Vector nul

În algebra liniară , vectorul nul (sau elementul zero ) al unui spațiu vectorial este elementul neutru al operației de adunare definite în spațiu, adică vectorul care lasă neschimbat orice vector al spațiului la care se adaugă. Un astfel de vector există întotdeauna (prin axiomă) în orice spațiu vectorial și este posibil să se demonstreze că este, de asemenea, unic .

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial definit pe teren ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ . Din axiomele care definesc spațiul, există un element $\mathbf {0} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} \ în V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} \ în V}$ astfel încât, dacă $+:V\times V\to V$ ${\ displaystyle +: V \ times V \ to V}$ ${\ displaystyle +: V \ times V \ to V}$ reprezintă operația de sumă între vectori, apoi: ^[1]

\mathbf {v} +\mathbf {0} =\mathbf {v} \quad \quad {\mbox{ per ogni }}\mathbf {v} \in V

{\ displaystyle \ mathbf {v} + \ mathbf {0} = \ mathbf {v} \ quad \ quad {\ mbox {pentru fiecare}} \ mathbf {v} \ în V}

{\ displaystyle \ mathbf {v} + \ mathbf {0} = \ mathbf {v} \ quad \ quad {\ mbox {pentru fiecare}} \ mathbf {v} \ în V}

Acesta este vectorul nul . Prin vectorul nul definim (și dovedim că este unic) opusul oricărui vector $\mathbf {v} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ în V}$ $\ mathbf v \ în V$ ; este vectorul $-\mathbf {v}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {v}}$ astfel încât:

\mathbf {v} +(-\mathbf {v} )=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {v} + (- \ mathbf {v}) = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} + (- \ mathbf {v}) = \ mathbf {0}}

.

(este cerut de axioma că $\mathbf {v} \in V\Rightarrow -\mathbf {v} \in V$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in V \ Rightarrow - \ mathbf {v} \ in V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} \ in V \ Rightarrow - \ mathbf {v} \ in V}$ ).

Din aceste două axiome rezultă că vectorul nul este opus lui însuși, ca prin definiție

\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} \quad {\mbox{ da cui }}-\mathbf {0} =\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {0} + \ mathbf {0} = \ mathbf {0} \ quad {\ mbox {prin urmare}} - \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ mathbf {0} + \ mathbf {0} = \ mathbf {0} \ quad {\ mbox {prin urmare}} - \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}

.

Unicitate

Vectorul nul este determinat în mod unic de definiția sa.

Sunt într-adevăr $\mathbf {n} ,\mathbf {n} ^{\prime }$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}, \ mathbf {n} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}, \ mathbf {n} ^ {\ prime}}$ doi vectori pentru care deține definiția unui vector nul. Atunci

\mathbf {n} ^{\prime }=\mathbf {n} ^{\prime }+\mathbf {n} =\mathbf {n}

{\ displaystyle \ mathbf {n} ^ {\ prime} = \ mathbf {n} ^ {\ prime} + \ mathbf {n} = \ mathbf {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {n} ^ {\ prime} = \ mathbf {n} ^ {\ prime} + \ mathbf {n} = \ mathbf {n}}

.

Proprietate

Proprietăți generale

Să denotăm elementul neutru al sumei de ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ; vectorul nul are următoarele proprietăți:

$0\mathbf {v} =\mathbf {0} \ \forall \mathbf {v} \in V$ ${\ displaystyle 0 \ mathbf {v} = \ mathbf {0} \ \ forall \ mathbf {v} \ în V}$ ${\ displaystyle 0 \ mathbf {v} = \ mathbf {0} \ \ forall \ mathbf {v} \ în V}$ .

Pentru proprietățile câmpului de care se bucură ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ , 0 admite opus și acesta este 0, deci $0+0=0$ ${\ displaystyle 0 + 0 = 0}$ ${\ displaystyle 0 + 0 = 0}$ :

0\mathbf {v} =(0+0)\mathbf {v} =0\mathbf {v} +0\mathbf {v}

{\ displaystyle 0 \ mathbf {v} = (0 + 0) \ mathbf {v} = 0 \ mathbf {v} +0 \ mathbf {v}}

{\ displaystyle 0 \ mathbf {v} = (0 + 0) \ mathbf {v} = 0 \ mathbf {v} +0 \ mathbf {v}}

(distribuția produsului pentru un scalar). Pentru axiomele spațiului vectorial, opusul lui $0\mathbf {v}$ ${\ displaystyle 0 \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle 0 \ mathbf {v}}$ :

-0\mathbf {v} +0\mathbf {v} =-0\mathbf {v} +(0\mathbf {v} +0\mathbf {v} )

{\ displaystyle -0 \ mathbf {v} +0 \ mathbf {v} = -0 \ mathbf {v} + (0 \ mathbf {v} +0 \ mathbf {v})}

{\ displaystyle -0 \ mathbf {v} +0 \ mathbf {v} = -0 \ mathbf {v} + (0 \ mathbf {v} +0 \ mathbf {v})}

Primul membru este vectorul nul, prin definiție, în timp ce asociativitatea sumei se aplică celui de-al doilea membru, obținând:

\mathbf {0} =\mathbf {0} +0\mathbf {v} =0\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {0} = \ mathbf {0} +0 \ mathbf {v} = 0 \ mathbf {v}}

{\ displaystyle \ mathbf {0} = \ mathbf {0} +0 \ mathbf {v} = 0 \ mathbf {v}}

.

$\lambda \mathbf {0} =\mathbf {0} \ \forall \lambda \in {\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {0} = \ mathbf {0} \ \ forall \ lambda \ în {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {0} = \ mathbf {0} \ \ forall \ lambda \ în {\ mathcal {K}}}$

Opusul vectorului nul este vectorul nul, deci $\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} + \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} + \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$ :

\lambda \mathbf {0} =\lambda (\mathbf {0} +\mathbf {0} )=\lambda \mathbf {0} +\lambda \mathbf {0}

{\ displaystyle \ lambda \ mathbf {0} = \ lambda (\ mathbf {0} + \ mathbf {0}) = \ lambda \ mathbf {0} + \ lambda \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ lambda \ mathbf {0} = \ lambda (\ mathbf {0} + \ mathbf {0}) = \ lambda \ mathbf {0} + \ lambda \ mathbf {0}}

(distribuția produsului pentru un scalar). Pentru axiomele spațiului vectorial, opusul lui $\lambda \mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {0}}$ :

-\lambda \mathbf {0} +\lambda \mathbf {0} =-\lambda \mathbf {0} +(\lambda \mathbf {0} +\lambda \mathbf {0} )

{\ displaystyle - \ lambda \ mathbf {0} + \ lambda \ mathbf {0} = - \ lambda \ mathbf {0} + (\ lambda \ mathbf {0} + \ lambda \ mathbf {0})}

{\ displaystyle - \ lambda \ mathbf {0} + \ lambda \ mathbf {0} = - \ lambda \ mathbf {0} + (\ lambda \ mathbf {0} + \ lambda \ mathbf {0})}

Primul membru este vectorul nul, prin definiție, în timp ce asociativitatea sumei se aplică celui de-al doilea membru, obținând:

\mathbf {0} =\mathbf {0} +\lambda \mathbf {0} =\lambda \mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {0} = \ mathbf {0} + \ lambda \ mathbf {0} = \ lambda \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ mathbf {0} = \ mathbf {0} + \ lambda \ mathbf {0} = \ lambda \ mathbf {0}}

.

$\lambda \mathbf {v} =\mathbf {0} \Leftrightarrow \lambda =0\vee \mathbf {v} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {v} = \ mathbf {0} \ Leftrightarrow \ lambda = 0 \ vee \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ lambda \ mathbf {v} = \ mathbf {0} \ Leftrightarrow \ lambda = 0 \ vee \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}$

Implicația din stânga $\Leftarrow$ ${\ displaystyle \ Leftarrow}$ $\ Sageata stanga$ urmează din primele două proprietăți. În ceea ce privește implicația asupra dreptului, presupuneți că:

\lambda \mathbf {v} =\mathbf {0}

{\ displaystyle \ lambda \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ lambda \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}

Apoi, sau $\lambda =0$ ${\ displaystyle \ lambda = 0}$ $\ lambda = 0$ , caz în care nici nu este nimic de dovedit $\lambda \neq 0$ ${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$ , caz în care admite invers pentru proprietățile lui ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ , adică există $\lambda ^{-1}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {- 1}}$ astfel încât $\lambda ^{-1}\lambda =1$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {- 1} \ lambda = 1}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {- 1} \ lambda = 1}$ , unde 1 este elementul neutru al multiplicării în ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ . Pentru axiomele spațiului vectorial, $1\mathbf {v} =\mathbf {v}$ ${\ displaystyle 1 \ mathbf {v} = \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle 1 \ mathbf {v} = \ mathbf {v}}$ astfel încât:

\lambda ^{-1}\lambda \mathbf {v} =\lambda ^{-1}\mathbf {0}

{\ displaystyle \ lambda ^ {- 1} \ lambda \ mathbf {v} = \ lambda ^ {- 1} \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ lambda ^ {- 1} \ lambda \ mathbf {v} = \ lambda ^ {- 1} \ mathbf {0}}

\mathbf {v} =\mathbf {0}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}

.

Un set de vectori care include vectorul nul este neapărat dependent liniar ; acest lucru este valabil și dacă setul constă doar din vectorul nul. De fapt, având în vedere o combinație liniară a unui astfel de sistem de vectori, este suficient să setați toți coeficienții egali cu zero, cu excepția celui care înmulțește vectorul nul, iar rezultatul va fi zero.

Pentru fiecare bază fixă $\{\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} \}}$ a spațiului cu dimensiuni finite $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , vectorul de coordonate al vectorului nul este vectorul $(0,0,\cdots ,0)^{T}$ ${\ displaystyle (0,0, \ cdots, 0) ^ {T}}$ ${\ displaystyle (0,0, \ cdots, 0) ^ {T}}$ .

Merită să scrieți în coordonate

\mathbf {0} =c_{1}\mathbf {e} _{1}+\ldots +c_{n}\mathbf {e} _{n}

{\ displaystyle \ mathbf {0} = c_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ ldots + c_ {n} \ mathbf {e} _ {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {0} = c_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ ldots + c_ {n} \ mathbf {e} _ {n}}

Apoi, de atunci $\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} + \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0} + \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$ :

\mathbf {0} +\mathbf {0} =(c_{1}+c_{1})\mathbf {e} _{1}+\ldots +(c_{n}+c_{n})\mathbf {e} _{n}=c_{1}\mathbf {e} _{1}+\ldots +c_{n}\mathbf {e} _{n}

{\ displaystyle \ mathbf {0} + \ mathbf {0} = (c_ {1} + c_ {1}) \ mathbf {e} _ {1} + \ ldots + (c_ {n} + c_ {n}) \ mathbf {e} _ {n} = c_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ ldots + c_ {n} \ mathbf {e} _ {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {0} + \ mathbf {0} = (c_ {1} + c_ {1}) \ mathbf {e} _ {1} + \ ldots + (c_ {n} + c_ {n}) \ mathbf {e} _ {n} = c_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ ldots + c_ {n} \ mathbf {e} _ {n}}

de la care, fiind vectorii de bază liniar independenți :

${\begin{cases}c_{1}+c_{1}=c_{1}\\\vdots \\c_{n}+c_{n}=c_{n}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} c_ {1} + c_ {1} = c_ {1} \\\ vdots \\ c_ {n} + c_ {n} = c_ {n} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} c_ {1} + c_ {1} = c_ {1} \\\ vdots \\ c_ {n} + c_ {n} = c_ {n} \ end {cases}}}$

pentru care $c_{1}=\ldots =c_{n}=0$ ${\ displaystyle c_ {1} = \ ldots = c_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {1} = \ ldots = c_ {n} = 0}$ .

Vectorul nul trebuie să aparțină în mod necesar oricărui subset ne-gol al unui spațiu vectorial în care existența opusului este garantată și închiderea în ceea ce privește combinațiile liniare (un astfel de subset se numește subspatiu vectorial și se arată a fi la rândul său un vector spațial). În special, mulțimea care constă doar din vectorul nul este un spațiu vectorial (precum și spațiul vectorial de minimă cardinalitate posibilă): este un subespai al oricărui spațiu vectorial, iar dimensiunea sa este prin definiție 0.

Proprietăți în spații mai structurate

Dacă intră $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este definit ca un produs scalar nedegenerat sau hermitian $(\cdot |\cdot ):V\times V\to {\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle (\ cdot | \ cdot): V \ times V \ to {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle (\ cdot | \ cdot): V \ times V \ to {\ mathcal {K}}}$ , asa de

(\mathbf {v} |\mathbf {x} )=0\;\;\forall \mathbf {x} \in V\quad \iff \quad \mathbf {v} =\mathbf {0}

{\ displaystyle (\ mathbf {v} | \ mathbf {x}) = 0 \; \; \ forall \ mathbf {x} \ in V \ quad \ iff \ quad \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle (\ mathbf {v} | \ mathbf {x}) = 0 \; \; \ forall \ mathbf {x} \ in V \ quad \ iff \ quad \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}

.

Acest lucru rezultă din izomorfismul dintre orice spațiu vectorial și spațiul său dual (setul de funcționale liniare definite pe el). În acest sens, funcționalul nul corespunde vectorului nul prin izomorfism.

De sine $(V,\|\cdot \|)$ ${\ displaystyle (V, \ | \ cdot \ |)}$ ${\ displaystyle (V, \ | \ cdot \ |)}$ este un spațiu normat , apoi prin definiție

\|\mathbf {v} \|=0\quad \iff \quad \mathbf {v} =\mathbf {0}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {v} \ | = 0 \ quad \ iff \ quad \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {v} \ | = 0 \ quad \ iff \ quad \ mathbf {v} = \ mathbf {0}}

;

(acest lucru nu se aplică în spațiile semi-formate ).

În spațiile tridimensionale pe care este definit produsul vector , vectorul nul are proprietatea de a anula întotdeauna produsul; în plus, produsul dintre doi vectori diferiți de zero este vectorul nul dacă și numai dacă acești doi vectori sunt proporționali.

Exemple particulare

In spatiu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ (sau $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ mathbb C} ^ {n}$ ) vectorul nul reprezintă originea axelor de coordonate .

În spațiile funcțiilor (cu suma și multiplicarea prin scalar definite punctual) vectorul nul este funcția nulă, adică funcția care își trimite domeniul în $\{0\}$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$ $\ {0 \}$ .

In spatiu $M_{m,n}({\mathcal {K}})$ ${\ displaystyle M_ {m, n} ({\ mathcal {K}})}$ ${\ displaystyle M_ {m, n} ({\ mathcal {K}})}$ de matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ la coeficienți în domeniu ${\mathcal {K}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ , vectorul nul este matricea ale cărei elemente sunt toate zero.

Notă

^ Serge Lang , 37 de ani .

Bibliografie

S. Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri, 2009 [1970] , ISBN 978-88-339-5035-8 . .

Elemente conexe

[1] Serge Lang , 37 de ani .

[1]