Identitatea produsului triplu Jacobi

În matematică , identitatea triplului produs al lui Jacobi este identitatea matematică :

\sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{m^{2}}z^{2m}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right)\left(1+x^{2n-1}z^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2n-1}}{z^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {m ^ {2}} z ^ {2m} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (1 -x ^ {2n} \ right) \ left (1 + x ^ {2n-1} z ^ {2} \ right) \ left (1 + {\ frac {x ^ {2n-1}} {z ^ { 2}}} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {m ^ {2}} z ^ {2m} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (1 -x ^ {2n} \ right) \ left (1 + x ^ {2n-1} z ^ {2} \ right) \ left (1 + {\ frac {x ^ {2n-1}} {z ^ { 2}}} \ dreapta)}

Pentru numerele complexe x și z , cu | x | <1 și z ≠ 0.

Identitatea este atribuită lui Karl Gustav Jacob Jacobi , care a dovedit-o în 1829 în lucrarea sa Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum . ^[1]

Această relație permite generalizarea altor rezultate, cum ar fi teorema numărului pentagonal al lui Euler , acesta fiind un caz special al identității produsului triplu al lui Jacobi.

Într-adevăr, luând $x=q^{3/2}$ ${\ displaystyle x = q ^ {3/2}}$ ${\ displaystyle x = q ^ {3/2}}$ Și $y^{2}=-{\sqrt {q}}$ ${\ displaystyle y ^ {2} = - {\ sqrt {q}}}$ ${\ displaystyle y ^ {2} = - {\ sqrt {q}}}$ , primesti

\phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.\,

{\ displaystyle \ phi (q) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {m} \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } (- 1) ^ {n} q ^ {(3n ^ {2} -n) / 2}. \,}

{\ displaystyle \ phi (q) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1-q ^ {m} \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } (- 1) ^ {n} q ^ {(3n ^ {2} -n) / 2}. \,}

Identitatea triplă a produsului Jacobi re-exprimă funcția theta a lui Jacobi sub formă de produs, scrisă în mod normal ca o serie :

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi in^{2}\tau +2\pi inz),

{\ displaystyle \ vartheta (z; \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp (\ pi in ^ {2} \ tau +2 \ pi inz),}

{\ displaystyle \ vartheta (z; \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp (\ pi in ^ {2} \ tau +2 \ pi inz),}

sau, la fel

\sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}},

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} y ^ {2n} x ^ {n ^ {2}},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} y ^ {2n} x ^ {n ^ {2}},}

plasarea $x=e^{i\pi \tau }$ ${\ displaystyle x = e ^ {i \ pi \ tau}}$ ${\ displaystyle x = e ^ {i \ pi \ tau}}$ Și $y=e^{i\pi z}.$ ${\ displaystyle y = e ^ {i \ pi z}.}$ ${\ displaystyle y = e ^ {i \ pi z}.}$

Folosind identitatea triplă a produsului Jacobi, putem scrie funcția theta ca produs

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right).

{\ displaystyle \ vartheta (z; \ tau) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1- \ exp (2m \ pi i \ tau) \ right) \ left (1+ \ exp ((2m-1) \ pi i \ tau +2 \ pi iz) \ right) \ left (1+ \ exp ((2m-1) \ pi i \ tau -2 \ pi iz) \ right).}

{\ displaystyle \ vartheta (z; \ tau) = \ prod _ {m = 1} ^ {\ infty} \ left (1- \ exp (2m \ pi i \ tau) \ right) \ left (1+ \ exp ((2m-1) \ pi i \ tau +2 \ pi iz) \ right) \ left (1+ \ exp ((2m-1) \ pi i \ tau -2 \ pi iz) \ right).}

Există mai multe moduri de exprimare a identității produsului triplu Jacobi. Acesta ia o formă concisă atunci când este exprimat în termeni de simboluri q ale lui Pochhammer .

\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n (n + 1) / 2} z ^ {n} = (q; q) _ {\ infty} \; (- 1 / z; q) _ {\ infty} \; (- zq; q) _ {\ infty},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n (n + 1) / 2} z ^ {n} = (q; q) _ {\ infty} \; (- 1 / z; q) _ {\ infty} \; (- zq; q) _ {\ infty},}

unde este $(a;q)_{\infty }$ ${\ displaystyle (a; q) _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle (a; q) _ {\ infty}}$ este simbolul q infinit al lui Pochhammer.

Forma pe care o ia atunci când este exprimată în funcție de funcția theta a lui Ramanujan este deosebit de elegantă:

f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty },

{\ displaystyle f (a, b) = (- a; ab) _ {\ infty} \; (- b; ab) _ {\ infty} \; (ab; ab) _ {\ infty},}

{\ displaystyle f (a, b) = (- a; ab) _ {\ infty} \; (- b; ab) _ {\ infty} \; (ab; ab) _ {\ infty},}

Unde $|ab|<1$ ${\ displaystyle | ab | <1}$ ${\ displaystyle | ab | <1}$ .

Demonstrație

Următoarea metodă poate fi utilizată pentru a dovedi identitatea produsului triplu Jacobi. Funcția f este definită ca:

f\left(z\right)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+x^{2n-1}z^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2n-1}}{z^{2}}}\right)

{\ displaystyle f \ left (z \ right) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + x ^ {2n-1} z ^ {2} \ right) \ left (1+ {\ frac {x ^ {2n-1}} {z ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle f \ left (z \ right) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + x ^ {2n-1} z ^ {2} \ right) \ left (1+ {\ frac {x ^ {2n-1}} {z ^ {2}}} \ right)}

și se observă că

{\frac {f\left(xz\right)}{f\left(z\right)}}={\frac {1}{xz^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {f \ left (xz \ right)} {f \ left (z \ right)}} = {\ frac {1} {xz ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {f \ left (xz \ right)} {f \ left (z \ right)}} = {\ frac {1} {xz ^ {2}}}}

prin urmare

xz^{2}f\left(xz\right)=f\left(z\right).

{\ displaystyle xz ^ {2} f \ left (xz \ right) = f \ left (z \ right).}

{\ displaystyle xz ^ {2} f \ left (xz \ right) = f \ left (z \ right).}

Prin urmare, definind funcția g ca

g\left(z\right)=f\left(z\right)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right)

{\ displaystyle g \ left (z \ right) = f \ left (z \ right) \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1-x ^ {2n} \ right)}

{\ displaystyle g \ left (z \ right) = f \ left (z \ right) \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1-x ^ {2n} \ right)}

g\left(xz\right)=f\left(xz\right)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right)

{\ displaystyle g \ left (xz \ right) = f \ left (xz \ right) \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1-x ^ {2n} \ right)}

{\ displaystyle g \ left (xz \ right) = f \ left (xz \ right) \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1-x ^ {2n} \ right)}

de la care

xz^{2}g\left(xz\right)=g\left(z\right)

{\ displaystyle xz ^ {2} g \ left (xz \ right) = g \ left (z \ right)}

{\ displaystyle xz ^ {2} g \ left (xz \ right) = g \ left (z \ right)}

funcția g poate fi dezvoltată într-o serie de puteri

g\left(z\right)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}

{\ displaystyle g \ left (z \ right) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {m} z ^ {2m}}

{\ displaystyle g \ left (z \ right) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {m} z ^ {2m}}

care trebuie să satisfacă

\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}=xz^{2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}\left(xz\right)^{2m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}x^{2m+1}z^{2m+2}

{\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {m} z ^ {2m} = xz ^ {2} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ { m} \ left (xz \ right) ^ {2m} = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {m} x ^ {2m + 1} z ^ {2m + 2}}

{\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {m} z ^ {2m} = xz ^ {2} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ { m} \ left (xz \ right) ^ {2m} = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {m} x ^ {2m + 1} z ^ {2m + 2}}

cu o modificare a indicelui m = m - 1 obținem

\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m}z^{2m}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{m-1}x^{2m-1}z^{2m}

{\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {m} z ^ {2m} = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {m-1} x ^ {2m-1} z ^ {2m}}

{\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {m} z ^ {2m} = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {m-1} x ^ {2m-1} z ^ {2m}}

de la care

a_{m}=a_{m-1}x^{2m-1}

{\ displaystyle a_ {m} = a_ {m-1} x ^ {2m-1}}

{\ displaystyle a_ {m} = a_ {m-1} x ^ {2m-1}}

asa de

a_{1}=a_{0}x

{\ displaystyle a_ {1} = a_ {0} x}

{\ displaystyle a_ {1} = a_ {0} x}

a_{2}=a_{1}x^{3}=a_{0}x^{1+3}=a_{0}x^{4}=a_{0}x^{2^{2}}

{\ displaystyle a_ {2} = a_ {1} x ^ {3} = a_ {0} x ^ {1 + 3} = a_ {0} x ^ {4} = a_ {0} x ^ {2 ^ { 2}}}

{\ displaystyle a_ {2} = a_ {1} x ^ {3} = a_ {0} x ^ {1 + 3} = a_ {0} x ^ {4} = a_ {0} x ^ {2 ^ { 2}}}

a_{3}=a_{2}x^{5}=a_{0}x^{5+4}=a_{0}x^{9}=a_{0}x^{3^{2}}

{\ displaystyle a_ {3} = a_ {2} x ^ {5} = a_ {0} x ^ {5 + 4} = a_ {0} x ^ {9} = a_ {0} x ^ {3 ^ { 2}}}

{\ displaystyle a_ {3} = a_ {2} x ^ {5} = a_ {0} x ^ {5 + 4} = a_ {0} x ^ {9} = a_ {0} x ^ {3 ^ { 2}}}

....

asa de

a_{m}=a_{0}x^{m^{2}}

{\ displaystyle a_ {m} = a_ {0} x ^ {m ^ {2}}}

{\ displaystyle a_ {m} = a_ {0} x ^ {m ^ {2}}}

reamintind definițiile lui f și g obținem produsul triplu Jacobi

\sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{m^{2}}z^{2m}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-x^{2n}\right)\left(1+x^{2n-1}z^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2n-1}}{z^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {m ^ {2}} z ^ {2m} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (1 -x ^ {2n} \ right) \ left (1 + x ^ {2n-1} z ^ {2} \ right) \ left (1 + {\ frac {x ^ {2n-1}} {z ^ { 2}}} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {m ^ {2}} z ^ {2m} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (1 -x ^ {2n} \ right) \ left (1 + x ^ {2n-1} z ^ {2} \ right) \ left (1 + {\ frac {x ^ {2n-1}} {z ^ { 2}}} \ dreapta)}

Notă

^ Remmert, R. (1998). Subiecte clasice în teoria funcțiilor complexe (pp. 28-30). New York: Springer.

Bibliografie

Tom M. Apostol (1976): Introducere în teoria numerelor analitice , Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Capitolul 14.8).
Peter J. Cameron, Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms , (1994) Cambridge University Press, ISBN 0-521-45761-0

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Remmert, R. (1998). Subiecte clasice în teoria funcțiilor complexe (pp. 28-30). New York: Springer.

[1]