Aproximare născută

În teoria împrăștierii și în special în mecanica cuantică , aproximarea Born constă în luarea câmpului incident în locul câmpului total ca câmp de ghidare în fiecare punct al regiunii în care acționează potențialul dispersiv. Este o metodă perturbativă , ale cărei rezultate sunt valabile dacă câmpul difuz este mic în comparație cu incidentul din interiorul regiunii de dispersie.

De exemplu, împrăștierea radar a undelor radio de către o coloană de polistiren poate fi aproximată presupunând că fiecare parte a plasticului este polarizată de același câmp electric care ar fi prezent în punctul fără coloană și apoi calculând împrăștierea ca integrală a radiația.pe distribuția polarizărilor.

Aproximare născută la ecuația Lippmann-Schwinger

Ecuația Lippmann-Schwinger pentru starea de împrăștiere $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle}$ cu moment $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și condițiile limită de ieșire (+) sau de intrare (-) sunt:

\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\varepsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle

{\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle = \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle + G ^ {\ circ} (E_ {p} \ pm i \ varepsilon) V \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle}

{\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle = \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle + G ^ {\ circ} (E_ {p} \ pm i \ varepsilon) V \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle}

unde este $G^{\circ }$ ${\ displaystyle G ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle G ^ {\ circ}}$ este funcția lui Green pentru particula liberă , $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ este o cantitate infinitesimală și pozitivă e $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este potențialul de interacțiune. $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle}$ este soluția gratuită corespunzătoare numită uneori câmpul incident. Factorul $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle}$ pe partea dreaptă se numește câmp de ghidare .

Cu aproximarea Born această ecuație devine:

\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\varepsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle

{\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle = \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle + G ^ {\ circ} (E_ {p} \ pm i \ varepsilon) V \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle}

{\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle = \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle + G ^ {\ circ} (E_ {p} \ pm i \ varepsilon) V \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle}

ceea ce este mult mai ușor de rezolvat deoarece cel de-al doilea membru nu mai depinde de starea necunoscută $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle}$ .

Soluția obținută este punctul de plecare al seriei Born.

Aproximarea lui Born la amplitudinea de împrăștiere

Folosind funcția verde liberă de ieșire pentru o particulă de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ în spațiu de coordonate,

G^{(+)}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {e^{+ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}

{\ displaystyle G ^ {(+)} (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') = - {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} {\ frac {e ^ {+ ik | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}}}

{\ displaystyle G ^ {(+)} (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ') = - {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} {\ frac {e ^ {+ ik | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}}}

aproximarea Born la amplitudinea de împrăștiere poate fi extrasă din aproximarea Born la ecuația Lippmann - Schwinger de mai sus,

f_{\mathrm {Born} }(\theta )=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{4\pi }}\int d^{3}re^{i\mathbf {q} \mathbf {r} }V(\mathbf {r} )\;,

{\ displaystyle f _ {\ mathrm {Born}} (\ theta) = - {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int d ^ { 3} re ^ {i \ mathbf {q} \ mathbf {r}} V (\ mathbf {r}) \;,}

{\ displaystyle f _ {\ mathrm {Born}} (\ theta) = - {\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int d ^ { 3} re ^ {i \ mathbf {q} \ mathbf {r}} V (\ mathbf {r}) \;,}

unde este $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ este momentul liniar transferat.

Aplicații

Aproximarea Born este utilizată în contexte fizice destul de diferite. În împrăștierea neutronilor , aproximarea Born de ordinul întâi este aproape întotdeauna adecvată, cu excepția fenomenelor de optică neutronică, cum ar fi reflexia internă totală într-un ghid de neutroni sau împrăștierea neutronică cu unghi mic (GISANS).

Aproximarea Born-undă distorsionată

Aproximarea Born este mai simplă atunci când valurile sunt incidente $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle}$ sunt valuri plate. Adică, mediul difuz este tratat ca o perturbare a spațiului liber sau a unui mediu omogen.

În aproximarea Born la undele distorsionate (în engleză , distorsionate wave Born approximation sau DWBA) undele incidente sunt soluții $\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {1}} ^ {(\ pm)} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {1}} ^ {(\ pm)} \ rangle}$ dintr-o parte $V^{1}$ ${\ displaystyle V ^ {1}}$ ${\ displaystyle V ^ {1}}$ a problemei inițiale unde potențialul este dat de $V=V^{1}+V^{2}$ ${\ displaystyle V = V ^ {1} + V ^ {2}}$ ${\ displaystyle V = V ^ {1} + V ^ {2}}$ care este tratat cu alte metode, atât analitice, cât și numerice. De aici și interacțiunea de interes $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este descompus într-o pertubare $V^{2}$ ${\ displaystyle V ^ {2}}$ ${\ displaystyle V ^ {2}}$ a unui sistem $V^{1}$ ${\ displaystyle V ^ {1}}$ ${\ displaystyle V ^ {1}}$ ale căror soluții sunt disponibile analitic sau prin alte metode.

Pentru reacțiile nucleare sunt utilizate modele numerice de unde optice.

Pentru împrăștierea particulelor încărcate de particule încărcate, se utilizează soluțiile analitice de împrăștiere Coulomb. Aceasta dă ecuația inițială:

\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i0)V^{1}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle

{\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {1}} ^ {(\ pm)} \ rangle = \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle + G ^ {\ circ} (E_ {p} \ pm i0) V ^ {1} \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {1}} ^ {(\ pm)} \ rangle }

{\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {1}} ^ {(\ pm)} \ rangle = \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {\ circ}} \ rangle + G ^ {\ circ} (E_ {p} \ pm i0) V ^ {1} \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {1}} ^ {(\ pm)} \ rangle }

și cu aproximarea Born obținem:

\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle +G^{1}(E_{p}\pm i0)V^{2}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle

{\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle = \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {1}} ^ {(\ pm )} \ rangle + G ^ {1} (E_ {p} \ pm i0) V ^ {2} \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {1}} ^ {(\ pm)} \ rangle}

{\ displaystyle \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {(\ pm)}} \ rangle = \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {1}} ^ {(\ pm )} \ rangle + G ^ {1} (E_ {p} \ pm i0) V ^ {2} \ vert {\ Psi _ {\ mathbf {p}} ^ {1}} ^ {(\ pm)} \ rangle}

Alte aplicații includ bremsstrahlung și efectul fotoelectric .

Notă

Bibliografie

Sakurai, JJ, Modern Quatistic Mechanics , Addison Wesley, 1996, ISBN 88-08-12706-0 .
Wu și Ohmura, Teoria cuantică a împrăștierii , Prentice Hall, 1962
( EN ) „O metodă hibridă bazată pe reciprocitate pentru calcularea difracției prin tăișuri” David R. Ingham, IEEE Trans. Antene Propagat. , 43 nr. 11, noiembrie 1995, pp. 1173–82.

Elemente conexe

Seria Dyson

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica