Teorema densității Lebesgue

În matematică , teorema densității lui Lebesgue afirmă că pentru orice set măsurabil Lebesgue $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ densitatea de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este egal cu 1 în aproape fiecare punct al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , unde densitatea într-un punct este limita măsurii intersecției dintre $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și o minge centrată în punct, împărțită la dimensiunea mingii, în limita în care aceasta din urmă are o rază care tinde la zero.

Acesta este un caz special al teoremei lui Lebesgue .

Teorema

Este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Măsura lui Lebesgue pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ și fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un set măsurabil Lebesgue conținut în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . "Densitatea aproximativă" a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ într-o minge $B_{\varepsilon }$ ${\ displaystyle B _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle B _ {\ varepsilon}}$ de rază $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ centrat în $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ este definit ca:

d_{\varepsilon }(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}

{\ displaystyle d _ {\ varepsilon} (x) = {\ frac {\ mu (A \ cap B _ {\ varepsilon} (x))} {\ mu (B _ {\ varepsilon} (x))}} }

{\ displaystyle d _ {\ varepsilon} (x) = {\ frac {\ mu (A \ cap B _ {\ varepsilon} (x))} {\ mu (B _ {\ varepsilon} (x))}} }

Teorema densității lui Lebesgue afirmă că pentru aproape orice punct $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ densitate , definită ca:

d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)

{\ displaystyle d (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} d _ {\ varepsilon} (x)}

{\ displaystyle d (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} d _ {\ varepsilon} (x)}

există și este 1.

Densitatea fiecăruia $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin urmare, măsurabil poate fi 0 sau 1 aproape oriunde în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Dacă se întâmplă asta $\mu (A)>0$ ${\ displaystyle \ mu (A)> 0}$ ${\ displaystyle \ mu (A)> 0}$ Și $\mu (\mathbb {R} ^{n}\setminus A)>0$ ${\ displaystyle \ mu (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus A)> 0}$ ${\ displaystyle \ mu (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus A)> 0}$ mai mult, atunci este sigur că există puncte în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ unde densitatea nu este nici 0, nici 1. De exemplu, dacă considerăm un pătrat într-un plan, densitatea din interiorul acesteia este 1, pe muchia 1/2 și în colțurile 1/4. Setul de puncte din plan în care densitatea nu este nici 0, nici 1 nu este gol ( marginile pătratului), ci constituie un set de măsuri zero.

Bibliografie

( EN ) Pertti Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability , 1999, ISBN 978-0-521-65595-8 .
(EN) Hallard T. Croft. Trei probleme de rețea ale lui Steinhaus. Quart. J. Math. Oxford (2) , 33: 71-83, 1982.
( EN ) Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis: Measure theory, Lebesgue integration, and Hilbert Spaces , Princeton, Princeton University Press, 2005.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Teorema densității Lebesgue , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică