Teorema probabilității absolute

În teoria probabilității, teorema probabilității absolute (numită și teorema partiției ) afirmă că dacă $\ A_{1},\ldots ,A_{n}$ ${\ displaystyle \ A_ {1}, \ ldots, A_ {n}}$ $\ A_ {1}, \ ldots, A_ {n}$ ele formează o partiție a spațiului eșantion al tuturor evenimentelor posibile $\ \Omega$ ${\ displaystyle \ \ Omega}$ $\ \ Omega$ (sau $\ A_{i}\cap A_{j}=\varnothing \ \forall i\neq j$ ${\ displaystyle \ A_ {i} \ cap A_ {j} = \ varnothing \ \ forall i \ neq j}$ $\ A_ {i} \ cap A_ {j} = \ varnothing \ \ forall i \ neq j$ Și $\cup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega$ ${\ displaystyle \ cup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = \ Omega}$ $\ cup _ {{i = 1}} ^ {n} A_ {i} = \ Omega$ ) Și $\ B$ ${\ displaystyle \ B}$ $\ B$ este orice eveniment (dependent de evenimente $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ ), asa de:

{\mbox{P}}(B)=\sum _{i=1}^{n}{\mbox{P}}(A_{i}\cap B)=\sum _{i=1}^{n}{\mbox{P}}(A_{i}){\mbox{P}}(B|A_{i})

{\ displaystyle {\ mbox {P}} (B) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ mbox {P}} (A_ {i} \ cap B) = \ sum _ {i = 1 } ^ {n} {\ mbox {P}} (A_ {i}) {\ mbox {P}} (B | A_ {i})}

{\ mbox {P}} (B) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ mbox {P}} (A_ {i} \ cap B) = \ sum _ {{i = 1 }} ^ {n} {\ mbox {P}} (A_ {i}) {\ mbox {P}} (B | A_ {i})

Demonstrație

Dovada acestui rezultat rezultă imediat din faptul că:

\ B=(A_{1}\cap B)\cup (A_{2}\cap B)\cup \cdots \cup (A_{n}\cap B)

{\ displaystyle \ B = (A_ {1} \ cap B) \ cup (A_ {2} \ cap B) \ cup \ cdots \ cup (A_ {n} \ cap B)}

\ B = (A_ {1} \ cap B) \ cup (A_ {2} \ cap B) \ cup \ cdots \ cup (A_ {n} \ cap B)

prin urmare, datorită aditivității probabilității , deoarece evenimentele sunt două câte două incompatibile:

\ {\mbox{P}}(B)=\sum _{i}{\mbox{P}}(A_{i}\cap B)

{\ displaystyle \ {\ mbox {P}} (B) = \ sum _ {i} {\ mbox {P}} (A_ {i} \ cap B)}

\ {\ mbox {P}} (B) = \ sum _ {i} {\ mbox {P}} (A_ {i} \ cap B)

Dar, deoarece, conform definiției probabilității condiționale : $\ {\mbox{P}}(A_{i}\cap B)={\mbox{P}}(A_{i}){\mbox{P}}(B|A_{i})$ ${\ displaystyle \ {\ mbox {P}} (A_ {i} \ cap B) = {\ mbox {P}} (A_ {i}) {\ mbox {P}} (B | A_ {i})}$ $\ {\ mbox {P}} (A_ {i} \ cap B) = {\ mbox {P}} (A_ {i}) {\ mbox {P}} (B | A_ {i})$ , avem: