Ecuația Lippmann-Schwinger

În mecanica cuantică , ecuația Lippmann-Schwinger descrie fenomene de împrăștiere . Ecuația este:

|\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\varepsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .

{\ displaystyle | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} {E-H_ {0} \ pm i \ varepsilon}} V | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle.}

{\ displaystyle | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} {E-H_ {0} \ pm i \ varepsilon}} V | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle.}

Această ecuație este numită în onoarea lui Bernard A. Lippmann și Julian Schwinger . ^[1]

Derivare

Să presupunem că hamiltonienul unui sistem poate fi scris ca:

H=H_{0}+V

{\ displaystyle H = H_ {0} + V}

{\ displaystyle H = H_ {0} + V}

unde V este potențialul de interacțiune și H ₀ este Hamiltonianul liber (sau mai general, un Hamiltonian cu vectori proprii cunoscuți). De exemplu, în mecanica cuantică nerelativistă, H ₀ poate fi:

H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}.

{\ displaystyle H_ {0} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}.}

{\ displaystyle H_ {0} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}.}

Cerem ca nivelurile de energie (spectrul) E _α ale stărilor staționare ale sistemului descrise de H și H _{0 să} fie identice. Adică, avem nevoie ca o valoare proprie a lui H _{0 să} fie, de asemenea, o valoare proprie a lui H.

În special pentru un autostat $|\phi \rangle$ ${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$ din $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ avem:

H_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle .

{\ displaystyle H_ {0} | \ phi \ rangle = E | \ phi \ rangle.}

{\ displaystyle H_ {0} | \ phi \ rangle = E | \ phi \ rangle.}

Acum, dacă adăugați interacțiunea $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ecuația Schrodinger devine:

\left(H_{0}+V\right)|\psi \rangle =E|\psi \rangle .

{\ displaystyle \ left (H_ {0} + V \ right) | \ psi \ rangle = E | \ psi \ rangle.}

{\ displaystyle \ left (H_ {0} + V \ right) | \ psi \ rangle = E | \ psi \ rangle.}

Acum luați în considerare teorema Hellmann-Feynman , care impune ca valorile proprii ale energiei să varieze continuu cu variații continue ale hamiltonienului. Prin urmare, vrem asta $|\psi \rangle \to |\phi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ to | \ phi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ to | \ phi \ rangle}$ cand $V\to 0$ ${\ displaystyle V \ to 0}$ ${\ displaystyle V \ to 0}$ .

O soluție posibilă este:

|\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}}}V|\psi \rangle .

{\ displaystyle | \ psi \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} {E-H_ {0}}} V | \ psi \ rangle.}

{\ displaystyle | \ psi \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} {E-H_ {0}}} V | \ psi \ rangle.}

in orice caz $(E-H_{0})$ ${\ displaystyle (E-H_ {0})}$ ${\ displaystyle (E-H_ {0})}$ este singular din moment ce $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este valoarea proprie a $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ .

Această singularitate poate fi eliminată prin adăugarea unei mărimi complexe infinitesimale (o procedură de regularizare a cărei semnificație poate fi clarificată prin studierea teoriei distribuțiilor ) obținând:

|\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\varepsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .

{\ displaystyle | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} {E-H_ {0} \ pm i \ varepsilon}} V | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle.}

{\ displaystyle | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle = | \ phi \ rangle + {\ frac {1} {E-H_ {0} \ pm i \ varepsilon}} V | \ psi ^ {(\ pm)} \ rangle.}

Interpretări ca stări inițiale și finale

Matricea S

În formularea matricei S a fizicii particulelor , la care au fost aduse numeroase contribuții de către John Archibald Wheeler , toate procesele fizice sunt modelate în conformitate cu următoarea paradigmă.

Începe cu o stare care nu interacționează cu multe particule din trecutul îndepărtat (adică $t\to -\infty$ ${\ displaystyle t \ to - \ infty}$ ${\ displaystyle t \ to - \ infty}$ ). Faptul că nu interacționează nu înseamnă că toate forțele au fost oprite, ci că pur și simplu luăm în considerare doar partea H ₀ a hamiltonienului care are aceleași stări legate ca și Hamiltonianul total H. Starea inițială se numește starea „primită”. Intuitiv, acestea sunt stări legate care sunt suficient de separate pentru a neglija interacțiunile lor reciproce.

Ideea este că orice proces fizic pe care se încearcă să-l studieze poate fi modelat ca un proces de împrăștiere a acestor stări bine separate. Acest proces este descris de H Hamiltonian total, dar pentru perioade destul de mari (adică când $t\to +\infty$ ${\ displaystyle t \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle t \ to + \ infty}$ ) sistemul va fi în noi stări legate și, prin urmare, într-o nouă stare care nu interacționează, care se numește starea „de ieșire”.

Această abordare permite calcularea probabilităților proceselor observate în acceleratoarele de particule .

Conexiunea la ecuația Lippmann - Schwinger

Intuitiv, funcțiile proprii s-au schimbat ușor $\psi ^{(\pm )}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {(\ pm)}}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {(\ pm)}}$ din totalul H Hamiltonian sunt stările de intrare și ieșire. The $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ sunt stări care nu interacționează, care seamănă cu stările „în” și „în afară” din trecutul infinit și viitorul infinit.

Notă

^ Phys. Rev. 79, p. 469, 1950

Bibliografie

Jun John Sakurai, 2.2 , în Mecanica cuantică modernă , Zanichelli, februarie 1990, ISBN 88-08-12706-0 .
Weinberg, S., The Quantum Theory of Fields , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-67053-5 .

Elemente conexe

Ecuația Bethe-Salpeter

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Phys. Rev. 79, p. 469, 1950

[1]