Constanta Ramanujan-Soldner

Constanta Ramanujan-Soldner
Simbol	μ
Valoare	1.4513692348833810502839684 ... (secvența A070769 a OEIS )
Originea numelui	Srinivasa Ramanujan și Johann von Soldner
Fracție continuă	[1, 2, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 47, ...] (secvența A099803 a OEIS)
Camp	numere reale

În matematică , constanta Ramanujan-Soldner este o constantă matematică definită ca singurul zero pozitiv al logaritmului integral . Numele se datorează lui Srinivasa Ramanujan și Johann Georg von Soldner .

Valoarea sa este aproximativ $\mu \approx 1,451369234883381050283968485892027449493\dots$ ${\ displaystyle \ mu \ approx 1.451369234883381050283968485892027449493 \ dots}$ ${\ displaystyle \ mu \ approx 1.451369234883381050283968485892027449493 \ dots}$

Deoarece logaritmul integral este definit ca valoarea principală a:

\mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}

{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}}}

{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}}}

avem:

\mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {li} (x)-\mathrm {li} (\mu )

{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) \; = \; \ mathrm {li} (x) - \ mathrm {li} (\ mu)}

{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) \; = \; \ mathrm {li} (x) - \ mathrm {li} (\ mu)}

sau, echivalent:

\mathrm {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}-\int _{0}^{\mu }{\frac {dt}{\ln t}}

{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}} - \ int _ {0} ^ {\ mu} {\ frac { dt} {\ ln t}}}

{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}} - \ int _ {0} ^ {\ mu} {\ frac { dt} {\ ln t}}}

Așadar:

\mathrm {li} (x)=\int _{\mu }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}

{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ int _ {\ mu} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}}}

{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) = \ int _ {\ mu} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}}}

ceea ce facilitează calculul pentru numere întregi pozitive. Mai mult, deoarece funcția integrală exponențială satisface ecuația:

\mathrm {li} (x)\;=\;\mathrm {Ei} (\ln {x})

{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) \; = \; \ mathrm {Ei} (\ ln {x})}

{\ displaystyle \ mathrm {li} (x) \; = \; \ mathrm {Ei} (\ ln {x})}

singurul zero pozitiv al integralei exponențiale corespunde logaritmului natural al constantei Ramanujan-Soldner, iar valoarea sa este aproximativ:

\ln(\mu )\approx 0,372507410781366634461991866\dots

{\ displaystyle \ ln (\ mu) \ approx 0.372507410781366634461991866 \ dots}

{\ displaystyle \ ln (\ mu) \ approx 0.372507410781366634461991866 \ dots}

Bibliografie

( RO ) Berndt, Caietele BC Ramanujan, Partea a IV-a . New York: Springer-Verlag, pp. 123-124, 1994.
( EN ) Berndt, BC și Evans, RJ "Câteva aproximări elegante și formule asimptotice pentru Ramanujan." J. Comput. Aplic. Matematica . 37 , 35-41, 1991.
( EN ) Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics . New York: Penguin, 2004.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, constanta Ramanujan-Soldner în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică