Teorema Ascoli-Arzelà

În analiza matematică , teorema lui Ascoli-Arzelà oferă o condiție suficientă pentru o succesiune de funcții continue limitate admite o convergență de subsecvență , în conformitate cu maximul . Este norma care plătește $C([a,b])$ ${\ displaystyle C ([a, b])}$ $Taxi])$ , spațiul funcțiilor continue pe interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , un spațiu complet , adică un spațiu Banach . Rezultatul teoremei nu este banal deoarece, după cum se poate dovedi, compactitatea este echivalentă cu închiderea și limitarea numai în spații dimensionale finite (a se vedea teorema Heine-Borel ). ^[1]

Teorema are o importanță fundamentală în analiza funcțională . Acesta poartă numele matematicienilor italieni Giulio Ascoli și Cesare Arzelà .

Teorema

O succesiune de funcții continue $\{f_{n}\}_{n\in N}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ în N}}$ $\ {f_ {n} \} _ {{n \ în N}}$ definit pe un interval $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle [a, b] \ subset \ mathbb {R}}$ se spune că este delimitat uniform dacă există un număr $M>0$ ${\ displaystyle M> 0}$ ${\ displaystyle M> 0}$ astfel încât:

|f_{n}(x)|\leq M

{\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq M}

| f_ {n} (x) | \ leq M

pentru fiecare funcție $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ a succesiunii și pentru fiecare $x\in [a,b]$ ${\ displaystyle x \ in [a, b]}$ $x \ în [a, b]$ . O astfel de secvență este uniform echicontinuă dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât:

|f_{n}(t)-f_{n}(\tau )|<\varepsilon \qquad |t-\tau |<\delta

{\ displaystyle | f_ {n} (t) -f_ {n} (\ tau) | <\ varepsilon \ qquad | t- \ tau | <\ delta}

| f_ {n} (t) -f_ {n} (\ tau) | <\ varepsilon \ qquad | t- \ tau | <\ delta

pentru fiecare funcție $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ a succesiunii. În mod echivalent, o secvență este echicontinuă dacă și numai dacă toate elementele sale au același modul de continuitate .

Teorema Ascoli-Arzelà are în vedere o succesiune $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ a funcțiilor continue cu valoare reală definite pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ . Dacă secvența este echicontinuă și uniform mărginită, atunci există o subsecvență $f_{n_{k}}$ ${\ displaystyle f_ {n_ {k}}}$ $f _ {{n_ {k}}}$ convergând uniform.

Generalizare

O versiune mai generală a teoremei are în vedere spațiile metrice . Ca definiție preliminară, un set este relativ compact dacă închiderea sa este compactă. Lasa-i sa fie $X, Da$ ${\ displaystyle X, Y}$ $X Y$ spații metrice, $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ed. compactă $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ un subset de $C(X,Y)$ ${\ displaystyle C (X, Y)}$ $C (X, Y)$ . De sine $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este echicontinuu și întregul $E(t)=\{f(t):f\in E\}$ ${\ displaystyle E (t) = \ {f (t): f \ în E \}}$ $E (t) = \ {f (t): f \ în E \}$ este relativ compact pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , asa de $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este relativ compact.

Demonstrație

Luați în considerare o ordonare a numerelor raționale ale intervalului $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ și o succesiune $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ . Apoi este limitat la primul rațional $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ $q_ {1}$ , dar de atunci $[-M,M]$ ${\ displaystyle [-M, M]}$ $[-M, M]$ este un compact (unde $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este constanta uniformă a delimitării), va admite o subsecvență care converge pe $q_{1}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ $q_ {1}$ , pe care îl indicăm cu $f_{1,n}$ ${\ displaystyle f_ {1, n}}$ $f _ {{1, n}}$ . Subsecvența $f_{1,n}$ ${\ displaystyle f_ {1, n}}$ $f _ {{1, n}}$ este limitată la a doua rațională $q_{2}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ $q_ {2}$ și astfel admite o sub-subsecvență care converge pe $q_{2}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ $q_ {2}$ , indicat cu $f_{2,n}$ ${\ displaystyle f_ {2, n}}$ $f _ {{2, n}}$ . La rândul său, acest lucru va fi limitat la $q_{3}$ ${\ displaystyle q_ {3}}$ $q_ {3}$ , si asa mai departe. Procedând astfel, se construiește o succesiune de subsecvențe $f_{m,n}$ ${\ displaystyle f_ {m, n}}$ $f _ {{m, n}}$ astfel încât $f_{m,n}$ ${\ displaystyle f_ {m, n}}$ $f _ {{m, n}}$ converge pentru fiecare $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ mai mic sau egal cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ . În acest moment este posibil să construim o subsecvență prin extragerea diagonalei $f_{m,n}$ ${\ displaystyle f_ {m, n}}$ $f _ {{m, n}}$ , adică luând succesiunea $f_{n,n}$ ${\ displaystyle f_ {n, n}}$ $f _ {{n, n}}$ care converge către orice rațional conținut în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ .

Vrem să arătăm că succesiunea $f_{n,n}$ ${\ displaystyle f_ {n, n}}$ $f _ {{n, n}}$ este de la Cauchy înainte $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , întrucât completitudinea spațiului ne permite să concluzionăm acest lucru. Așa că fii reparat $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ și provine de la echicontinuitate pe $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ corespunzător. Acoperind deci $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ intervale $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ , toate mai puțin de $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ apartine unui $I_{n}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ $În}$ . Deci avem:

|f_{n,n}(t)-f_{m,m}(t)|<|f_{n,n}(t)-f_{n,n}(q_{i})|+|f_{n,n}(q_{i})-f_{m,m}(q_{i})|+|f_{m,m}(q_{i})-f_{m,m}(t)|\

{\ displaystyle | f_ {n, n} (t) -f_ {m, m} (t) | <| f_ {n, n} (t) -f_ {n, n} (q_ {i}) | + | f_ {n, n} (q_ {i}) - f_ {m, m} (q_ {i}) | + | f_ {m, m} (q_ {i}) - f_ {m, m} (t ) | \}

| f _ {{n, n}} (t) -f _ {{m, m}} (t) | <| f _ {{n, n}} (t) -f _ {{n, n} } (q_ {i}) | + | f _ {{n, n}} (q_ {i}) - f _ {{m, m}} (q_ {i}) | + | f _ {{m, m}} (q_ {i}) - f _ {{m, m}} (t) | \

Primul și al treilea termen pentru al doilea membru sunt mai mici de $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , doar alege $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ în $I_{j}$ ${\ displaystyle I_ {j}}$ $I_ {j}$ ( $I_{j}$ ${\ displaystyle I_ {j}}$ $I_ {j}$ astfel încât $t\in I_{j}$ ${\ displaystyle t \ in I_ {j}}$ $t \ in I_ {j}$ ), în virtutea continuității echi-uniforme a $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f _ {{n}}$ . Termenul central la al doilea membru este mai mic de $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ pentru $m, n$ ${\ displaystyle m, n}$ $m, n$ suficient de mare, din moment ce $f_{n,n}$ ${\ displaystyle f_ {n, n}}$ $f _ {{n, n}}$ converge la toate raționalele. $f_{n,n}$ ${\ displaystyle f_ {n, n}}$ $f _ {{n, n}}$ converge punctual la unul $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , succesiunea $f_{n,n}$ ${\ displaystyle f_ {n, n}}$ $f _ {{n, n}}$ este destul de uniform continuu în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , asa de $f_{n,n}$ ${\ displaystyle f_ {n, n}}$ $f _ {{n, n}}$ converge uniform spre $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , deci în special $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este continuu în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ .

Notă

^ O secvență mărginită care nu admite subsecvențe care converg în norma maximului, de exemplu, este secvența $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ definit de:
$f_{n}=\left\{{\begin{matrix}2n(n+1)x-2n&{\frac {1}{n+1}}\leq x<{\frac {2n+1}{2n(n+1)}}\\-2n(n+1)x+2(n+1)&{\frac {2n+1}{2n(n+1)}}\leq x<{\frac {1}{n}}\\0&altrove\end{matrix}}\right.$ ${\ displaystyle f_ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} 2n (n + 1) x-2n & {\ frac {1} {n + 1}} \ leq x <{\ frac {2n + 1} {2n (n + 1)}} \\ - 2n (n + 1) x + 2 (n + 1) și {\ frac {2n + 1} {2n (n + 1)}} \ leq x < {\ frac {1} {n}} \\ 0 și în altă parte \ end {matrix}} \ right.}$ $f_ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} 2n (n + 1) x-2n & {\ frac {1} {n + 1}} \ leq x <{\ frac {2n + 1} { 2n (n + 1)}} \\ - 2n (n + 1) x + 2 (n + 1) și {\ frac {2n + 1} {2n (n + 1)}} \ leq x <{\ frac {1} {n}} \\ 0 & în altă parte \ end {matrix}} \ right.$
În esență, acestea sunt funcții frontale cu un maxim egal cu una definită între ${\frac {1}{n+1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n + 1}}}$ ${\ frac {1} {n + 1}}$ Și ${\frac {1}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ ${\ frac {1} {n}}$ . Aceste funcții sunt limitate (maximul este tocmai una), dar sunt întotdeauna separate unul de celălalt, deoarece acolo unde o funcție este diferită de zero, toate celelalte sunt nule.

Bibliografie

Walter Rudin, Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .
Cesare Arzelà , Despre funcțiile liniilor , în Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Schi. Fis. Mat. , vol. 5, nr. 5, 1895, pp. 55-74.
Cesare Arzelà , O observație asupra seriei de funcții , în Rend. De Accad. R. Delle Sci. Of the Institute of Bologna , 1882–1883, pp. 142–159.
Giulio Ascoli , Curbele limită ale unei varietăți date de curbe , în Atti della R. Accad. Dei Lincei Amintiri ale Cl. Schi. Fis. Mat. Nat. , vol. 18, nr. 3, 1883–1884, pp. 521–586.
Maurice Fréchet , Sur quelques points du calcul functionnel , în Rend. Circ. Mat. Palermo , vol. 22, 1906, pp. 1–74, DOI : 10.1007 / BF03018603 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Teorema Ascoli-Arzelà , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] O secvență mărginită care nu admite subsecvențe care converg în norma maximului, de exemplu, este secvența $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ definit de:
$f_{n}=\left\{{\begin{matrix}2n(n+1)x-2n&{\frac {1}{n+1}}\leq x<{\frac {2n+1}{2n(n+1)}}\\-2n(n+1)x+2(n+1)&{\frac {2n+1}{2n(n+1)}}\leq x<{\frac {1}{n}}\\0&altrove\end{matrix}}\right.$ ${\ displaystyle f_ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} 2n (n + 1) x-2n & {\ frac {1} {n + 1}} \ leq x <{\ frac {2n + 1} {2n (n + 1)}} \\ - 2n (n + 1) x + 2 (n + 1) și {\ frac {2n + 1} {2n (n + 1)}} \ leq x < {\ frac {1} {n}} \\ 0 și în altă parte \ end {matrix}} \ right.}$ $f_ {n} = \ left \ {{\ begin {matrix} 2n (n + 1) x-2n & {\ frac {1} {n + 1}} \ leq x <{\ frac {2n + 1} { 2n (n + 1)}} \\ - 2n (n + 1) x + 2 (n + 1) și {\ frac {2n + 1} {2n (n + 1)}} \ leq x <{\ frac {1} {n}} \\ 0 & în altă parte \ end {matrix}} \ right.$
În esență, acestea sunt funcții frontale cu un maxim egal cu una definită între ${\frac {1}{n+1}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n + 1}}}$ ${\ frac {1} {n + 1}}$ Și ${\frac {1}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ ${\ frac {1} {n}}$ . Aceste funcții sunt limitate (maximul este tocmai una), dar sunt întotdeauna separate unul de celălalt, deoarece acolo unde o funcție este diferită de zero, toate celelalte sunt nule.

[1]