Funcția theta Ramanujan

În matematică , funcția theta a lui Ramanujan generalizează forma funcțiilor theta ale lui Jacobi , păstrându-și în același timp proprietățile generale. În special, triplul produs al lui Jacobi oferă o descompunere a funcției theta a lui Ramanujan. Funcția poartă numele matematicianului indian Srinivasa Ramanujan .

Definiție

Funcția theta a lui Ramanujan este definită ca

f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2}

{\ displaystyle f (a, b) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a ^ {n (n + 1) / 2} \; b ^ {n (n-1) / 2 }}

{\ displaystyle f (a, b) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a ^ {n (n + 1) / 2} \; b ^ {n (n-1) / 2 }}

pentru $|ab|<1.$ ${\ displaystyle | ab | <1.}$ ${\ displaystyle | ab | <1.}$ Identitatea produsului triplu Jacobi prinde contur

f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty },

{\ displaystyle f (a, b) = (- a; ab) _ {\ infty} \; (- b; ab) _ {\ infty} \; (ab; ab) _ {\ infty},}

{\ displaystyle f (a, b) = (- a; ab) _ {\ infty} \; (- b; ab) _ {\ infty} \; (ab; ab) _ {\ infty},}

unde expresia $(a;q)_{n}$ ${\ displaystyle (a; q) _ {n}}$ ${\ displaystyle (a; q) _ {n}}$ denotă simbolul q al lui Pochhammer . Printre identitățile care decurg din aceasta se numără

f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {(-q;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(-q^{2};q^{2})_{\infty }(q;q^{2})_{\infty }}},

{\ displaystyle f (q, q) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} = {\ frac {(-q; q ^ {2}) _ {\ infty} (q ^ {2}; q ^ {2}) _ {\ infty}} {(- q ^ {2}; q ^ {2}) _ {\ infty} (q; q ^ {2 }) _ {\ infty}}},}

{\ displaystyle f (q, q) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} = {\ frac {(-q; q ^ {2}) _ {\ infty} (q ^ {2}; q ^ {2}) _ {\ infty}} {(- q ^ {2}; q ^ {2}) _ {\ infty} (q; q ^ {2 }) _ {\ infty}}},}

f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={\frac {(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(q;q^{2})_{\infty }}}

{\ displaystyle f (q, q ^ {3}) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} q ^ {n (n + 1) / 2} = {\ frac {(q ^ {2} ; q ^ {2}) _ {\ infty}} {(q; q ^ {2}) _ {\ infty}}}}

{\ displaystyle f (q, q ^ {3}) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} q ^ {n (n + 1) / 2} = {\ frac {(q ^ {2} ; q ^ {2}) _ {\ infty}} {(q; q ^ {2}) _ {\ infty}}}}

Și

f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{\infty }.

{\ displaystyle f (-q, -q ^ {2}) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} q ^ {n (3n-1) / 2 } = (q; q) _ {\ infty}.}

{\ displaystyle f (-q, -q ^ {2}) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} q ^ {n (3n-1) / 2 } = (q; q) _ {\ infty}.}

Aceasta din urmă reprezintă funcția Euler , care este strâns legată de funcția eta a lui Dedekind .

Bibliografie

WN Bailey, Generalized Hypergeometric Series , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, nr. 32 , Cambridge University Press, Cambridge.
George Gasper și Mizan Rahman, Seria de bază hipergeometrică, ediția a doua , (2004), Enciclopedia matematicii și aplicațiile sale, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4 .

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Ramanujan Theta Functions in MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica