Teorema lui Lebesgue

În analiza matematică , teorema lui Lebesgue sau teorema de diferențiere a lui Lebesgue este o teoremă care stabilește echivalența dintre o funcție și derivata integralei sale. Putem lua în considerare o extensie a teoremei fundamentale a calculului integral la cazul funcțiilor integrabile conform lui Lebesgue .

În forma sa cea mai puternică, teorema afirmă că aproape fiecare punct este un punct Lebesgue al unei funcții integrabile local .

Teorema lui Lebesgue aplicată funcției caracteristice a unui set măsurabil furnizează teorema densității lui Lebesgue , care afirmă că limita unui set măsurabil are o măsură neglijabilă. Cu toate acestea, de regulă, este de preferat să se demonstreze din urmă teorema prin metode mai simple.

Teorema

Având o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ integrabilă conform lui Lebesgue, integrala nedefinită a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe un set măsurabil $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este indicat cu $\int _{A}f\ d\lambda$ ${\ displaystyle \ int _ {A} f \ d \ lambda}$ ${\ displaystyle \ int _ {A} f \ d \ lambda}$ și este definit ca funcția care se leagă de colecție $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ integrala Lebesgue a funcției $f\cdot \chi (A)$ ${\ displaystyle f \ cdot \ chi (A)}$ ${\ displaystyle f \ cdot \ chi (A)}$ , unde este $\chi (A)$ ${\ displaystyle \ chi (A)}$ ${\ displaystyle \ chi (A)}$ este funcția caracteristică a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Derivata integralei nedeterminate este definită ca:

\lim _{B\rightarrow x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f\ d\lambda

{\ displaystyle \ lim _ {B \ rightarrow x} {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} f \ d \ lambda}

{\ displaystyle \ lim _ {B \ rightarrow x} {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} f \ d \ lambda}

unde este $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o sferă cu centrul în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Expresia $B\rightarrow x$ ${\ displaystyle B \ rightarrow x}$ ${\ displaystyle B \ rightarrow x}$ înseamnă că raza $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ tinde la zero.

Afirmație

Teorema lui Lebesgue afirmă că derivata integralei lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Este egal cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aproape peste tot, adică există un întreg $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de măsură egală cu cea a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru care:

\lim _{B\rightarrow x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f\ d\lambda =f(x)\qquad \forall x\in X

{\ displaystyle \ lim _ {B \ rightarrow x} {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} f \ d \ lambda = f (x) \ qquad \ forall x \ in X}

{\ displaystyle \ lim _ {B \ rightarrow x} {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} f \ d \ lambda = f (x) \ qquad \ forall x \ in X}

Extensii și generalizări ale teoremei

Este posibil să se extindă teorema prin substituirea sferelor $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cu seturi $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ conținute în aceleași sfere pentru care există $c\geq 0$ ${\ displaystyle c \ geq 0}$ ${\ displaystyle c \ geq 0}$ astfel încât:

\lambda (U)\geq c\lambda (B)

{\ displaystyle \ lambda (U) \ geq c \ lambda (B)}

{\ displaystyle \ lambda (U) \ geq c \ lambda (B)}

Există, de asemenea, o teoremă care stabilește echivalența dintre o funcție diferențiată și integralul derivatei sale, care necesită totuși noțiunea de integrală Henstock-Kurzweil pentru a realiza integrala unei derivate arbitrare.

Demonstrație

Deoarece declarația are o formă locală, funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este nimic în afara unei bile cu rază finită. Prin urmare, devine suficient să se demonstreze că setul:

E_{\alpha }={\Bigl \{}x\in \mathbf {R} ^{n}:\limsup _{|B|\rightarrow 0,\,x\in B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f(x)|\,\mathrm {d} y>2\alpha {\Bigr \}}

{\ displaystyle E _ {\ alpha} = {\ Bigl \ {} x \ in \ mathbf {R} ^ {n}: \ limsup _ {| B | \ rightarrow 0, \, x \ in B} {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} | f (y) -f (x) | \, \ mathrm {d} y> 2 \ alpha {\ Bigr \}}}

{\ displaystyle E _ {\ alpha} = {\ Bigl \ {} x \ in \ mathbf {R} ^ {n}: \ limsup _ {| B | \ rightarrow 0, \, x \ in B} {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} | f (y) -f (x) | \, \ mathrm {d} y> 2 \ alpha {\ Bigr \}}}

nu are nimic potrivit pentru toate $\alpha >0$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ $\ alpha> 0$ .

Să fie dat $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ . Prin exploatarea faptului că setul de funcții continue cu suport compact este dens în $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})$ puteți găsi o funcție $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ care satisface:

\|f-g\|_{L^{1}}=\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f(x)-g(x)|\,\mathrm {d} x<\varepsilon

{\ displaystyle \ | fg \ | _ {L ^ {1}} = \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} | f (x) -g (x) | \, \ mathrm {d} x <\ varepsilon}

{\ displaystyle \ | fg \ | _ {L ^ {1}} = \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} | f (x) -g (x) | \, \ mathrm {d} x <\ varepsilon}

Puteți rescrie diferența ca:

{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} y-f(x)={\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}{\bigl (}f(y)-g(y){\bigr )}\,\mathrm {d} y{\Bigr )}+{\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}g(y)\,\mathrm {d} y-g(x){\Bigr )}+{\bigl (}g(x)-f(x){\bigr )}

{\ displaystyle {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} f (y) \, \ mathrm {d} yf (x) = {\ Bigl (} {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} {\ bigl (} f (y) -g (y) {\ bigr)} \, \ mathrm {d} y {\ Bigr)} + ​​{\ Bigl (} {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} g (y) \, \ mathrm {d} yg (x) {\ Bigr)} + ​​{\ bigl (} g (x) -f (x) {\ bigr)}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} f (y) \, \ mathrm {d} yf (x) = {\ Bigl (} {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} {\ bigl (} f (y) -g (y) {\ bigr)} \, \ mathrm {d} y {\ Bigr)} + ​​{\ Bigl (} {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} g (y) \, \ mathrm {d} yg (x) {\ Bigr)} + ​​{\ bigl (} g (x) -f (x) {\ bigr)}}

Primul termen poate fi limitat de valoarea asumată în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din funcție $(f-g)^{*}(x)$ ${\ displaystyle (fg) ^ {*} (x)}$ ${\ displaystyle (f-g) ^ {*} (x)}$ tavan pentru $f-g$ ${\ displaystyle fg}$ ${\ displaystyle f-g}$ :

{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y\leq \sup _{r>0}{\frac {1}{|B_{r}(x)|}}\int _{B_{r}(x)}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y=(f-g)^{*}(x)

{\ displaystyle {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} | f (y) -g (y) | \, \ mathrm {d} y \ leq \ sup _ {r> 0} {\ frac {1} {| B_ {r} (x) |}} \ int _ {B_ {r} (x)} | f (y) -g (y) | \, \ mathrm {d} y = (fg) ^ {*} (x)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {| B |}} \ int _ {B} | f (y) -g (y) | \, \ mathrm {d} y \ leq \ sup _ {r> 0} {\ frac {1} {| B_ {r} (x) |}} \ int _ {B_ {r} (x)} | f (y) -g (y) | \, \ mathrm {d} y = (fg) ^ {*} (x)}

Al doilea termen dispare în limita dată $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este continuu, în timp ce al treilea este limitat de $|f(x)-g(x)|$ ${\ displaystyle | f (x) -g (x) |}$ ${\ displaystyle | f (x) -g (x) |}$ . Dacă valoarea absolută a diferenței inițiale trebuie să fie mai mare decât $2\alpha$ ${\ displaystyle 2 \ alpha}$ ${\ displaystyle 2 \ alpha}$ în limită, cel puțin primul sau al treilea trebuie să fie mai mare decât $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . Mai mult, din estimarea funcției maxime Hardy-Littlewood :

{\Bigl |}\left\{x:(f-g)^{*}(x)>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\varepsilon

{\ displaystyle {\ Bigl |} \ left \ {x: (fg) ^ {*} (x)> \ alpha \ right \} {\ Bigr |} \ leq {\ frac {A_ {n}} {\ alpha }} \, \ | fg \ | _ {L ^ {1}} <{\ frac {A_ {n}} {\ alpha}} \, \ varepsilon}

{\ displaystyle {\ Bigl |} \ left \ {x: (fg) ^ {*} (x)> \ alpha \ right \} {\ Bigr |} \ leq {\ frac {A_ {n}} {\ alpha }} \, \ | fg \ | _ {L ^ {1}} <{\ frac {A_ {n}} {\ alpha}} \, \ varepsilon}

pentru unele constante $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ dependent doar de mărimea n . Inegalitatea lui Markov afirmă că:

{\Bigl |}\left\{x:|f(x)-g(x)|>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {1}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {1}{\alpha }}\,\varepsilon

{\ displaystyle {\ Bigl |} \ left \ {x: | f (x) -g (x) |> \ alpha \ right \} {\ Bigr |} \ leq {\ frac {1} {\ alpha}} \, \ | fg \ | _ {L ^ {1}} <{\ frac {1} {\ alpha}} \, \ varepsilon}

{\ displaystyle {\ Bigl |} \ left \ {x: | f (x) -g (x) |> \ alpha \ right \} {\ Bigr |} \ leq {\ frac {1} {\ alpha}} \, \ | fg \ | _ {L ^ {1}} <{\ frac {1} {\ alpha}} \, \ varepsilon}

de unde:

|E_{\alpha }|\leq {\frac {A_{n}+1}{\alpha }}\,\varepsilon

{\ displaystyle | E _ {\ alpha} | \ leq {\ frac {A_ {n} +1} {\ alpha}} \, \ varepsilon}

{\ displaystyle | E _ {\ alpha} | \ leq {\ frac {A_ {n} +1} {\ alpha}} \, \ varepsilon}

Din arbitrariul $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ , care poate lua o valoare mică după bunul plac, urmează teza.

Bibliografie

( EN ) Richard L. Wheeden, Antoni Zygmund, Measure and Integral - An introduction to Real Analysis , Dekker, 1977.
(EN) John C. Oxtoby, Measure and Category, New York, Springer-Verlag, 1980.
( EN ) Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis: Measure theory, Lebesgue integration, and Hilbert Spaces , Princeton, Princeton University Press, 2005.
( EN ) Elias M. Stein și Rami Shakarchi, Real analysis , Princeton Lectures in Analysis, III, Princeton, NJ, Princeton University Press, 2005, pp. xx + 402, ISBN 0-691-11386-6 .
( EN ) Henri Lebesgue, Leçons sur l'Intégration et la recherche des fonctions primitives , Paris, Gauthier-Villars, 1904.
( EN ) Henri Lebesgue,Sur intégration des fonctions discontinues , în Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure , vol. 27, 1910, pp. 361-450.
( EN ) Measure and Integral - An introduction to Real Analysis, Richard L. Wheeden și Antoni Zygmund, Dekker, 1977
(EN) Măsură și categorie, John C. Oxtoby, Springer-Verlag, 1980
( EN ) John J. Benedetto și Wojciech Czaja, Integration And Modern Analysis , Birkhäuser Advanced Texts, Springer, 2009, pp. 361-364, ISBN 0-8176-4306-0 .
( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , International Series in Pure and Applied Mathematics, 3rd, McGraw-Hill, 1987, ISBN 0-07-054234-1 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Teorema diferențierii Lebesgue , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică