Formula inversiunii Möbius
În matematică și în special în teoria numerelor , formula de inversare a lui Möbius leagă două funcții aritmetice , dintre care una este suma divizorilor celeilalte, prin funcția Möbius . A fost introdus de August Ferdinand Möbius în secolul al XIX-lea .
Se afirmă că dați două funcții aritmetice f și g , egalitate
este valabil dacă și numai dacă aveți
unde suma este extinsă la toți divizorii lui n și este funcția Möbius.
Formula inversiunii Möbius poate fi generalizată la funcții variabile complexe .
Formula de convoluție și inversiune
Formula poate fi rescrisă prin operația de convoluție Dirichlet *: dacă g și f sunt funcții aritmetice atunci:
dacă și numai dacă:
unde este pentru fiecare n .
Acest punct de vedere oferă o modalitate simplă de a ajunge la dovadă: este suficient să dovedim asta și N 0 sunt inversul celuilalt în funcție de operația de convoluție, adică aceea
Prima egalitate este pur și simplu definiția convoluției; al doilea se deduce cu ușurință din faptul că doar sumele divizoare ale lui n fără pătrate contribuie la însumare: dacă n are m factori primi distincti, contribuția la însumarea de către divizorii lui n fără pătrate cu j factori primi diferiți este , prin urmare:
În acest moment este suficient să observăm că dacă , apoi folosind convoluția pentru funcția Mobius pe ambele părți pe care le avem
asta este teza. În ultimul pas, exploatăm faptul că funcția care este 1 pentru n = 1 și 0 pentru n > 1, complicată cu fiecare funcție f , dă același f .
A doua formulă de inversiune Mobius
Fie h o funcție aritmetică multiplicativă; asa de:
dacă și numai dacă:
unde este este inversul .
Bibliografie
- Tom M. Apostol (1976): Introducere în teoria numerelor analitice , Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 , (Capitolul 2.7)
linkuri externe
- ( EN ) Formula de inversiune Möbius , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.