Proces ciclostationar

Un proces ciclostationar este un semnal care are proprietăți statistice care variază în timp. Procesele ciclostationare stochastice sunt utilizate pentru a descrie procesele generate de fenomene periodice, deoarece există multe în natură. Astfel de procese, deși nu sunt descrise în termeni de funcții periodice ale timpului, produc date care pot fi descrise prin parametri statistici care variază periodic în timp (statistici de ordinul I și II). De exemplu, în telecomunicații , periodicitatea datelor se datorează modulației , eșantionării , codării ; în mecanică se datorează rotației mecanismelor, în timp ce în radioastronomie periodicitatea este generată de exemplu de mișcările de rotație și revoluție ale planetelor și de pulsația stelelor.

Definiție

Există două abordări diferite pentru studiul proceselor ciclostationare: una probabilistică , care consideră semnale ca realizări ale unui proces stochastic ; cealaltă, de tip determinist, în care semnalele sunt modelate ca o singură funcție a timpului (serie temporală), mai degrabă decât ca realizare a unui proces stochastic. Această abordare este utilizată atunci când nu există un set de realizări, iar seria temporală este utilizată, cu un raționament la limită, doar pentru a crea un model matematic al procesului în sine (abordare FOT = fracțiune de timp ).

În ambele cazuri, procesul sau seria temporală se numește ciclostaționar dacă statisticile asociate variază periodic în timp.

Procese ciclostationare în sens larg

Semnalele care prezintă ciclostationaritate în statistici de ordinul doi (funcții medii și autocorelație ) se numesc ciclostationari în sens larg . Indicând cu $\operatorname {E}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E}}$ operatorul media , un proces ciclostationar $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ perioadă $T_{0}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ $T_ {0}$ prin urmare, îndeplinește următoarele relații:

\operatorname {E} [x(t)]=\operatorname {E} [x(t+T_{0})]\quad \forall t

{\ displaystyle \ operatorname {E} [x (t)] = \ operatorname {E} [x (t + T_ {0})] \ quad \ forall t}

{\ displaystyle \ operatorname {E} [x (t)] = \ operatorname {E} [x (t + T_ {0})] \ quad \ forall t}

R_{x}(t;\tau )=R_{x}(t+T_{0};\tau )\quad \forall t,\tau .

{\ displaystyle R_ {x} (t; \ tau) = R_ {x} (t ​​+ T_ {0}; \ tau) \ quad \ forall t, \ tau.}

{\ displaystyle R_ {x} (t; \ tau) = R_ {x} (t ​​+ T_ {0}; \ tau) \ quad \ forall t, \ tau.}

În special, funcția de autocorelație, fiind o funcție periodică în t , poate fi extinsă în seria Fourier :

R_{x}(t;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}

{\ displaystyle R_ {x} (t; \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) e ^ {j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} t}}

{\ displaystyle R_ {x} (t; \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) e ^ {j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} t}}

unde este $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ ${\ displaystyle R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau)}$ ${\ displaystyle R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau)}$ se numește funcția de autocorelație ciclică și este egală cu:

R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.

{\ displaystyle R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) = {\ frac {1} {T_ {0}}} \ int _ {- T_ {0} / 2} ^ {T_ { 0} / 2} R_ {x} (t, \ tau) și ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} t} \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) = {\ frac {1} {T_ {0}}} \ int _ {- T_ {0} / 2} ^ {T_ { 0} / 2} R_ {x} (t, \ tau) și ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} t} \ mathrm {d} t.}

Frecvențele $n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,$ ${\ displaystyle n / T_ {0}, \, n \ in \ mathbb {Z},}$ ${\ displaystyle n / T_ {0}, \, n \ in \ mathbb {Z},}$ se numesc frecvențe ciclice .

Procesele staționare în sens larg pot fi văzute ca cazuri particulare de procese ciclostaționare în sens larg cu numai $R_{x}^{0}(\tau )\neq 0$ ${\ displaystyle R_ {x} ^ {0} (\ tau) \ neq 0}$ ${\ displaystyle R_ {x} ^ {0} (\ tau) \ neq 0}$ .

Serii cronologice ciclostationare

Un semnal funcțional timp care nu este în general o realizare a unui proces stochastic poate prezenta ciclostaționalitate în contextul teoriei FOT. Conform acestei interpretări, funcția de autocorelație ciclică poate fi definită după cum urmează:

{\hat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{t-T/2}^{t+T/2}x(t+\tau )x^{*}(t)e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.

{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) = \ lim _ {T \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {tT / 2} ^ {t + T / 2} x (t + \ tau) x ^ {*} (t) e ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} t} \ mathrm {d} t.}

{\ displaystyle {\ hat {R}} _ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) = \ lim _ {T \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {tT / 2} ^ {t + T / 2} x (t + \ tau) x ^ {*} (t) e ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} t} \ mathrm {d} t.}

Dacă seria temporală este o realizare a unui proces stochastic, atunci $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\hat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )\right]$ ${\ displaystyle R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) = \ operatorname {E} \ left [{\ hat {R}} _ {x} ^ {n / T_ {0}} ( \ tau) \ right]}$ ${\ displaystyle R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) = \ operatorname {E} \ left [{\ hat {R}} _ {x} ^ {n / T_ {0}} ( \ tau) \ right]}$ . Dacă, în plus, semnalul este și ergodic , atunci toate realizările prezintă aceleași medii temporale, deci $R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\hat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )$ ${\ displaystyle R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) = {\ hat {R}} _ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau)}$ ${\ displaystyle R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) = {\ hat {R}} _ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau)}$ în eroare pătrată medie .

Comportament în domeniul frecvenței

Transformata Fourier a funcției de autocorelație ciclică la frecvența ciclică α se numește funcție de spectru ciclic sau densitate spectrală de corelație . Această funcție este egală cu:

S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-j2\pi \alpha \tau }\mathrm {d} \tau .

{\ displaystyle S_ {x} ^ {\ alpha} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} R_ {x} ^ {\ alpha} (\ tau) e ^ {- j2 \ pi \ alpha \ tau} \ mathrm {d} \ tau.}

{\ displaystyle S_ {x} ^ {\ alpha} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} R_ {x} ^ {\ alpha} (\ tau) e ^ {- j2 \ pi \ alpha \ tau} \ mathrm {d} \ tau.}

Spectrul ciclic la frecvența ciclică zero este numit și densitatea spectrală medie a puterii .

Rețineți că un proces ciclostationar $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ cu transformata Fourier $X(f)$ ${\ displaystyle X (f)}$ $X (f)$ poate avea componente de frecvență corelate atunci când acestea sunt distanțate de multipli de $1/T_{0}$ ${\ displaystyle 1 / T_ {0}}$ ${\ displaystyle 1 / T_ {0}}$ . În special:

\operatorname {E} \left[X(f_{1})X^{*}(f_{2})\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S_{x}^{n/T_{0}}(f_{1})\delta \left(f_{1}-f_{2}+{\frac {n}{T_{0}}}\right)

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [X (f_ {1}) X ^ {*} (f_ {2}) \ right] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} S_ { x} ^ {n / T_ {0}} (f_ {1}) \ delta \ left (f_ {1} -f_ {2} + {\ frac {n} {T_ {0}}} \ right)}

{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [X (f_ {1}) X ^ {*} (f_ {2}) \ right] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} S_ { x} ^ {n / T_ {0}} (f_ {1}) \ delta \ left (f_ {1} -f_ {2} + {\ frac {n} {T_ {0}}} \ right)}

unde este $\delta (f)$ ${\ displaystyle \ delta (f)}$ ${\ displaystyle \ delta (f)}$ indică funcția delta Dirac . Frecvențele $f_{1}\neq f_{2}$ ${\ displaystyle f_ {1} \ neq f_ {2}}$ ${\ displaystyle f_ {1} \ neq f_ {2}}$ în schimb, ele sunt întotdeauna necorelate pentru un proces staționar în sens larg, fiind $S_{x}^{n/T_{0}}(f)\neq 0$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {n / T_ {0}} (f) \ neq 0}$ ${\ displaystyle S_ {x} ^ {n / T_ {0}} (f) \ neq 0}$ doar pentru $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ .

Exemplu: semnal digital modulat liniar

Un exemplu de semnal ciclostationar este un semnal digital liniar modulat:

x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}p(t-kT_{0})

{\ displaystyle x (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} p (t-kT_ {0})}

{\ displaystyle x (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} p (t-kT_ {0})}

unde este $a_{k}\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle a_ {k} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle a_ {k} \ in \ mathbb {C}}$ sunt IID variabile aleatoare. Semnalul $p(t)$ ${\ displaystyle p (t)}$ $p (t)$ , cu transformată Fourier $P(f)$ ${\ displaystyle P (f)}$ ${\ displaystyle P (f)}$ , este impulsul de sprijin al modulației.

Asumând $\operatorname {E} [a_{k}]=0$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [a_ {k}] = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [a_ {k}] = 0}$ Și $\operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [| a_ {k} | ^ {2}] = \ sigma _ {a} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [| a_ {k} | ^ {2}] = \ sigma _ {a} ^ {2}}$ , funcția de autocorelare este:

{\begin{aligned}R_{x}(t,\tau )&=\operatorname {E} [x(t+\tau )x^{*}(t)]\\&=\sum _{k,n}\operatorname {E} [a_{k}a_{n}^{*}]p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-nT_{0})\\&=\sigma _{a}^{2}\sum _{k}p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0}).\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {x} (t, \ tau) & = \ operatorname {E} [x (t + \ tau) x ^ {*} (t)] \\ & = \ sum _ {k, n} \ operatorname {E} [a_ {k} a_ {n} ^ {*}] p (t + \ tau -kT_ {0}) p ^ {*} (t-nT_ {0}) \ \ & = \ sigma _ {a} ^ {2} \ sum _ {k} p (t + \ tau -kT_ {0}) p ^ {*} (t-kT_ {0}). \ end {align} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {x} (t, \ tau) & = \ operatorname {E} [x (t + \ tau) x ^ {*} (t)] \\ & = \ sum _ {k, n} \ operatorname {E} [a_ {k} a_ {n} ^ {*}] p (t + \ tau -kT_ {0}) p ^ {*} (t-nT_ {0}) \ \ & = \ sigma _ {a} ^ {2} \ sum _ {k} p (t + \ tau -kT_ {0}) p ^ {*} (t-kT_ {0}). \ end {align} }}

Ultima însumare este o însumare periodică, deci un semnal periodic în t . În consecință, $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este un semnal ciclostationar cu punct $T_{0}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ $T_ {0}$ și funcția de autocorelare ciclică:

{\begin{aligned}R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}}^{T_{0}}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t\\&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}}^{T_{0}}\sigma _{a}^{2}\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0})e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t\\&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-T_{0}-kT_{0}}^{T_{0}-kT_{0}}p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}(\lambda +kT_{0})}\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\lambda }\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}p(\tau )*\left\{p^{*}(-\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\tau }\right\}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) & = {\ frac {1} {T_ {0}}} \ int _ {- T_ {0} } ^ {T_ {0}} R_ {x} (t, \ tau) e ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} t} \ mathrm {d} t \\ & = {\ frac {1} {T_ {0}}} \ int _ {- T_ {0}} ^ {T_ {0}} \ sigma _ {a} ^ {2} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} p (t + \ tau -kT_ {0}) p ^ {*} (t-kT_ {0}) e ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} t} \ mathrm {d} t \\ & = {\ frac {\ sigma _ {a} ^ {2}} {T_ {0}}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T_ {0} -kT_ {0}} ^ {T_ {0} -kT_ {0}} p (\ lambda + \ tau) p ^ {*} (\ lambda) e ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} (\ lambda + kT_ {0})} \ mathrm {d} \ lambda \\ & = {\ frac {\ sigma _ {a} ^ {2}} { T_ {0}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} p (\ lambda + \ tau) p ^ {*} (\ lambda) e ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} { T_ {0}}} \ lambda} \ mathrm {d} \ lambda \\ & = {\ frac {\ sigma _ {a} ^ {2}} {T_ {0}}} p (\ tau) * \ left \ {p ^ {*} (- \ tau) și ^ {j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} \ tau} \ right \}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {x} ^ {n / T_ {0}} (\ tau) & = {\ frac {1} {T_ {0}}} \ int _ {- T_ {0} } ^ {T_ {0}} R_ {x} (t, \ tau) e ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} t} \ mathrm {d} t \\ & = {\ frac {1} {T_ {0}}} \ int _ {- T_ {0}} ^ {T_ {0}} \ sigma _ {a} ^ {2} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} p (t + \ tau -kT_ {0}) p ^ {*} (t-kT_ {0}) e ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} t} \ mathrm {d} t \\ & = {\ frac {\ sigma _ {a} ^ {2}} {T_ {0}}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T_ {0} -kT_ {0}} ^ {T_ {0} -kT_ {0}} p (\ lambda + \ tau) p ^ {*} (\ lambda) e ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} (\ lambda + kT_ {0})} \ mathrm {d} \ lambda \\ & = {\ frac {\ sigma _ {a} ^ {2}} { T_ {0}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} p (\ lambda + \ tau) p ^ {*} (\ lambda) e ^ {- j2 \ pi {\ frac {n} { T_ {0}}} \ lambda} \ mathrm {d} \ lambda \\ & = {\ frac {\ sigma _ {a} ^ {2}} {T_ {0}}} p (\ tau) * \ left \ {p ^ {*} (- \ tau) și ^ {j2 \ pi {\ frac {n} {T_ {0}}} \ tau} \ right \}. \ end {align}}}

unde este $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ indică operatorul de convoluție . Spectrul ciclic este:

S_{x}^{n/T_{0}}(f)={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}P(f)P^{*}\left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right).

{\ displaystyle S_ {x} ^ {n / T_ {0}} (f) = {\ frac {\ sigma _ {a} ^ {2}} {T_ {0}}} P (f) P ^ {* } \ left (f - {\ frac {n} {T_ {0}}} \ right).}

{\ displaystyle S_ {x} ^ {n / T_ {0}} (f) = {\ frac {\ sigma _ {a} ^ {2}} {T_ {0}}} P (f) P ^ {* } \ left (f - {\ frac {n} {T_ {0}}} \ right).}

Impulsurile tipice ale cosinusului ridicat utilizate în mod normal în comunicațiile digitale au deci doar frecvențe ciclice $n=-1,0,1$ ${\ displaystyle n = -1,0,1}$ ${\ displaystyle n = -1,0,1}$ .

Bibliografie

William A. Gardner, Antonio Napolitano și Luigi Paura, Cyclostationarity: Half a century of research , în Signal Processing , vol. 86, nr. 4, Elsevier, 2006, pp. 639–697, DOI : 10.1016 / j.sigpro.2005.06.016 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Statistici
Statisticile descriptive	Medii ( aritmetice · geometrice · armonioase · Putere · aritmetice și geometrice · Integrale ) · Mediană · Modă · interval de variație · varianță · Deviație standard · deviație absolută medie · Simetrie · Diferență medie ( absolută · logaritmică ) · Curtosi
Inferință statistică	Test de testare a ipotezei · Semnificație · Ipoteză nulă / alternativă · Eroare I și tip II · Test Q · U test · Test t · Z Test · Probabilitate maximă · Standardizare · valoare p · Analiza variației
Analiza supraviețuirii	Rată de eșec · Estimator Kaplan-Meier · test log-rank
Analiza regresiei	Regresie liniară · Regresie neliniară · variabile instrumentale · metodă generalizată a momentelor · Regresie logistică · Model probit · Model logit