Punctul Lebesgue

În matematică , dată o funcție Lebesgue integrabilă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , un punct Lebesgue este un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în domeniul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ astfel încât:

\lim _{r\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}\!|f(y)-f(x)|\,dy=0

{\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {1} {| B (x, r) |}} \ int _ {B (x, r)} \! | f (y ) -f (x) | \, dy = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {1} {| B (x, r) |}} \ int _ {B (x, r)} \! | f (y ) -f (x) | \, dy = 0}

unde este $B(x,r)$ ${\ displaystyle B (x, r)}$ $B (x, r)$ este sfera centrată în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , Și $|B(x,r)|$ ${\ displaystyle | B (x, r) |}$ ${\ displaystyle | B (x, r) |}$ este măsura Lebesgue a acelei sfere. Mulțimea punctelor Lebesgue ale unei funcții se numește mulțimea Lebesgue .

Prin teorema lui Lebesgue , dată o funcție $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{k})$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {k})}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {k})}$ , aproape fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un punct Lebesgue.

Bibliografie

( EN ) AN Kolmogorov, SV Fomin, Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale , 1-2, Graylock (1957-1961)
( EN ) EM Stein, Integrale singulare și proprietăți de diferențiere ale funcțiilor , Princeton University Press (1970)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) KI Oskolkov, punctul Lebesgue , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Subiecte în analiza reală și funcțională de Gerald Teschl, Universitatea din Viena.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy