Funcția Euler (formă modulară)

Modulul lui φ în planul complex, colorat astfel încât negru = 0, roșu = 4

În matematică , funcția Euler , de către matematicianul elvețian Leonhard Euler , este definită ca

\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),

{\ displaystyle \ phi (q) = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {k}),}

{\ displaystyle \ phi (q) = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {k}),}

pentru | q | <1. Este un exemplu de serie q , o formă modulară și oferă un exemplu tipic al relației dintre combinatorică și analiză complexă .

Proprietate

Coeficientul $p(k)$ ${\ displaystyle p (k)}$ ${\ displaystyle p (k)}$ în seria formală extinderea puterilor de $1/\phi (q)$ ${\ displaystyle 1 / \ phi (q)}$ ${\ displaystyle 1 / \ phi (q)}$ , coincide cu numărul de partiții ale lui k . În simboluri,

{\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k},

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ phi (q)}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (k) q ^ {k},}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ phi (q)}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} p (k) q ^ {k},}

unde este $p(k)$ ${\ displaystyle p (k)}$ ${\ displaystyle p (k)}$ este funcția de partiție a lui k .

Mai mult, teorema numărului pentagonal al lui Euler poate fi rescrisă ca

\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2},

{\ displaystyle \ phi (q) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} q ^ {(3n ^ {2} -n) / 2},}

{\ displaystyle \ phi (q) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} q ^ {(3n ^ {2} -n) / 2},}

și, în special, rețineți că $(3n^{2}-n)/2$ ${\ displaystyle (3n ^ {2} -n) / 2}$ ${\ displaystyle (3n ^ {2} -n) / 2}$ este un număr pentagonal .

Funcția Euler este legată de funcția eta Dedekind printr-o identitate Ramanujan în felul următor:

\phi (q)=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau ),

{\ displaystyle \ phi (q) = q ^ {- {\ frac {1} {24}}} \ eta (\ tau),}

{\ displaystyle \ phi (q) = q ^ {- {\ frac {1} {24}}} \ eta (\ tau),}

unde este $q=e^{2\pi i\tau }$ ${\ displaystyle q = e ^ {2 \ pi i \ tau}}$ ${\ displaystyle q = e ^ {2 \ pi i \ tau}}$ și ambele funcții au simetria grupului modular .

Bibliografie

Apostol, Tom M. (1976), Introducere în teoria numerelor analitice , Texte de licență în matematică, New York-Heidelberg: Springer Verlag , MR 0434929 , ISBN 978-0-387-90163-3

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica