Grup modular

În matematică , grupul modular $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este un subiect fundamental de studiu în teoria numerelor , geometrie , algebră și multe alte domenii ale matematicii. Grupul modular poate fi reprezentat ca un grup de transformări geometrice sau ca un grup de matrice .

Definiție

Grupul modular $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este grupul transformărilor liniare fracționate ale semiplanului complex superior care au forma

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}

{\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}}}

{\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}}}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ sunt numere întregi și $ad-bc=1$ ${\ displaystyle ad-bc = 1}$ ${\ displaystyle ad-bc = 1}$ . Operația de grup este compoziția funcțiilor . Elementele grupului se numesc transformări modulare .

Acest grup de transformări este izomorf pentru grupul liniar special $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {Z})}$ citat cu centrul său $\{I,-I\}$ ${\ displaystyle \ {I, -I \}}$ ${\ displaystyle \ {I, -I \}}$ , unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este matricea identității . Acest lucru este echivalent cu a spune că grupul modular este izomorf cu grupul proiectiv liniar special $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {PSL} (2, \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {PSL} (2, \ mathbb {Z})}$ , care constă din matrici

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ Și $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ sunt întregi, $ad-bc=1$ ${\ displaystyle ad-bc = 1}$ ${\ displaystyle ad-bc = 1}$ și matrici $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $-A$ ${\ displaystyle -A}$ ${\ displaystyle -A}$ sunt considerați egali.

Prezentare

Transformările

S\colon z\mapsto -{\frac {1}{z}},

{\ displaystyle S \ colon z \ mapsto - {\ frac {1} {z}},}

{\ displaystyle S \ colon z \ mapsto - {\ frac {1} {z}},}

T\colon z\mapsto z+1,

{\ displaystyle T \ colon z \ mapsto z + 1,}

{\ displaystyle T \ colon z \ mapsto z + 1,}

generează grupul modular, adică fiecare element al $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ poate fi scris (într-un mod non-unic) ca compoziție a puterilor de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ .

Geometric $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ reprezintă inversiunea față de circumferința unității urmată de reflecție față de linia dreaptă $\mathrm {Re} (z)=0$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (z) = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (z) = 0}$ , in timp ce $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ reprezintă traducerea unității în dreapta.

Generatoarele $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ îndepliniți relații $S^{2}=1$ ${\ displaystyle S ^ {2} = 1}$ $S ^ {2} = 1$ Și $(ST)^{3}=1$ ${\ displaystyle (ST) ^ {3} = 1}$ ${\ displaystyle (ST) ^ {3} = 1}$ . Se arată ^[1] că acestea sunt un set complet de relații, astfel încât grupul modular are prezentare