Spațiu reflectorizant

În matematică , în special în analiza funcțională , un spațiu Banach (sau mai general un spațiu vector topologic convex local ) se numește spațiu reflexiv dacă coincide cu dualul continuu al spațiului său dual dual (adică bidual), atât ca vector spațial , și ca spațiu topologic .

Spații Banach

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu vector normat pe câmp $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}$ sau $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C}}$ , și cu normă $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ . Luați în considerare spațiul său dual continuu $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ , care constă din toate funcționalitățile liniare continue $f:X\to {\mathbb {F} }$ ${\ displaystyle f: X \ to {\ mathbb {F}}}$ ${\ displaystyle f: X \ to {\ mathbb {F}}}$ și în care este definită norma duală $\|\cdot \|'$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | '}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | '}$ dat de:

\|f\|'=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|\leq 1\}

{\ displaystyle \ | f \ | '= \ sup \ {| f (x) | \ ,: \, x \ în X, \ \ | x \ | \ leq 1 \}}

{\ displaystyle \ | f \ | '= \ sup \ {| f (x) | \ ,: \, x \ în X, \ \ | x \ | \ leq 1 \}}

Dualul $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ este un spațiu Banach și dualul său $X''=(X')'$ ${\ displaystyle X '' = (X ')'}$ ${\ displaystyle X '' = (X ')'}$ se spune bidual de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Este ansamblul tuturor funcționalităților liniare $h:X'\to {\mathbb {F} }$ ${\ displaystyle h: X '\ to {\ mathbb {F}}}$ ${\ displaystyle h: X '\ to {\ mathbb {F}}}$ și este furnizat împreună cu standardul $\|\cdot \|''$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | ''}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | ''}$ , dual de $\|\cdot \|'$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | '}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | '}$ . Pentru fiecare vector $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ se poate asocia o funcționalitate scalară $J(x):X'\to {\mathbb {F} }$ ${\ displaystyle J (x): X '\ to {\ mathbb {F}}}$ ${\ displaystyle J (x): X '\ to {\ mathbb {F}}}$ în felul următor:

J(x)(f)=f(x)\qquad f\in X'

{\ displaystyle J (x) (f) = f (x) \ qquad f \ în X '}

{\ displaystyle J (x) (f) = f (x) \ qquad f \ în X '}

unde este $J(x)$ ${\ displaystyle J (x)}$ $J (x)$ este o funcționalitate liniară continuă pe $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ , adică $J(x)\in X''$ ${\ displaystyle J (x) \ în X ''}$ ${\ displaystyle J (x) \ în X ''}$ . Funcția se obține în acest fel:

J:X\to X''

{\ displaystyle J: X \ to X ''}

{\ displaystyle J: X \ to X ''}

respectiva hartă de evaluare , care este liniară . Din teorema Hahn-Banach rezultă că $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este o funcție injectivă care păstrează norma:

\forall x\in X\qquad \|J(x)\|''=\|x\|

{\ displaystyle \ forall x \ in X \ qquad \ | J (x) \ | '' = \ | x \ |}

{\ displaystyle \ forall x \ in X \ qquad \ | J (x) \ | '' = \ | x \ |}

adică $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ Hartă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ izometric în imaginea sa $J(X)$ ${\ displaystyle J (X)}$ ${\ displaystyle J (X)}$ în $X^{″}$ ${\ displaystyle X ''}$ ${\ displaystyle X ''}$ . Imaginea $J(X)$ ${\ displaystyle J (X)}$ ${\ displaystyle J (X)}$ nu este neapărat egal cu $X^{″}$ ${\ displaystyle X ''}$ ${\ displaystyle X ''}$ .

Un spațiu reglementat $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este reflexiv dacă îndeplinește următoarele condiții echivalente:

Harta de evaluare $J:X\to X''$ ${\ displaystyle J: X \ to X ''}$ ${\ displaystyle J: X \ to X ''}$ este surjectiv.
Harta de evaluare $J:X\to X''$ ${\ displaystyle J: X \ to X ''}$ ${\ displaystyle J: X \ to X ''}$ este un izomorfism izometric între spații normate.
Harta de evaluare $J:X\to X''$ ${\ displaystyle J: X \ to X ''}$ ${\ displaystyle J: X \ to X ''}$ este un izomorfism între spații normate.

Un spațiu reflectorizant $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu Banach din moment ce $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este (așa cum sa menționat mai sus) izometric pentru spațiul Banach $X^{″}$ ${\ displaystyle X ''}$ ${\ displaystyle X ''}$ .

Rețineți că un spațiu Banach este reflexiv dacă este liniar isometric la bidualul său față de $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ , dar arată că există un spațiu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ non-reflexiv care este liniar izometric a $X^{″}$ ${\ displaystyle X ''}$ ${\ displaystyle X ''}$ . ^[1]

Un spațiu Banach se numește cvasi-reflexiv (sau ordine $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ ) dacă coeficientul $X''/J(X)$ ${\ displaystyle X '' / J (X)}$ ${\ displaystyle X '' / J (X)}$ are dimensiuni finite $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ .

Proprietate

Dacă un spațiu Banach $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este izomorf pentru un spațiu reflexiv Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , asa de $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este reflectant.
Fiecare subspațiu închis al unui spațiu reflexiv este reflexiv. Dualul unui spațiu reflectorizant este reflexiv. Cotația unui spațiu reflexiv pentru subspațiul său vector închis este reflexivă.
De sine $X$ {\ displaystyle X} $X$ este un spațiu Banach, următoarele afirmații sunt echivalente:
- $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este reflectant.
- Dualul de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este reflectant.
- Sfera unitară s-a închis $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este compactă în topologie slabă (teorema lui Kakutani).
- Fiecare succesiune limitată în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ posedă o subsecvență slab convergentă, deoarece compactitatea slabă și compactitatea secvențială slabă coincid cu teorema Eberlein-Šmulian .
- Fiecare funcțional liniar continuu activat $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ atinge valoarea sa maximă pe sfera unității în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ( Teorema lui James ).

Din a treia proprietate rezultă că subseturile convexe închise și mărginite ale unui spațiu reflectorizant

X

{\ displaystyle X}

X

sunt slab compacte. În acest fel, pentru fiecare succesiune descrescătoare de mulțimi convexe, închise, delimitate și non-goale de

X

{\ displaystyle X}

X

, intersecția lor nu este goală. În consecință, fiecare funcție convexă continuă

f

{\ displaystyle f}

f

definit pe un subset mult convex și închis

C\subset X

{\ displaystyle C \ subset X}

{\ displaystyle C \ subset X}

, și astfel încât setul:

C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}

{\ displaystyle C_ {t} = \ {x \ în C \ ,: \, f (x) \ leq t \}}

{\ displaystyle C_ {t} = \ {x \ în C \ ,: \, f (x) \ leq t \}}

este ne-gol și limitat pentru fiecare

t\in \mathbb {R}

{\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}

t \ in \ mathbb {R}

, atinge valoarea sa minimă pe

C.

{\ displaystyle C}

C.

.

Spațiile Banach reflexive sunt frecvent caracterizate prin proprietățile lor geometrice. De sine $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este un subgrup convex și închis al spațiului reflectorizant $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , apoi pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ există $c\in C$ ${\ displaystyle c \ în C}$ ${\ displaystyle c \ în C}$ astfel încât $\|x-c\|$ ${\ displaystyle \ | xc \ |}$ ${\ displaystyle \ | x-c \ |}$ minimiza distanța dintre $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și punctele de $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . Se observă că în timp ce distanța minimă dintre $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este definit în mod unic prin alegerea $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , nu se poate spune același lucru pentru acest punct $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ : cel mai apropiat punct $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este unic când $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este uniform convexă.
Un spațiu reflectorizant Banach este separabil dacă și numai dacă dualul său este. Acest lucru rezultă din faptul că pentru fiecare spațiu normat $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ separabilitatea dualului ${Da}^{'}$ ${\ displaystyle Y '}$ ${\ displaystyle Y '}$ implică separabilitatea $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ la fel.

Spații super gânditoare

Un spațiu Banach $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este reprezentabil finit într-un spațiu Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ dacă pentru fiecare subspațiu $Y_{0}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ care are dimensiune finită și pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ există un subspațiu $X_{0}$ ${\ displaystyle X_ {0}}$ $X_ {0}$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât distanța multiplicativă Banach-Mazur între $X_{0}$ ${\ displaystyle X_ {0}}$ $X_ {0}$ Și $Y_{0}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ satisface: ^[2]

d(X_{0},Y_{0})<1+\varepsilon

{\ displaystyle d (X_ {0}, Y_ {0}) <1+ \ varepsilon}

{\ displaystyle d (X_ {0}, Y_ {0}) <1+ \ varepsilon}

Un spațiu Banach finitabil reprezentabil în $\ell ^{2}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$ $\ ell ^ {2}$ este un spațiu Hilbert și fiecare spațiu Banach este reprezentabil finit în spațiul secvențelor $c_{0}$ ${\ displaystyle c_ {0}}$ $c_0$ . Spațiul Lp $L^{p}[0,1]$ ${\ displaystyle L ^ {p} [0,1]}$ ${\ displaystyle L ^ {p} [0,1]}$ este, de asemenea, reprezentabil finit în $\ell ^{p}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$ $\ ell ^ {p}$ .

Un spațiu Banach $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se spune că este super-reflexiv dacă toate spațiile Banach $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ finitely representable in $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt reflexive, adică dacă nu există spațiu non-reflexiv $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este reprezentabil finit în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Un rezultat din RC James arată că un spațiu este super-reflexiv dacă și numai dacă dualul său este.

Spații convexe local

Conceptul de spațiu reflexiv Banach poate fi generalizat luând în considerare spații convexe la nivel local. Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu vector topologic pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb R$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb C$ . Luați în considerare spațiul său dual $X'_{\beta }$ ${\ displaystyle X '_ {\ beta}}$ ${\ displaystyle X '_ {\ beta}}$ relativ la topologia puternică , care este formată din toate funcționalitățile liniare continue $f:X\to {\mathbb {F} }$ ${\ displaystyle f: X \ to {\ mathbb {F}}}$ ${\ displaystyle f: X \ to {\ mathbb {F}}}$ și echipat cu o topologie puternică $\beta (X',X)$ ${\ displaystyle \ beta (X ', X)}$ ${\ displaystyle \ beta (X ', X)}$ , adică topologia asociată cu convergența uniformă a subseturilor mărginite de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Spaţiu $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ $X '$ este un spațiu vector topologic local convex și, prin urmare, dualul său poate fi luat în considerare $\beta ((X'_{\beta })',X'_{\beta })$ ${\ displaystyle \ beta ((X '_ {\ beta})', X '_ {\ beta})}$ ${\ displaystyle \ beta ((X '_ {\ beta})', X '_ {\ beta})}$ (relativ la topologia puternică), numită biduală puternică a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Acesta este spațiul format din toate funcționalitățile liniare $h:X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }$ ${\ displaystyle h: X '_ {\ beta} \ to {\ mathbb {F}}}$ ${\ displaystyle h: X '_ {\ beta} \ to {\ mathbb {F}}}$ iar topologia puternică este definită în ea $\beta ((X'_{\beta })',X'_{\beta })$ ${\ displaystyle \ beta ((X '_ {\ beta})', X '_ {\ beta})}$ ${\ displaystyle \ beta ((X '_ {\ beta})', X '_ {\ beta})}$ . Fiecare transportator $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ generează o funcție $J(x):X'_{\beta }\to {\mathbb {F} }$ ${\ displaystyle J (x): X '_ {\ beta} \ to {\ mathbb {F}}}$ ${\ displaystyle J (x): X '_ {\ beta} \ to {\ mathbb {F}}}$ prin intermediul formulei:

J(x)(f)=f(x)\qquad f\in X'

{\ displaystyle J (x) (f) = f (x) \ qquad f \ în X '}

{\ displaystyle J (x) (f) = f (x) \ qquad f \ în X '}

care este o funcționalitate liniară continuă pe $X'_{\beta }$ ${\ displaystyle X '_ {\ beta}}$ ${\ displaystyle X '_ {\ beta}}$ , adică $J(x)\in (X'_{\beta })'_{\beta }$ ${\ displaystyle J (x) \ in (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle J (x) \ in (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ . Obțineți harta de evaluare:

J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }

{\ displaystyle J: X \ to (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}

{\ displaystyle J: X \ to (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}

care este liniar. De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este convex local, din teorema Hahn-Banach avem că $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este o funcție injectivă și deschisă (adică pentru fiecare cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ zero în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ există un cartier $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ zero în $(X'_{\beta })'_{\beta }$ ${\ displaystyle (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ astfel încât $J(U)\supseteq V\cap J(X)$ ${\ displaystyle J (U) \ supseteq V \ cap J (X)}$ ${\ displaystyle J (U) \ supseteq V \ cap J (X)}$ ). Cu toate acestea, nu poate fi nici surjectiv, nici continuu.

Un spațiu local convex $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ si a zis:

semi-reflexiv dacă harta de evaluare $J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }$ ${\ displaystyle J: X \ to (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle J: X \ to (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ este surjectiv.
atent dacă harta de evaluare $J:X\to (X'_{\beta })'_{\beta }$ ${\ displaystyle J: X \ to (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle J: X \ to (X '_ {\ beta})' _ {\ beta}}$ este surjectiv și continuu. Atunci $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este un izomorfism între spațiile vectoriale topologice.

Se arată că un spațiu Hausdorff $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ local convex este semi-reflexiv dacă și numai dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu topologie $\sigma (X,X^{*})$ ${\ displaystyle \ sigma (X, X ^ {*})}$ ${\ displaystyle \ sigma (X, X ^ {*})}$ are proprietatea că subseturile sale delimitate și închise sunt slab compacte .

Un spațiu local convex $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este reflexiv dacă și numai dacă este semi-reflexiv și este un spațiu butoi . Mai mult, dualul (în ceea ce privește topologia puternică) a unui spațiu semireflexiv este un spațiu butoi.

Notă

^ RC James, Un spațiu Banach non-reflex isometric cu al doilea spațiu conjugat , în Proc. Natl. Acad. Sci. SUA , vol. 37, 1951, pp. 174–177, DOI : 10.1073 / pnas.37.3.174 .
^ James, Robert C. (1972), „Spații Banach super-reflexive”, Canad. J. Math. 24 : 896–904.

Bibliografie

(EN) JB Conway, Un curs de analiză funcțională, Springer, 1985.
( EN ) Fran \ c {c} ois Tr \ `{e} ves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels , Academic Press, Inc., 1995, pp. 136-149, 195-201, 240-252, 335-390, 420-433, ISBN 0-486-45352-9 .
( EN ) B. Beauzamy, Introducere în spațiile Banach și geometria lor , Olanda de Nord (1982)
(EN) MM Day, Spații liniare normate, Springer (1973)
( EN ) D. van Dulst, Spații Banach reflexive și superreflexive , MC Tracts, 102 , Math. Centru (1978)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VI Sobolev, Reflexive space , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] RC James, Un spațiu Banach non-reflex isometric cu al doilea spațiu conjugat , în Proc. Natl. Acad. Sci. SUA , vol. 37, 1951, pp. 174–177, DOI : 10.1073 / pnas.37.3.174 .

[SRBS-2] James, Robert C. (1972), „Spații Banach super-reflexive”, Canad. J. Math. 24 : 896–904.

[1]

[2]