Inegalitatea Poincaré

În analiza funcțională , o ramură a matematicii , cu denumirea de inegalitate Poincaré, ne referim la două rezultate similare privind spațiile Sobolev care permit verificarea normei unei funcții cu cea a derivatei sale slabe . Este un rezultat de o importanță fundamentală în calculul modern al variațiilor .

Inegalitatea Poincaré clasică

Este $1\leq p<\infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p <\ infty}$ Și $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un set deschis limitat de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Apoi, există o constantă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ dependent numai de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ astfel încât

\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} \ leq C \ | \ nabla u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} \ leq C \ | \ nabla u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)}}

pentru fiecare $u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ ${\ displaystyle u \ in W_ {0} ^ {1, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle u \ in W_ {0} ^ {1, p} (\ Omega)}$ , unde acest ultim spațiu este dat de închiderea lui $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ Omega)}$ în spațiul lui Sobolev $W^{1,p}(\Omega )$ ${\ displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle W ^ {1, p} (\ Omega)}$ . Cu simbolul $\nabla u$ ${\ displaystyle \ nabla u}$ ${\ displaystyle \ nabla u}$ ne referim la gradientul slab , aflat într-un spațiu Sobolev.

Consecința cea mai imediată și care reprezintă magnitudinea rezultatului este că în acest sub spațiu (care este cel mai natural domeniu pentru studierea ecuațiilor diferențiale parțiale cu condiții limită omogene ) norma gradientului de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este o cantitate echivalentă , în scopul topologiei induse și deci a convergențelor , la norma obișnuită $\|u\|_{W^{1,p}}$ ${\ displaystyle \ | u \ | _ {W ^ {1, p}}}$ ${\ displaystyle \ | u \ | _ {W ^ {1, p}}}$ . Intr-adevar

\|\nabla u\|_{p}^{p}\leq \|u\|_{W^{1,p}}^{p}=\|u\|_{p}^{p}+\|\nabla u\|_{p}^{p}\leq (1+C^{p})\|\nabla u\|_{p}^{p}

{\ displaystyle \ | \ nabla u \ | _ {p} ^ {p} \ leq \ | u \ | _ {W ^ {1, p}} ^ {p} = \ | u \ | _ {p} ^ {p} + \ | \ nabla u \ | _ {p} ^ {p} \ leq (1 + C ^ {p}) \ | \ nabla u \ | _ {p} ^ {p}}

{\ displaystyle \ | \ nabla u \ | _ {p} ^ {p} \ leq \ | u \ | _ {W ^ {1, p}} ^ {p} = \ | u \ | _ {p} ^ {p} + \ | \ nabla u \ | _ {p} ^ {p} \ leq (1 + C ^ {p}) \ | \ nabla u \ | _ {p} ^ {p}}

În special pentru $p=2$ ${\ displaystyle p = 2}$ $p = 2$ asta avem în spațiul Hilbert $H_{0}^{1}(\Omega )$ ${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$ un produs scalar echivalent cu cel obișnuit este

(u,v)_{H_{0}^{1}(\Omega )}=\int _{\Omega }\nabla u\nabla v\,{\text{d}}^{n}x

{\ displaystyle (u, v) _ {H_ {0} ^ {1} (\ Omega)} = \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ nabla v \, {\ text {d}} ^ {n} X}

{\ displaystyle (u, v) _ {H_ {0} ^ {1} (\ Omega)} = \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ nabla v \, {\ text {d}} ^ {n} X}

O altă consecință imediată a acestei inegalități este că singura funcție constantă pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ aparținând întregului $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ ${\ displaystyle W_ {0} ^ {1, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle W_ {0} ^ {1, p} (\ Omega)}$ este funcția identic nulă (în timp ce $c\in W^{1,p}(\Omega )$ ${\ displaystyle c \ in W ^ {1, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle c \ in W ^ {1, p} (\ Omega)}$ cu $c\neq 0$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ dacă și numai dacă $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ are măsură finită).

