Partea pozitivă și negativă a unei funcții

În matematică , pot fi definite două funcții „componente” pentru fiecare funcție reală , numite părți pozitive și negative ale funcției, date respectiv de

f^{+}(x)=\max\{f(x),0\}={\begin{cases}f(x)&{\mbox{ se }}f(x)>0\\0&{\mbox{ altrimenti}}\end{cases}}

{\ displaystyle f ^ {+} (x) = \ max \ {f (x), 0 \} = {\ begin {cases} f (x) & {\ mbox {se}} f (x)> 0 \ \ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle f ^ {+} (x) = \ max \ {f (x), 0 \} = {\ begin {cases} f (x) & {\ mbox {se}} f (x)> 0 \ \ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {cases}}}

f^{-}(x)=-\min\{f(x),0\}={\begin{cases}-f(x)&{\mbox{ se }}f(x)<0\\0&{\mbox{ altrimenti}}\end{cases}}

{\ displaystyle f ^ {-} (x) = - \ min \ {f (x), 0 \} = {\ begin {cases} -f (x) & {\ mbox {se}} f (x) < 0 \\ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle f ^ {-} (x) = - \ min \ {f (x), 0 \} = {\ begin {cases} -f (x) & {\ mbox {se}} f (x) < 0 \\ 0 & {\ mbox {altfel}} \ end {cases}}}

Intuitiv, graficul de exemplu al părții pozitive se obține prin trunchierea graficului lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ când trece sub axa abscisei , setându-l la 0 în acele puncte și lăsând restul neschimbat.

O particularitate a definiției este că „partea negativă” nu este negativă, dimpotrivă, este peste tot pozitivă sau cel mult nimic. Descompunerea oricărei funcții în două funcții non-negative este utilă în anumite cazuri.

Relațiile cu funcția originală

Părțile pozitive și negative sunt legate de funcția originală prin aceste două relații:

f=f^{+}-f^{-}\,

{\ displaystyle f = f ^ {+} - f ^ {-} \,}

{\ displaystyle f = f ^ {+} - f ^ {-} \,}

|f|=f^{+}+f^{-}

{\ displaystyle | f | = f ^ {+} + f ^ {-}}

{\ displaystyle | f | = f ^ {+} + f ^ {-}}

Utilizarea acestor două egalități poate fi exprimată $f^{+}$ ${\ displaystyle f ^ {+}}$ $f ^ {+}$ Și $f^{-}$ ${\ displaystyle f ^ {-}}$ $f ^ {-}$ în alt fel

f^{+}={\frac {|f|+f}{2}}

{\ displaystyle f ^ {+} = {\ frac {| f | + f} {2}}}

{\ displaystyle f ^ {+} = {\ frac {| f | + f} {2}}}

f^{-}={\frac {|f|-f}{2}}.

{\ displaystyle f ^ {-} = {\ frac {| f | -f} {2}}.}

{\ displaystyle f ^ {-} = {\ frac {| f | -f} {2}}.}

Utilizare în teoria măsurătorilor

O funcție definită pe un spațiu măsurabil este măsurabilă dacă și numai dacă părțile sale pozitive și negative sunt. Daca atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este măsurabilă, valoarea sa absolută este și ea măsurabilă, fiind suma funcțiilor măsurabile pentru relația anterioară. Conversa nu este în general adevărată: dacă de exemplu

f=1_{V}-{1 \over 2}

{\ displaystyle f = 1_ {V} - {1 \ peste 2}}

{\ displaystyle f = 1_ {V} - {1 \ peste 2}}

unde este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un set de vitamine și 1 _V este funcția indicator a setului V , atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este măsurabil (deoarece nu este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ), dar valoarea sa absolută da, deoarece este constant egală cu ¹ ⁄ ₂ .

Părțile pozitive și negative sunt, de asemenea, utilizate în definirea integralei Lebesgue a unei funcții măsurabile.

linkuri externe

Partea pozitivă pe MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică