Trecerea la limită sub un semn integral

În analiza matematică , prin trecerea la limită sub un semn integral, ne referim la posibilitatea de a calcula limita unei succesiuni de integrale ca integrală a limitei succesiunii funcțiilor integrand:

\lim _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{E}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {E} \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {E} \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x}

Acest tip de operație are loc într-un număr mare de aplicații, iar absența teoremelor cu ipoteze suficient de generale care permit schimbul trecerii la limită cu operația de integrare este unul dintre motivele care au condus la definirea integralei Lebesgue pentru a înlocui integralul Riemann . ^[1]

În contextul analizei funcționale , teoremele de trecere la limită sub semnul integral sunt instrumentul principal pentru a stabili dacă, pentru o secvență dată de funcții, convergența punctelor ( aproape peste tot ) implică convergența în norma L ¹ .

Integrala Riemann

În integrala Riemann , posibilitatea trecerii la limită sub integrală este strâns legată de convergența uniformă : teorema principală din acest context afirmă că schimbul este posibil dacă setul de integrare este limitat și convergența este uniformă. Dovada acestei teoreme rezultă aproape imediat din definiții, în aceea

0\leq \left|\int _{E}[f_{k}(x)-f(x)]\mathrm {d} x\right|\leq \int _{E}|f_{k}(x)-f(x)|\mathrm {d} x\leq |E|\sup {\{f_{k}(x)-f(x)\}}

{\ displaystyle 0 \ leq \ left | \ int _ {E} [f_ {k} (x) -f (x)] \ mathrm {d} x \ right | \ leq \ int _ {E} | f_ {k } (x) -f (x) | \ mathrm {d} x \ leq | E | \ sup {\ {f_ {k} (x) -f (x) \}}}

{\ displaystyle 0 \ leq \ left | \ int _ {E} [f_ {k} (x) -f (x)] \ mathrm {d} x \ right | \ leq \ int _ {E} | f_ {k } (x) -f (x) | \ mathrm {d} x \ leq | E | \ sup {\ {f_ {k} (x) -f (x) \}}}

care tinde la 0 pentru convergență uniformă. Nici ipoteza, nici cealaltă nu sunt suficiente pentru a garanta schimbul: pentru un set nelimitat, succesiunea poate fi luată ca exemplu

f_{n}(x)={\frac {1}{n}}\chi _{[n,2n]}(x)

{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {1} {n}} \ chi _ {[n, 2n]} (x)}

{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {1} {n}} \ chi _ {[n, 2n]} (x)}

(unde este $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ indică funcția indicator ), în timp ce într-un set limitat un exemplu simplu este

f_{n}(x)=n\chi _{\left[0,{\frac {1}{n}}\right]}(x)

{\ displaystyle f_ {n} (x) = n \ chi _ {\ left [0, {\ frac {1} {n}} \ right]} (x)}

{\ displaystyle f_ {n} (x) = n \ chi _ {\ left [0, {\ frac {1} {n}} \ right]} (x)}

În ambele cazuri, funcțiile tind exact către funcția identică nulă (prima din $(0,+\infty )$ ${\ displaystyle (0, + \ infty)}$ $(0, + \ infty)$ , al doilea în [0,1]), care are în mod evident integral 0, dar fiecare membru al secvenței are integral 1.

Cu toate acestea, generalizările acestei teoreme mențin cel puțin parțial ipoteza convergenței uniforme: se poate arăta că dacă secvența { f _n } tinde punctual către o funcție f într-un set E , converge uniform în fiecare compact conținut în E și există o funcție integrală finită g astfel încât

|f_{n}(x)|\leq g(x)

{\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq g (x)}

{\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq g (x)}

pentru fiecare x și pentru fiecare n , atunci schimbul este posibil.

O altă problemă este posibilitatea ca, deși există limita punctuală a unei succesiuni de funcții integrabile conform lui Riemann, aceasta nu poate fi la rândul său integrabilă: de exemplu, prin setarea unei numerotări $\{q_{0},q_{1},\ldots ,q_{n},\ldots \}$ ${\ displaystyle \ {q_ {0}, q_ {1}, \ ldots, q_ {n}, \ ldots \}}$ ${\ displaystyle \ {q_ {0}, q_ {1}, \ ldots, q_ {n}, \ ldots \}}$ a mulțimii numerelor raționale și a plasării

f_{n}(x)=\chi _{\{q_{0},q_{1},\ldots ,q_{n}\}}

{\ displaystyle f_ {n} (x) = \ chi _ {\ {q_ {0}, q_ {1}, \ ldots, q_ {n} \}}}

{\ displaystyle f_ {n} (x) = \ chi _ {\ {q_ {0}, q_ {1}, \ ldots, q_ {n} \}}}

avem o succesiune de funcții integrabile (cu integrală nulă) care converge punctual către funcția Dirichlet , care nu este integrabilă conform lui Riemann. De asemenea, în acest caz, posibila prezență a convergenței uniforme permite afirmarea integrabilității funcției limită.

Integrala Lebesgue

În integrala Lebesgue , teoremele de trecere la limita sub integrale au ipoteze considerabil mai slabe decât cele referitoare la integrala Riemann. Cele două teoreme principale sunt teorema convergenței monotone (sau a lui Beppo Levi ) și teorema convergenței dominată . Primul afirmă că schimbul între operațiile de limită și de integrare este posibil dacă funcțiile sunt non-negative și dacă secvența este monotonă în creștere, adică dacă: ^[2]

f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\

{\ displaystyle f_ {n} (x) \ leq f_ {n + 1} (x) \}

{\ displaystyle f_ {n} (x) \ leq f_ {n + 1} (x) \}

pentru fiecare x și pentru fiecare n , în timp ce al doilea se aplică în cazul funcțiilor dominate de o funcție integrabilă sau în care există o funcție g , cu o integrală finită, astfel încât: ^[3]

|f_{n}(x)|\leq g(x)\

{\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq g (x) \}

{\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq g (x) \}

pentru fiecare x și pentru fiecare n . Funcțiile utilizate trebuie să fie măsurabile pentru a da sens secvenței integralelor și nu este necesar să se impună ca ipoteză că funcția limită este măsurabilă, deoarece limita unei succesiuni de funcții măsurabile este măsurabilă.

Teoremele pot fi ușor extinse prin necesitatea ca ipotezele (convergența și, respectiv, monotonia și fiind dominate) să fie verificate în întregul set de integrare, cu excepția unui set de măsuri zero . O altă slăbire a teoremei convergenței monotone se obține prin relaxarea ipotezei non-negativității, deoarece este suficient ca una dintre ele să aibă o integrală mai mare decât $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ astfel încât, pentru monotonie, să împartă această proprietate cu toate următoarele. Teorema poate fi aplicată și secvențelor descrescătoare ale funcțiilor, dar în acest caz trebuie solicitat ca una dintre integrale să fie mai mică decât $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ .

Un al treilea rezultat important, dovedit pornind de la teorema convergenței monotone și utilizat în dovada convergenței dominate, este lema Fatou , care afirmă că:

\int _{E}\liminf _{n}f_{n}(x)\mathrm {d} x\leq \liminf _{n}\int _{E}f_{n}(x)\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ int _ {E} \ liminf _ {n} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x \ leq \ liminf _ {n} \ int _ {E} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ int _ {E} \ liminf _ {n} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x \ leq \ liminf _ {n} \ int _ {E} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x}

Într-o formă echivalentă, dar mai neobișnuită, avem:

\int _{E}\limsup _{n}f_{n}(x)\mathrm {d} x\geq \limsup _{n}\int _{E}f_{n}(x)\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ int _ {E} \ limsup _ {n} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x \ geq \ limsup _ {n} \ int _ {E} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ int _ {E} \ limsup _ {n} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x \ geq \ limsup _ {n} \ int _ {E} f_ {n} (x) \ mathrm {d} x}

Un corolar imediat al teoremei convergenței dominate, uneori folosită în teoria probabilității , afirmă că schimbul este posibil dacă setul de integrare este delimitat și funcțiile sunt delimitate uniform (adică există o constantă M astfel încât | f _n | < M pentru fiecare n și pentru aproape fiecare x ). Rezultatul, însă, are propria sa valoare, deoarece ipotezele sale pot fi rafinate prin înlocuirea convergenței aproape peste tot cu convergența în măsură .

Aplicații

Serie

Un caz particular al unei succesiuni de funcții sunt sumele parțiale ale unei serii , adică secvențele de tip

s_{N}(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}(x)

{\ displaystyle s_ {N} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} (x)}

{\ displaystyle s_ {N} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} (x)}

Teoremele de trecere limită sunt transferate imediat în acest caz: prin exploatarea liniarității integralei în cazul sumelor finite, obținem că formula

\sum _{n=0}^{\infty }\int _{E}a_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{E}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x)\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {E} a_ {n} (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {E} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (x) \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {E} a_ {n} (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {E} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (x) \ mathrm {d} x}

este valabil în cazul aditivilor pozitivi (convergența monotonă) sau în cazul în care sumele parțiale sunt limitate de o funcție integrabilă (convergența dominată) și, în special, în cazul convergenței absolute .

În unele cazuri, este posibil în acest fel să înțelegem dacă suma unei serii de funcții este finită sau nu, calculând suma integralelor sale; un exemplu este suma

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {1}{\sqrt {x-q_{n}}}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} {\ frac {1} {\ sqrt {x-q_ {n }}}}}

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} {\ frac {1} {\ sqrt {x-q_ {n }}}}}

unde { q _n ) este o numerotare a raționalelor; integrându-se prin serii (grație teoremei convergenței monotone) și întrucât integralul fiecărui addend este mai mic decât A / 2 ⁿ pentru o constantă A , integralul lui f este finit și, prin urmare, f în sine continuă aproape peste tot.

Un caz foarte particular este dat în cazul în care măsura luată în considerare este măsura numărării : în acest caz integralele sunt pur și simplu reduse la sume, iar în ipotezele teoremelor de schimb (non-negativitate și convergență absolută) obținem formula

\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{ij}=\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{\infty }a_{ij}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {ij} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {ij}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {ij} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {ij}}

Domeniu variabil

În unele cazuri, funcția nu variază, ci domeniul integrării; adică, având în vedere o secvență descrescătoare { E _n } de mulțimi, ne întrebăm dacă

\lim _{n\to \infty }\int _{E_{n}}f(x)\mathrm {d} x=\int _{\lim _{n\to \infty }E_{n}}f(x)\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {E_ {n}} f (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {\ lim _ {n \ to \ infty} E_ {n }} f (x) \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {E_ {n}} f (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {\ lim _ {n \ to \ infty} E_ {n }} f (x) \ mathrm {d} x}

În acest caz, putem duce înapoi la caz prin înmulțirea cu funcția indicator a lui E _n , adică prin plasare

f_{n}(x)=f(x)\chi _{E_{n}}(x)

{\ displaystyle f_ {n} (x) = f (x) \ chi _ {E_ {n}} (x)}

{\ displaystyle f_ {n} (x) = f (x) \ chi _ {E_ {n}} (x)}

Astfel se obține o succesiune de funcții cărora li se pot aplica teoremele anterioare.

Schimb de integrale

Același subiect în detaliu: teorema lui Fubini .

Calculul real al aproape tuturor integralelor multiple depinde în mod crucial de posibilitatea reducerii integralei în mai multe dimensiuni la mai multe integrale într-o singură dimensiune, adică să aibă: ^[4]

\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\mathrm {d} x\mathbb {d} y=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {d} x\int _{\mathbb {R} }f(x,y)\mathrm {d} y=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {d} y\int _{\mathbb {R} }f(x,y)\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {2}} f (x, y) \ mathrm {d} x \ mathbb {d} y = \ int _ {\ mathbb {R}} \ mathrm {d } x \ int _ {\ mathbb {R}} f (x, y) \ mathrm {d} y = \ int _ {\ mathbb {R}} \ mathrm {d} y \ int _ {\ mathbb {R} } f (x, y) \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {2}} f (x, y) \ mathrm {d} x \ mathbb {d} y = \ int _ {\ mathbb {R}} \ mathrm {d } x \ int _ {\ mathbb {R}} f (x, y) \ mathrm {d} y = \ int _ {\ mathbb {R}} \ mathrm {d} y \ int _ {\ mathbb {R} } f (x, y) \ mathrm {d} x}

unde, pentru simplitate, a fost scrisă o integrală pe realuri în două dimensiuni. Posibilitatea efectuării acestui schimb depinde în mod critic de teoremele de trecere la limită: în dovada teoremei lui Tonelli, care afirmă posibilitatea schimbului pentru funcții pozitive, există de fapt posibilitatea aproximării fiecărei funcții măsurabile cu o succesiune crescândă. de funcții simple cărora să se aplice teorema convergenței monotone.

Teoria probabilității

Teoria probabilității , care se bazează pe teoria măsurii , are, de asemenea, printre instrumentele sale teoremele trecerii la limită sub semn de integral: două dintre utilizările acesteia sunt în dovada existenței valorii condiționate așteptate și teoremei „ opririi opționale pentru supermartingale .

În prima, după ce a exprimat o variabilă aleatorie X integrabilă (adică în L ¹ ) ca limită a unei secvențe crescânde { X _n } de funcții în L ² (pentru care este mai ușor să se demonstreze existența mediei condiționale ), se poate folosi convergența monotonă pentru a obține media condițională $E(X|{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle E (X | {\ mathfrak {F}})}$ ${\ displaystyle E (X | {\ mathfrak {F}})}$ ca limită a $E(X_{n}|{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle E (X_ {n} | {\ mathfrak {F}})}$ ${\ displaystyle E (X_ {n} | {\ mathfrak {F}})}$ ; în a doua, în schimb, convergența dominată este utilizată pentru a stabili în ce condiții (echilibrând cele necesare pe secvența { X _n } și cele pe timpul de oprire τ) avem

E(X_{\inf\{n,\tau \}})\to E(X_{\tau })

{\ displaystyle E (X _ {\ inf \ {n, \ tau \}}) \ to E (X _ {\ tau})}

{\ displaystyle E (X _ {\ inf \ {n, \ tau \}}) \ to E (X _ {\ tau})}

astfel încât să puteți utiliza proprietățile supermartingale pentru a obține

E(X_{\tau })\leq E(X_{0})

{\ displaystyle E (X _ {\ tau}) \ leq E (X_ {0})}

{\ displaystyle E (X _ {\ tau}) \ leq E (X_ {0})}

și în special pentru martingale,

E(X_{\tau })=E(X_{0})

{\ displaystyle E (X _ {\ tau}) = E (X_ {0})}

{\ displaystyle E (X _ {\ tau}) = E (X_ {0})}

rezultat care este adesea util în calculul $E(\tau )$ ${\ displaystyle E (\ tau)}$ ${\ displaystyle E (\ tau)}$ .

Notă

^ Drept , p. 259 .
^ W. Rudin , Pagina 21 .
^ W. Rudin , pagina 26 .
^ W. Rudin , pagina 140 .

Bibliografie

Enrico Giusti , Mathematical Analysis 2 , ediția a treia, Torino, Bollati Boringhieri , 2003, ISBN 88-339-5706-3 .
Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
David Williams , Probability with Martingales , Cambridge Mathematical Manuals, 1991, ISBN 978-0-521-40605-5 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Drept , p. 259 .

[2] W. Rudin , Pagina 21 .

[3] W. Rudin , pagina 26 .

[4] W. Rudin , pagina 140 .

[1]

[2]

[3]

[4]