Constanta optimă

Determinați constanta $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ care poate fi folosit în inegalitate este o sarcină dificilă și foarte dependentă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și geometria domeniului . Această constantă este dată de reciprocitatea lui

\inf\{\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}\,:\,\|u\|_{L^{p}(\Omega )}=1\}

{\ displaystyle \ inf \ {\ | \ nabla u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} \ ,: \, \ | u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} = 1 \}}

{\ displaystyle \ inf \ {\ | \ nabla u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} \ ,: \, \ | u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} = 1 \}}

Pentru inegalitatea Poincaré, această limită inferioară este strict pozitivă. Se poate arăta că pentru $p=2$ ${\ displaystyle p = 2}$ $p = 2$ această valoare coincide cu $\lambda _{1}^{-1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} ^ {- 1}}$ , cu $-\lambda _{1}$ ${\ displaystyle - \ lambda _ {1}}$ ${\ displaystyle - \ lambda _ {1}}$ prima valoare proprie a operatorului laplacian cu condiții Dirichlet omogene, adică $\lambda _{1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ $\ lambda _ {1}$ este cel mai mic număr real pozitiv astfel încât următoarea problemă Dirichlet admite soluții diferite de zero în $W_{0}^{1,2}(\Omega )$ ${\ displaystyle W_ {0} ^ {1,2} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle W_ {0} ^ {1,2} (\ Omega)}$

{\begin{matrix}-\Delta u=\lambda u&&{\mbox{ in }}\Omega \\u=0&&{\mbox{ su }}\partial \Omega \end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} - \ Delta u = \ lambda u && {\ mbox {in}} \ Omega \\ u = 0 && {\ mbox {su}} \ partial \ Omega \ end {matrix}} }

{\ displaystyle {\ begin {matrix} - \ Delta u = \ lambda u && {\ mbox {in}} \ Omega \\ u = 0 && {\ mbox {su}} \ partial \ Omega \ end {matrix}} }

Inegalitatea Poincaré-Wirtinger

Un rezultat asociat este inegalitatea Poincaré-Wirtinger : fie $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ $1 \ leq p \ leq \ infty$ Și $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un deschis conectat de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ cu o margine suficient de regulată (de exemplu Lipschitz ). Apoi, există o constantă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ dependent de $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ și din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ astfel încât

\|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )},

{\ displaystyle \ | u-u _ {\ Omega} \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} \ leq C \ | \ nabla u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)},}

{\ displaystyle \ | u-u _ {\ Omega} \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} \ leq C \ | \ nabla u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)},}

pentru fiecare $u\in W^{1,p}(\Omega )$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {1, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {1, p} (\ Omega)}$ , unde este

u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y

{\ displaystyle u _ {\ Omega} = {\ frac {1} {| \ Omega |}} \ int _ {\ Omega} u (y) \, \ mathrm {d} y}

{\ displaystyle u _ {\ Omega} = {\ frac {1} {| \ Omega |}} \ int _ {\ Omega} u (y) \, \ mathrm {d} y}

este media integrală a $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ . Rețineți că dacă eliminați ipoteza conexiunii $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , inegalitatea nu mai există. În mod similar cu cazul anterior, se poate arăta că cea mai bună constantă coincide cu $1/{\sqrt {\mu _{2}}}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {\ mu _ {2}}}}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {\ mu _ {2}}}}$ , Unde $\mu _{2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {2}}$ $\ mu_2$ este prima valoare proprie diferită de zero a operatorului laplacian cu condiții Neumann omogene.

Din acest rezultat deducem, grație inegalității lui Sobolev , că dacă $p<n$ ${\ displaystyle p <n}$ $p <n$

\|u-u_{\Omega }\|_{L^{p^{*}}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}

{\ displaystyle \ | u-u _ {\ Omega} \ | _ {L ^ {p ^ {*}} (\ Omega)} \ leq C \ | \ nabla u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega) }}

{\ displaystyle \ | u-u _ {\ Omega} \ | _ {L ^ {p ^ {*}} (\ Omega)} \ leq C \ | \ nabla u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega) }}

pentru fiecare $u\in W^{1,p}(\Omega )$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {1, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle u \ in W ^ {1, p} (\ Omega)}$ , unde este $p^{*}={np \over n-p}$ ${\ displaystyle p ^ {*} = {np \ peste np}}$ ${\ displaystyle p ^ {*} = {np \ over n-p}}$ .

Bibliografie

Haïm Brezis , Analiza funcțională. Teorie și aplicații , Liguori Editore, ISBN 978-88-207-1501-4

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AA. VV., Poincaré inequality , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică