Teorema numărului pentagonal

În matematică , teorema numărului pentagonal stabilește o relație între reprezentarea în serie a funcției Euler și cea sub forma unui produs.

Teorema în sine se datorează lui Euler și poate fi considerată ca un caz particular al triplului produs al lui Jacobi .

Teorema afirmă că:

\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-x^{k}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{n}x^{\left(3n^{2}+n\right)/2}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n}\left(x^{(3n^{2}+n)/2}+x^{(3n^{2}-n)/2}\right)

{\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (1-x ^ {k} \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left (-1 \ right) ^ {n} x ^ {\ left (3n ^ {2} + n \ right) / 2} = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (-1 \ right) ^ {n} \ left (x ^ {(3n ^ {2} + n) / 2} + x ^ {(3n ^ {2} -n) / 2} \ right)}

\ prod _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} \ left (1-x ^ {k} \ right) = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} \ left (-1 \ right) ^ {n} x ^ {{\ left (3n ^ {2} + n \ right) / 2}} = 1+ \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} \ left (-1 \ right) ^ {n} \ left (x ^ {{(3n ^ {2} + n) / 2}} + x ^ {{(3n ^ {2} -n) / 2}} \ dreapta)

sau, cu alte cuvinte:

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\times \cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots

{\ displaystyle (1-x) (1-x ^ {2}) (1-x ^ {3}) \ times \ cdots = 1-xx ^ {2} + x ^ {5} + x ^ {7} -x ^ {12} -x ^ {15} + x ^ {22} + x ^ {26} - \ cdots}

{\ displaystyle (1-x) (1-x ^ {2}) (1-x ^ {3}) \ times \ cdots = 1-xx ^ {2} + x ^ {5} + x ^ {7} -x ^ {12} -x ^ {15} + x ^ {22} + x ^ {26} - \ cdots}

Numele derivă din faptul că exponenții 1, 2, 5, 7, 12, ... în termenul potrivit, de forma:

\left(3n^{2}+n\right)/2

{\ displaystyle \ left (3n ^ {2} + n \ right) / 2}

\ left (3n ^ {2} + n \ right) / 2

sunt numere pentagonale generalizate.

Dacă considerăm seria ca o serie de putere, raza sa de convergență este egală cu 1.

Dacă problema convergenței este neglijată, teorema rămâne valabilă ca o afirmație privind seriile formale de putere .

linkuri externe

( EN ) Euler și teorema numărului pentagonal , pe front.math.ucdavis.edu . Adus la 17 noiembrie 2005 (arhivat din original la 22 aprilie 2008) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică