Lema lui Fatou

În matematică , lema Fatou este o lemă care stabilește o inegalitate între „ integralul Lebesgue al limitei inferioare a unei secvențe de funcții și limita inferioară a integralelor acestor funcții. Lema poartă numele matematicianului francez Pierre Fatou ( 1878 - 1929 ).

Lema Fatou poate fi folosită pentru a demonstra teorema Fatou-Lebesgue și teorema convergenței dominată de Lebesgue .

Declarația lemei Fatou

De sine $f_{1},f_{2},\dots$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ este o succesiune de funcții non-negative și măsurabile definite pe un spațiu de măsurare $(S,\Sigma ,\mu )$ ${\ displaystyle (S, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle (S, \ Sigma, \ mu)}$ , asa de:

\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

{\ displaystyle \ int _ {S} \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {S} \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

Demonstrație

Lema lui Fatou este dovedită aici folosind teorema de convergență monotonă .

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ limita inferioară a secvenței $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ . Pentru fiecare întreg $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ definiți funcția:

g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}

{\ displaystyle g_ {k} = \ inf _ {n \ geq k} f_ {n}}

{\ displaystyle g_ {k} = \ inf _ {n \ geq k} f_ {n}}

acesta este:

g_{1}=\inf {\left\{f_{1},f_{2},f_{3},\dots \right\}}

{\ displaystyle g_ {1} = \ inf {\ left \ {f_ {1}, f_ {2}, f_ {3}, \ dots \ right \}}}

{\ displaystyle g_ {1} = \ inf {\ left \ {f_ {1}, f_ {2}, f_ {3}, \ dots \ right \}}}

g_{2}=\inf {\left\{f_{2},f_{3},f_{4},\dots \right\}}

{\ displaystyle g_ {2} = \ inf {\ left \ {f_ {2}, f_ {3}, f_ {4}, \ dots \ right \}}}

{\ displaystyle g_ {2} = \ inf {\ left \ {f_ {2}, f_ {3}, f_ {4}, \ dots \ right \}}}

\dots

{\ displaystyle \ dots}

\ dots

g_{n}=\inf {\left\{f_{n},f_{n+1},f_{n+2},\dots \right\}}

{\ displaystyle g_ {n} = \ inf {\ left \ {f_ {n}, f_ {n + 1}, f_ {n + 2}, \ dots \ right \}}}

{\ displaystyle g_ {n} = \ inf {\ left \ {f_ {n}, f_ {n + 1}, f_ {n + 2}, \ dots \ right \}}}

\dots

{\ displaystyle \ dots}

\ dots

Apoi succesiunea $g_{k}$ ${\ displaystyle g_ {k}}$ $g_k$ este astfel încât:

0\leq g_{1}\leq g_{2}\dots \leq g_{n}\dots \qquad g_{k}\uparrow \liminf _{n\to \infty }f_{n}\qquad g_{k}\leq f_{k}\qquad \forall k\in \mathbb {N}

{\ displaystyle 0 \ leq g_ {1} \ leq g_ {2} \ dots \ leq g_ {n} \ dots \ qquad g_ {k} \ uparrow \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} \ qquad g_ {k} \ leq f_ {k} \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle 0 \ leq g_ {1} \ leq g_ {2} \ dots \ leq g_ {n} \ dots \ qquad g_ {k} \ uparrow \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} \ qquad g_ {k} \ leq f_ {k} \ qquad \ forall k \ in \ mathbb {N}}

De sine $k\leq n$ ${\ displaystyle k \ leq n}$ ${\ displaystyle k \ leq n}$ , asa de $g_{k}\leq f_{n}$ ${\ displaystyle g_ {k} \ leq f_ {n}}$ ${\ displaystyle g_ {k} \ leq f_ {n}}$ , asa de:

\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu

{\ displaystyle \ int _ {S} g_ {k} \, d \ mu \ leq \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {S} g_ {k} \, d \ mu \ leq \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

asa de:

\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu

{\ displaystyle \ int _ {S} g_ {k} \, d \ mu \ leq \ inf _ {n \ geq k} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {S} g_ {k} \, d \ mu \ leq \ inf _ {n \ geq k} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

Pentru teorema convergenței monotone și pentru definirea limitei inferioare, folosind și ultima inegalitate, rezultă că:

\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

{\ displaystyle \ int _ {S} \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} \, d \ mu = \ lim _ {k \ to \ infty} \ int _ {S} g_ {k} \ , d \ mu \ leq \ lim _ {k \ to \ infty} \ inf _ {n \ geq k} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu = \ liminf _ {n \ to \ infty } \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {S} \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} \, d \ mu = \ lim _ {k \ to \ infty} \ int _ {S} g_ {k} \ , d \ mu \ leq \ lim _ {k \ to \ infty} \ inf _ {n \ geq k} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu = \ liminf _ {n \ to \ infty } \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

Exemple în cazul inegalității stricte

Definiți-vă pe spațiu $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ o Borel σ-algebră cu măsură Lebesgue .

Luați în considerare intervalul unitar $S:=[0,1]$ ${\ displaystyle S: = [0,1]}$ ${\ displaystyle S: = [0,1]}$ , și pentru orice număr întreg pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ defini:

f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\mbox{per }}x\in (0,1/n)\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}

{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {cases} n & {\ mbox {per}} x \ in (0,1 / n) \\ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end { cazuri}}}

{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {cases} n & {\ mbox {per}} x \ in (0,1 / n) \\ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end { cazuri}}}

Este $S:={\mathbb {R} }$ ${\ displaystyle S: = {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle S: = {\ mathbb {R}}}$ setul de numere reale și definiți:

f_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{n}}&{\mbox{per }}x\in [0,n]\\\\0&{\mbox{altrimenti}}\end{cases}}

{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {1} {n}} și {\ mbox {per}} x \ in [0, n] \\\\ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {1} {n}} și {\ mbox {per}} x \ in [0, n] \\\\ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {cases}}}

Aceste succesiuni $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ converge pe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ punctual (respectiv uniform ) la funcția nulă (cu integrală nulă), dar fiecare $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ are integral egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Inversul lemei lui Fatou

Este $f_{1},f_{2},\dots$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ o succesiune de funcții măsurabile cu valori aparținând $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ extins definit pe un spațiu de măsurare $(S,\Sigma ,\mu )$ ${\ displaystyle (S, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle (S, \ Sigma, \ mu)}$ . Dacă există o funcție non-negativă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , măsurabil și cu $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty$ ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {S} g \, d \ mu <\ infty}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {S} g \, d \ mu <\ infty}$ pe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , astfel încât $f_{n}\leq g$ ${\ displaystyle f_ {n} \ leq g}$ ${\ displaystyle f_ {n} \ leq g}$ pentru fiecare n , atunci:

\int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

{\ displaystyle \ int _ {S} \ limsup _ {n \ to \ infty} f_ {n} \, d \ mu \ geq \ limsup _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {S} \ limsup _ {n \ to \ infty} f_ {n} \, d \ mu \ geq \ limsup _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

Pentru a avea dovada acestui rezultat, aplicați lema lui Fatou la secvența non-negativă dată de $g-f_{n}$ ${\ displaystyle g-f_ {n}}$ ${\ displaystyle g-f_ {n}}$ .

Extensii și variante ale Lemei Fatou

Capăt inferior integrabil

Este $f_{1},f_{2},\dots$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ o succesiune de funcții măsurabile cu valori în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ extins definit pe un spațiu de măsurare $(S,\Sigma ,\mu )$ ${\ displaystyle (S, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle (S, \ Sigma, \ mu)}$ . Dacă există o funcție negativă și integrabilă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ pe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ astfel încât $f_{n}\geq -g$ ${\ displaystyle f_ {n} \ geq -g}$ ${\ displaystyle f_ {n} \ geq -g}$ pentru fiecare n , atunci:

\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

{\ displaystyle \ int _ {S} \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {S} \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

Pentru dovadă, aplicați lema lui Fatou la secvența non-negativă dată de $g+f_{n}$ ${\ displaystyle g + f_ {n}}$ ${\ displaystyle g + f_ {n}}$ .

Convergența punctelor

Dacă succesiunea $f_{1},f_{2},\dots$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ tocmai prezentat, converge punctual la o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aproape peste tot pe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , asa de:

\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

{\ displaystyle \ int _ {S} f \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

{\ displaystyle \ int _ {S} f \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu}

De fapt, rețineți că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are aceeași limită inferioară ca $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ aproape peste tot și că valorile funcției de integrare pe un set de măsuri zero nu afectează valoarea integralei.

Convergența la măsură

Ultima afirmație este valabilă chiar dacă succesiunea $f_{1},f_{2},\dots$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ dots}$ converge în măsură la o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . De fapt, există o subsecvență astfel încât:

\lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n_ {k}} \, d \ mu = \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ { n} \, d \ mu}

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n_ {k}} \, d \ mu = \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ { n} \, d \ mu}

Deoarece această subsecvență converge, de asemenea, într-o măsură a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , există o nouă secvență, care converge punctual la $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aproape peste tot, deci varianta anterioară a lemei lui Fatou este aplicabilă acestei secvențe.

Lema lui Fatou pentru valoarea condiționată așteptată

Același subiect în detaliu: valoarea condiționată așteptată .

În teoria probabilității, versiunile anterioare ale lemei lui Fatou sunt aplicabile secvențelor variabilelor aleatorii $X_{1},X_{2},\dots$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$ definit pe un spațiu de probabilitate $(\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )$ ${\ displaystyle (\ Omega, \, {\ mathcal {F}}, \, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, \, {\ mathcal {F}}, \, \ mathbb {P})}$ , cu integralele devenind valorile așteptate . În plus, există și o versiune pentru valorile condiționate așteptate .

Este $X_{1},X_{2},\dots$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$ o succesiune de variabile aleatorii non-negative definite pe un spațiu de probabilitate $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ și fie ${\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \, \ subset \, {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \, \ subset \, {\ mathcal {F}}}$ o sub -σ-algebră . Atunci:

\mathbb {E} {\Big [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Big]} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Big]} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}

aproape sigur . Rețineți că așteptarea condiționată pentru variabilele aleatorii non-negative este întotdeauna bine definită.

Demonstrație

Printr-o schimbare de notație, dovada este foarte similară cu cea utilizată pentru a demonstra lema lui Fatou, cu toate acestea trebuie aplicată teorema de convergență monotonă pentru așteptarea condiționată.

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ limita inferioară a $X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {n}}$ $X_ {n}$ . Pentru fiecare întreg $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ definiți variabila:

Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}

{\ displaystyle Y_ {k} = \ inf _ {n \ geq k} X_ {n}}

{\ displaystyle Y_ {k} = \ inf _ {n \ geq k} X_ {n}}

Apoi succesiunea $Y_{1},Y_{2},\dots$ ${\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2}, \ dots}$ crește și converge punctual către $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Pentru $k\leq n$ ${\ displaystyle k \ leq n}$ ${\ displaystyle k \ leq n}$ , da $Y_{k}\leq Y_{n}$ ${\ displaystyle Y_ {k} \ leq Y_ {n}}$ ${\ displaystyle Y_ {k} \ leq Y_ {n}}$ , prin urmare:

\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

{\ displaystyle \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \ leq \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \ leq \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}

aproape sigur datorită monotoniei probabilității condiționate , prin urmare:

\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

{\ displaystyle \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \ leq \ inf _ {n \ geq k} \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G} }]}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \ leq \ inf _ {n \ geq k} \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G} }]}

aproape sigur, întrucât unirea numărabilă a seturilor remarcabile cu probabilitate zero este în continuare setul gol .

Folosind definiția $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , reprezentarea sa ca limită punctuală a $Y_{k}$ ${\ displaystyle Y_ {k}}$ $Y_ {k}$ , teorema convergenței monotone pentru probabilitatea condițională, inegalitatea finală și definiția limitei inferioare, urmează că:

{\begin{matrix}\mathbb {E} {\Big [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Big [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Big ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbb {E} {\ Big [} \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} { \ Big]} & = \ mathbb {E} [X | {\ mathcal {G}}] = \ mathbb {E} {\ Big [} \ lim _ {k \ to \ infty} Y_ {k} \, { \ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Big]} = \ lim _ {k \ to \ infty} \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \\ & \ leq \ lim _ {k \ to \ infty} \ inf _ {n \ geq k} \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}] = \ liminf _ {n \ to \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}] \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ mathbb {E} {\ Big [} \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} { \ Big]} & = \ mathbb {E} [X | {\ mathcal {G}}] = \ mathbb {E} {\ Big [} \ lim _ {k \ to \ infty} Y_ {k} \, { \ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Big]} = \ lim _ {k \ to \ infty} \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \\ & \ leq \ lim _ {k \ to \ infty} \ inf _ {n \ geq k} \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}] = \ liminf _ {n \ to \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}] \ end {matrix}}}

aproape sigur.

Extindere la părți negative integrabile uniform

Este $X_{1},X_{2},\dots$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$ o succesiune de variabile aleatorii pe un spațiu de probabilitate $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ și fie ${\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \, \ subset \, {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \, \ subset \, {\ mathcal {F}}}$ una sub σ-algebră . Dacă părțile negative :

X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\}\qquad n\in {\mathbb {N} }

{\ displaystyle X_ {n} ^ {-}: = \ max \ {- X_ {n}, 0 \} \ qquad n \ in {\ mathbb {N}}}

{\ displaystyle X_ {n} ^ {-}: = \ max \ {- X_ {n}, 0 \} \ qquad n \ in {\ mathbb {N}}}

sunt integrabili uniform în raport cu valoarea condiționată așteptată, în sensul că pentru $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ astfel încât:

\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N}

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} X_ {n} ^ {-} 1 _ {\ {X_ {n} ^ {-}> c \}} \, | \, {\ mathcal {G} } {\ bigr]} <\ varepsilon \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} X_ {n} ^ {-} 1 _ {\ {X_ {n} ^ {-}> c \}} \, | \, {\ mathcal {G} } {\ bigr]} <\ varepsilon \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {N}}

aproape sigur, atunci:

\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Bigr]} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Bigr]} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}

aproape sigur. Se observă că, în general, limita:

X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}

{\ displaystyle X: = \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n}}

{\ displaystyle X: = \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n}}

satisface:

\mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty

{\ displaystyle \ mathbb {E} [\ max \ {X, 0 \} \, | \, {\ mathcal {G}}] = \ infty}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [\ max \ {X, 0 \} \, | \, {\ mathcal {G}}] = \ infty}

partea stângă a ultimei inegalități este considerată infinită. Așteptarea condiționată a limitei superioare poate să nu fie bine definită pe acest set din cauza faptului că așteptarea condiționată a părții negative poate fi, de asemenea, infinită.

Demonstrație

Este $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ . Datorită integrabilității uniforme în raport cu așteptarea condiționată există $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ astfel încât:

\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad \forall n\in \mathbb {N}

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} X_ {n} ^ {-} 1 _ {\ {X_ {n} ^ {-}> c \}} \, | \, {\ mathcal {G} } {\ bigr]} <\ varepsilon \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} X_ {n} ^ {-} 1 _ {\ {X_ {n} ^ {-}> c \}} \, | \, {\ mathcal {G} } {\ bigr]} <\ varepsilon \ qquad \ forall n \ in \ mathbb {N}}

aproape sigur. De cand:

X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}

{\ displaystyle X + c \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} (X_ {n} + c) ^ {+}}

{\ displaystyle X + c \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} (X_ {n} + c) ^ {+}}

unde este $x^{+}:=\max\{x,0\}$ ${\ displaystyle x ^ {+}: = \ max \ {x, 0 \}}$ ${\ displaystyle x ^ {+}: = \ max \ {x, 0 \}}$ denotă partea pozitivă a $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ mathbb {R}$ , monotonia așteptării condiționate și versiunea standard a lemei implică faptul că: