Continuitate absolută

În matematică , conceptul de continuitate absolută se aplică la două concepte distincte.

Continuitate absolută a funcțiilor reale

În matematică , o funcție cu valoare reală a unei variabile reale este absolut continuă dacă pentru orice număr pozitiv $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ mic după bunul plac există un număr pozitiv $\delta (\varepsilon )$ ${\ displaystyle \ delta (\ varepsilon)}$ $\ delta (\ varepsilon)$ astfel încât pentru orice succesiune (finită sau infinită) de sub- intervale $[x_{k},y_{k}]$ ${\ displaystyle [x_ {k}, y_ {k}]}$ $[x_ {k}, y_ {k}]$ a domeniului funcției astfel încât:

$]x_{k},y_{k}[\,\bigcap \,]x_{z},y_{z}[=\emptyset \quad k\neq z$ ${\ displaystyle] x_ {k}, y_ {k} [\, \ bigcap \,] x_ {z}, y_ {z} [= \ emptyset \ quad k \ neq z}$ ${\ displaystyle] x_ {k}, y_ {k} [\, \ bigcap \,] x_ {z}, y_ {z} [= \ emptyset \ quad k \ neq z}$

care verifică:

\sum _{k}(y_{k}-x_{k})<\delta \

{\ displaystyle \ sum _ {k} (y_ {k} -x_ {k}) <\ delta \}

\ sum _ {{k}} (y_ {k} -x_ {k}) <\ delta \

avem: ^[1]

\sum _{k}\left|f(y_{k})-f(x_{k})\right|<\varepsilon

{\ displaystyle \ sum _ {k} \ left | f (y_ {k}) - f (x_ {k}) \ right | <\ varepsilon}

\ sum _ {{k}} \ left | f (y_ {k}) - f (x_ {k}) \ right | <\ varepsilon

Fiecare funcție absolut continuă are ca rezultat o variație limitată și uniformă continuă și, în consecință, continuă . Conversa nu este neapărat adevărată: funcția Cantor , de exemplu, este continuă în întregul său domeniu, dar nu este în niciun caz continuă. Fiecare funcție Lipschitz este absolut continuă, în timp ce inversul nu este adevărat: ${\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$ ${\ sqrt {x}}$ pentru $x\in [0,1]$ ${\ displaystyle x \ in [0,1]}$ $x \ in [0,1]$ este absolut continuu, dar nu Lipschitzian.

Teorema fundamentală a calculului integral Lebesgue

Același subiect în detaliu: Teorema fundamentală a calculului integral .

Presupunând că o funcție este de variație mărginită, continuitatea absolută este o condiție necesară și suficientă pentru validitatea teoremei fundamentale a calculului integral.

O functie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe intervalul compact $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ la valori în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ este absolut continuu dacă are o derivată $f^{'}$ ${\ displaystyle f '}$ $f '$ definit aproape peste tot și integrabil conform lui Lebesgue astfel încât:

f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt\qquad \forall x\in [a,b]

{\ displaystyle f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} f '(t) \, dt \ qquad \ forall x \ in [a, b]}

f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} f '(t) \, dt \ qquad \ forall x \ in [a, b]

În mod echivalent, există o funcție $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ integrabil conform lui Lebesgue astfel încât:

f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt\qquad \forall x\in [a,b]

{\ displaystyle f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} g (t) \, dt \ qquad \ forall x \ in [a, b]}

f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} g (t) \, dt \ qquad \ forall x \ in [a, b]

Această definiție a continuității absolute se numește teorema fundamentală a calculului integral a lui Lebesgue . Dacă sunt îndeplinite condițiile echivalente anterioare, avem:

g=f'

{\ displaystyle g = f '}

g = f '

aproape peste tot.

Generalizări

Este $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ un spațiu metric e $I\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ $I \ subset \ mathbb {R}$ un interval. O functie $f:I\to X$ ${\ displaystyle f: I \ to X}$ $f: I \ to X$ este absolut continuu pe $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ dacă pentru fiecare număr pozitiv $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ există un număr pozitiv $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ astfel încât, dacă o secvență finită de sub-intervale disjuncte reciproc $[x_{k},y_{k}]$ ${\ displaystyle [x_ {k}, y_ {k}]}$ $[x_ {k}, y_ {k}]$ din $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ satisface:

\sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta

{\ displaystyle \ sum _ {k} \ left | y_ {k} -x_ {k} \ right | <\ delta}

\ sum _ {{k}} \ left | y_ {k} -x_ {k} \ right | <\ delta

asa de:

\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon

{\ displaystyle \ sum _ {k} d \ left (f (y_ {k}), f (x_ {k}) \ right) <\ epsilon}

\ sum _ {{k}} d \ left (f (y_ {k}), f (x_ {k}) \ right) <\ epsilon

Setul de funcții absolut continue din $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se notează cu $AC(I;X)$ ${\ displaystyle AC (I; X)}$ $AC (I; X)$ .

O altă generalizare este spațiul $AC^{p}(I;X)$ ${\ displaystyle AC ^ {p} (I; X)}$ $AC ^ {p} (I; X)$ curbe $f:I\to X$ ${\ displaystyle f: I \ to X}$ $f: I \ to X$ astfel încât:

d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau \qquad \forall [s,t]\subseteq I

{\ displaystyle d \ left (f (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {s} ^ {t} m (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau \ qquad \ forall [ s, t] \ subseteq I}

d \ left (f (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {{s}} ^ {{t}} m (\ tau) \, {\ mathrm {d}} \ tau \ qquad \ forall [s, t] \ subseteq I

pentru unii $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ în spațiu $L^{p}(I)$ ${\ displaystyle L ^ {p} (I)}$ $L ^ {p} (I)$ .

Continuitatea absolută a măsurătorilor

De sine $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ sunt măsuri pe aceeași sigma-algebră , măsura $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ se spune că este absolut continuu în ceea ce privește $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ de sine $\mu (A)=0$ ${\ displaystyle \ mu (A) = 0}$ $\ mu (A) = 0$ pentru fiecare set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru care $\nu (A)=0$ ${\ displaystyle \ nu (A) = 0}$ $\ nu (A) = 0$ . Această situație este prezentată cu scrierea $\mu \ll \nu$ ${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu}$ $\ mu \ ll \ nu$ . ^[2]

În mod echivalent, dacă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură finită, pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât:

|\mu (E)|<\varepsilon

{\ displaystyle | \ mu (E) | <\ varepsilon}

| \ mu (E) | <\ varepsilon

pentru fiecare set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ din sigma-algebră astfel încât: ^[3]

\nu (E)<\delta \

{\ displaystyle \ nu (E) <\ delta \}

\ nu (E) <\ delta \

Proprietate

Dacă există un set $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ astfel încât:

\mu (E)=\mu (B\cap E)

{\ displaystyle \ mu (E) = \ mu (B \ cap E)}

\ mu (E) = \ mu (B \ cap E)

pentru fiecare set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ de sigma-algebră, atunci se spune că această măsură este concentrată asupra $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Măsurătorile concentrate pe seturi disjuncte sunt denumite reciproc singulare . În special, dacă $\mu _{1}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1}}$ $\ mu_1$ Și $\mu _{2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {2}}$ $\ mu_2$ sunt reciproc singular este scris $\mu _{1}\perp \mu _{2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ perp \ mu _ {2}}$ $\ mu _ {1} \ perp \ mu _ {2}$ .

O teoremă de o importanță deosebită în contextul continuității absolute a măsurilor afirmă că dacă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ sunt două măsuri limitate, apoi există o singură pereche de măsuri pozitive $\mu _{1}\perp \mu _{2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ perp \ mu _ {2}}$ $\ mu _ {1} \ perp \ mu _ {2}$ astfel încât:

\mu =\mu _{1}+\mu _{2}\qquad \mu _{1}\ll \nu \qquad \mu _{2}\perp \nu

{\ displaystyle \ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2} \ qquad \ mu _ {1} \ ll \ nu \ qquad \ mu _ {2} \ perp \ nu}

\ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2} \ qquad \ mu _ {1} \ ll \ nu \ qquad \ mu _ {2} \ perp \ nu

Descompunere:

\mu =\mu _{1}+\mu _{2}\

{\ displaystyle \ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2} \}

\ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2} \

se numește descompunerea Lebesgue a $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ relativ la $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , și este unic. ^[4]

Teorema Radon-Nikodym afirmă în continuare că există o singură funcție $h\in L^{1}(\nu )$ ${\ displaystyle h \ în L ^ {1} (\ nu)}$ $h \ în L ^ {1} (\ nu)$ astfel încât:

\mu _{1}(E)=\int _{E}hd\nu \

{\ displaystyle \ mu _ {1} (E) = \ int _ {E} hd \ nu \}

\ mu _ {1} (E) = \ int _ {E} hd \ nu \

pentru fiecare set $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ de sigma-algebră. În special, teorema afirmă că există o funcție măsurabilă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la valori în $[0,\infty ]$ ${\ displaystyle [0, \ infty]}$ $[0, \ infty]$ , notat cu:

f={\frac {d\mu }{d\nu }}

{\ displaystyle f = {\ frac {d \ mu} {d \ nu}}}

f = {\ frac {d \ mu} {d \ nu}}

astfel încât pentru fiecare set măsurabil A să avem:

\mu (A)=\int _{A}f\,d\nu

{\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} f \, d \ nu}

\ mu (A) = \ int _ {A} f \, d \ nu

Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se spune că este un derivat Radon-Nikodym al $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ respect $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ .

Conexiunea între continuitatea absolută a funcțiilor reale și măsuri

O masura $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pe subseturile Borel ale liniei reale este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue dacă și numai dacă funcția:

F(x)=\mu ((-\infty ,x])

{\ displaystyle F (x) = \ mu ((- \ infty, x])}

F (x) = \ mu ((- \ infty, x])

este o funcție reală absolut continuă.

Notă

^ W. Rudin , pagina 165 .
^ W. Rudin , pagina 121 .
^ W. Rudin , pagina 125 .
^ W. Rudin , pagina 122 .

Bibliografie

Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AP Terekhin, VF Emel'yanov, LD Kudryavtsev, VV Sazonov, Continuitate absolută , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 165 .

[2] W. Rudin , pagina 121 .

[3] W. Rudin , pagina 125 .

[4] W. Rudin , pagina 122 .

[1]

[2]

[3]

[4]