\ mathbf {x}} - {\ boldsymbol {\ mu}}}$ , atunci ${\mathbf {x} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ are densitate

{\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}

{\ displaystyle {\ frac {\ Gamma \ left [(\ nu + p) / 2 \ right]} {\ Gamma (\ nu / 2) \ nu ^ {p / 2} \ pi ^ {p / 2} \ left | {\ boldsymbol {\ Sigma}} \ right | ^ {1/2}}} \ left [1 + {\ frac {1} {\ nu}} ({\ mathbf {x}} - {\ boldsymbol { \ mu}}) ^ {T} {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {- 1} ({\ mathbf {x}} - {\ boldsymbol {\ mu}}) \ right] ^ {- (\ nu + p) / 2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Gamma \ left [(\ nu + p) / 2 \ right]} {\ Gamma (\ nu / 2) \ nu ^ {p / 2} \ pi ^ {p / 2} \ left | {\ boldsymbol {\ Sigma}} \ right | ^ {1/2}}} \ left [1 + {\ frac {1} {\ nu}} ({\ mathbf {x}} - {\ boldsymbol { \ mu}}) ^ {T} {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {- 1} ({\ mathbf {x}} - {\ boldsymbol {\ mu}}) \ right] ^ {- (\ nu + p) / 2}}

și se spune că este distribuit ca un student t multivariat parametrizat ${\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\mu }},\nu$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, \ nu}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}}, {\ boldsymbol {\ mu}}, \ nu}$ . Rețineți că $\mathbf {\Sigma }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma}}$ nu este matricea de covarianță deoarece covarianța este dată de $\nu /(\nu -2)\mathbf {\Sigma }$ ${\ displaystyle \ nu / (\ nu -2) \ mathbf {\ Sigma}}$ ${\ displaystyle \ nu / (\ nu -2) \ mathbf {\ Sigma}}$ (pentru $\nu >2$ ${\ displaystyle \ nu> 2}$ ${\ displaystyle \ nu> 2}$ ).

În cazul special $\nu =1$ ${\ displaystyle \ nu = 1}$ ${\ displaystyle \ nu = 1}$ , distribuția este o distribuție Cauchy multivariată.