Logaritm integral

Graficul funcției logaritme integrale în intervalul de la 0 la 5.

Logaritmul integral , numit și funcția logaritmică integrală , hiperlogaritm sau logologaritm , este o funcție matematică foarte utilă în teoria numerelor analitice .

Pentru $x\neq 1$ ${\ displaystyle x \ neq 1}$ $x \ neq 1$ este definit ca:

{\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\ln(y)}}\,dy,

{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ ln (y)}} \, dy,}

{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ ln (y)}} \, dy,}

unde este $\ln(x)$ ${\ displaystyle \ ln (x)}$ $\ ln (x)$ este logaritmul natural al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar cu integral ne referim la valoarea principală :

{\rm {li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dy}{\ln(y)}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dy}{\ln(y)}}\right).

{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {0} ^ {1- \ varepsilon} {\ frac {dy} {\ ln (y)}} + \ int _ {1+ \ varepsilon} ^ {x} {\ frac {dy} {\ ln (y)}} \ right).}

{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {0} ^ {1- \ varepsilon} {\ frac {dy} {\ ln (y)}} + \ int _ {1+ \ varepsilon} ^ {x} {\ frac {dy} {\ ln (y)}} \ right).}

Functia ${\rm {li}}(x)$ ${\ displaystyle {\ rm {li}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ rm {li}} (x)}$ are un singur zero pozitiv, care apare pentru $x\approx 1,4513692348\dots$ ${\ displaystyle x \ approx 1.4513692348 \ dots}$ $x \ approx 1.4513692348 \ dots$ ; acest număr este cunoscut sub numele de constantă Ramanujan-Soldner .

Prin urmare, pentru a evita singularitatea din domeniul integrării, versiunea:

{\rm {Li}}(x)={\rm {li}}(x)-{\rm {li(2)}}=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(y)}}\,dy.

{\ displaystyle {\ rm {Li}} (x) = {\ rm {li}} (x) - {\ rm {li (2)}} = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac { 1} {\ ln (y)}} \, dy.}

{\ displaystyle {\ rm {Li}} (x) = {\ rm {li}} (x) - {\ rm {li (2)}} = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac { 1} {\ ln (y)}} \, dy.}

Funcția integrală exponențială

Logaritmul integral este strâns legat de funcția integrală exponențială ${\mbox{Ei}}:$ ${\ displaystyle {\ mbox {Ei}}:}$ ${\ displaystyle {\ mbox {Ei}}:}$

{\mbox{li}}(x):={\mbox{Ei}}(\ln(x)),

{\ displaystyle {\ mbox {li}} (x): = {\ mbox {Ei}} (\ ln (x)),}

{\ displaystyle {\ mbox {li}} (x): = {\ mbox {Ei}} (\ ln (x)),}

pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ reali pozitivi, altele decât 1. Această relație oferă o reprezentare în serie a logaritmului integral:

{\rm {li}}(e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!},\quad {\text{per }}u\neq 0,

{\ displaystyle {\ rm {li}} (e ^ {u}) = {\ hbox {Ei}} (u) = \ gamma + \ ln | u | + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } {u ^ {n} \ over n \ cdot n!}, \ quad {\ text {for}} u \ neq 0,}

{\ displaystyle {\ rm {li}} (e ^ {u}) = {\ hbox {Ei}} (u) = \ gamma + \ ln | u | + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } {u ^ {n} \ over n \ cdot n!}, \ quad {\ text {for}} u \ neq 0,}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ denotă constanta Euler-Mascheroni .

Teoria numerelor

Logaritmul integral joacă un rol foarte important în teoria numerelor ; de fapt, teorema numărului prim afirmă că:

\pi (x)\sim {\rm {Li}}(x),

{\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ rm {Li}} (x),}

{\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ rm {Li}} (x),}

unde este $\pi (x)$ ${\ displaystyle \ pi (x)}$ $\ pi (x)$ este funcția enumerativă a primilor , adică funcția care indică numărul de numere prime mai mic decât $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . În practică, formula poate fi utilizată pentru a obține o bună aproximare a numărului de numere prime mai mici sau egale cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Valoarea a ${\rm {Li}}(x)$ ${\ displaystyle {\ rm {Li}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Li}} (x)}$ rămâne mai mare decât $\pi (x)$ ${\ displaystyle \ pi (x)}$ $\ pi (x)$ până la un număr extrem de mare, atât de mult încât mulți matematicieni au crezut că ar trebui să rămână întotdeauna superior. Cu toate acestea , în 1914, Littlewood a dovedit că diferența ${\rm {Li}}(x)-\pi (x)$ ${\ displaystyle {\ rm {Li}} (x) - \ pi (x)}$ ${\ displaystyle {\ rm {Li}} (x) - \ pi (x)}$ , în timp ce rămâne pozitiv până la un număr extrem de mare, acesta modifică ulterior semnul de ori infinită, deci există valori infinite de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pentru care $\pi (x)$ ${\ displaystyle \ pi (x)}$ $\ pi (x)$ este mai mare decât ${\rm {Li}}(x).$ ${\ displaystyle {\ rm {Li}} (x).}$ ${\ displaystyle {\ rm {Li}} (x).}$

În 1933, matematicianul sud-african Stanley Skewes s-a dovedit a fi o limită superioară pentru cea mai mică dintre aceste valori. Presupunând că ipoteza Riemann este adevărată, el a estimat această limită la aproximativ $10^{10^{10^{34}}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {34}}}}$ $10 ^ {{10 ^ {{10 ^ {{34}}}}}}$ . Mai târziu, această limită imens de mare a fost redusă semnificativ și este în prezent la 1,39 × 10 ³¹⁶ (C. Bay și RH Hudson, 2000). ^[1]

Dezvoltare asimptotică

Comportamentul asimptotic pentru $x\to +\infty$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ $x \ to + \ infty$ Și:

{\rm {li}}(x)=O\left({x \over \ln x}\right),

{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) = O \ left ({x \ over \ ln x} \ right),}

{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) = O \ left ({x \ over \ ln x} \ right),}

unde este $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ este notația mare -O . Extinderea completă are forma:

{\rm {li}}(x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}},

{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(\ ln x) ^ {k}}},}

{\ displaystyle {\ rm {li}} (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(\ ln x) ^ {k}}},}

sau echivalent:

{\frac {{\rm {li}}(x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {li}} (x)} {x / \ ln x}} \ sim 1 + {\ frac {1} {\ ln x}} + {\ frac {2} { (\ ln x) ^ {2}}} + {\ frac {6} {(\ ln x) ^ {3}}} + \ cdots.}

{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {li}} (x)} {x / \ ln x}} \ sim 1 + {\ frac {1} {\ ln x}} + {\ frac {2} { (\ ln x) ^ {2}}} + {\ frac {6} {(\ ln x) ^ {3}}} + \ cdots.}

Este o serie divergentă, care este o bună aproximare numai dacă este trunchiată și este utilizată pentru valori mari de $X .$ ${\ displaystyle x.}$ ${\ displaystyle x.}$ Rezultă direct din expansiunea integralei exponențiale .

Notă

^ O nouă legătură pentru cel mai mic x cu π (x)> li (x)

Bibliografie

(EN) Abramowitz, M. și Stegun, IA (Eds.). Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice, a 9-a tipărire . New York: Dover, p. 879, 1972.
( EN ) Berndt, Caietele BC Ramanujan, partea a IV-a . New York: Springer-Verlag, pp. 126-131, 1994.
( EN ) Bromwich, TJ I'A. și MacRobert, TM An Introduction to Theory of Infinite Series, ed . a 3-a . New York: Chelsea, p. 334, 1991.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Full Logarithm

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Logaritmic Integral in MathWorld Wolfram Research.
Introducere în funcțiile jurnalului integral exponențial și integral , pe scientematematiche.it . Adus la 11 octombrie 2014 (arhivat din original la 17 octombrie 2014) .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4212683-6

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] O nouă legătură pentru cel mai mic x cu π (x)> li (x)

[1]