Funcția implicită

În matematică , o funcție implicită este o funcție definită printr-o ecuație implicită , adică printr-o relație a formei $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ ${\ displaystyle R (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = 0}$ $R (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = 0$ , unde este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este o funcție a mai multor variabile (de multe ori este un polinom ). De exemplu, ecuația implicită a cercului unitar este $x^{2}+y^{2}-1=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$ $x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0$ .

Funcțiile implicite asociază o variabilă din ecuație cu alte variabile și, în acest fel, ecuația definește „implicit” funcția implicită. De exemplu, funcția implicită pentru cercul unitar este caracterizată prin:

x^{2}+[f(x)]^{2}-1=0

{\ displaystyle x ^ {2} + [f (x)] ^ {2} -1 = 0}

x ^ {2} + [f (x)] ^ {2} -1 = 0

care definește $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ca o funcție a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ dacă și numai dacă $-1\leq x\leq 1$ ${\ displaystyle -1 \ leq x \ leq 1}$ $-1 \ leq x \ leq 1$ și numai valorile pozitive (sau numai negative) ale funcției sunt luate în considerare. Un alt exemplu clasic de funcție implicită este funcția inversă , dată de ecuație $R(x,y)=x-f(y)=0$ ${\ displaystyle R (x, y) = xf (y) = 0}$ $R (x, y) = x-f (y) = 0$ , care are pentru soluție:

y=f^{-1}(x)

{\ displaystyle y = f ^ {- 1} (x)}

y = f ^ {{- 1}} (x)

Teorema funcției implicite oferă condițiile pentru care o ecuație definește o funcție implicită.

Exemple

Să luăm ca alt exemplu sfera definită în $R^{3}$ ${\ displaystyle R ^ {3}}$ $R ^ {3}$ . Ecuația sa în formă parametrică va fi:

${\begin{cases}x=R\;sin\phi \;cos\theta \\y=R\;sin\phi \;sin\theta \\z=R\;cos\phi \end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x = R \; sin \ phi \; cos \ theta \\ y = R \; sin \ phi \; sin \ theta \\ z = R \; cos \ phi \ end { cazuri}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} x = R \; sin \ phi \; cos \ theta \\ y = R \; sin \ phi \; sin \ theta \\ z = R \; cos \ phi \ end { cazuri}}}$

Putem observa că parametrizarea, chiar dacă este o sferă în spațiul a 3 variabile, depinde doar de 2 parametri ( $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ).

În mod similar, forma sa implicită va fi definită de următoarea ecuație:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2} = 0}$

apoi, printr-o ecuație în 3 variabile.

Bibliografie

(EN) Alpha C. Chiang, Metode fundamentale ale economiei matematice, al treilea, McGraw-Hill, 1984.
( EN ) Walter Rudin , Principiile analizei matematice , McGraw-Hill, 1976, ISBN 0-07-054235-X .
( EN ) Michael Spivak , Calcul pe colectoare , HarperCollins , 1965, ISBN 0-8053-9021-9 .
( EN ) Frank Warner, Bazele diferitelor grupuri de minciuni și grupuri de minciuni , Springer , 1983, ISBN 0-387-90894-3 .
(EN) James Stewart Calculus Concepts And Contexts , Brooks / Cole Publishing Company, 1998, ISBN 0-534-34330-9 .

Elemente conexe

Teorema funcției implicite

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Funcția implicită , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy