Serii divergente

În matematică , o serie divergentă este o serie infinită care nu este nici convergentă, nici nedeterminată. Cu alte cuvinte, succesiunea sumelor parțiale divergă, adică: pentru fiecare $M>0$ ${\ displaystyle M> 0}$ $M> 0$ există un indice $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ astfel încât, pentru fiecare $n\geq m$ ${\ displaystyle n \ geq m}$ $n \ geq m$ , $|S_{n}|>M$ ${\ displaystyle | S_ {n} |> M}$ $| S_ {n} |> M$ , Unde $\{S_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {S_ {n} \}}$ $\ {S_ {n} \}$ este tocmai succesiunea sumelor parțiale.

Dacă o serie converge, termenul general al seriei trebuie să tindă spre 0 . Astfel, o serie în care termenul general tinde spre o valoare diferită de 0 divergă.

Nu toate seriile ale căror termeni tind să 0 converg. Cel mai simplu exemplu de serie divergentă este seria armonică .

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.

{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}}.}

1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}}.

Divergența sa a fost demonstrată de matematicianul medieval Nicole Oresme .

În domeniile specializate ale matematicii, valorile pot fi atribuite anumitor serii divergente. Metoda însumării este o funcție parțială care asociază o valoare cu seria. De exemplu, suma lui Cesàro atribuie seriei Grandi

$1-1+1-1+\ldots$ ${\ displaystyle 1-1 + 1-1 + \ ldots}$ ${\ displaystyle 1-1 + 1-1 + \ ldots}$

valoarea ^_1/2. Metoda utilizează media sumelor parțiale. Alte metode pot utiliza continuări analitice , regularizări și renormalizări .

Seria armonică generalizată

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {\ alpha}}}}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {\ alpha}}}

cu

\ \alpha \in \mathbb {R}

{\ displaystyle \ \ alpha \ in \ mathbb {R}}

\ \ alpha \ in \ mathbb {R}

divergă pentru

\alpha \leq 1

{\ displaystyle \ alpha \ leq 1}

\ alpha \ leq 1

și converge pentru

\ \alpha >1

{\ displaystyle \ \ alpha> 1}

\ \ alpha> 1

.

Istorie

Înainte de secolul al XIX-lea, seriile divergente erau utilizate pe scară largă de Euler și de alții, dar deseori duceau la rezultate confuze sau contradictorii. Ideea lui Euler că orice serie divergentă ar putea avea o sumă naturală, fără să fi definit încă ce este o astfel de serie, era încă o problemă. Cauchy dăduse o definiție riguroasă a celor convergente ( criteriul de convergență Cauchy ), mult timp seria divergentă a rămas exclusă din panorama matematică. Au reapărut când Poincaré și-a prezentat lucrarea despre seriile asimptotice. În 1890, Cesàro a definit în mod explicit o metodă. În anii următori, mulți alți matematicieni au dat alte definiții, nu întotdeauna compatibile: definiții diferite ar putea duce, de fapt, la rezultate diferite.

Notă

( EN ) Carl Brezinski și Redivo Zaglia, Metode de extrapolare. Teorie și practică , Olanda de Nord, 1991, ISBN 978-04-44-88814-3 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică