Rețea reciprocă

În geometrie și cristalografie , rețeaua reciprocă a rețelei Bravais este un set de vectori $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ care generează o rețea Bravais în spațiul momentelor. Unda plană al cărei vector de undă este $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ are aceeași periodicitate ca grila de pornire.

Definiție

Să luăm în considerare un set de puncte $\mathbf {R} \$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} \}$ care constituie o rețea Bravais și o undă plană definită de $e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\$ ${\ displaystyle e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \}$ . O astfel de undă plană pentru unele valori ale $\mathbf {k} \$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} \}$ are periodicitatea zăbrelei Bravais. Ansamblul vectorilor de undă $\mathbf {K} \$ ${\ displaystyle \ mathbf {K} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K} \}$ descrierea undelor plane cu periodicitatea unei rețele Bravais date se numește rețea reciprocă. Din punct de vedere algebric, această condiție corespunde scrierii:

e^{i\mathbf {K} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} )}=e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }

{\ displaystyle e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot (\ mathbf {r} + \ mathbf {R})} = e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {r}}}

{\ displaystyle e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot (\ mathbf {r} + \ mathbf {R})} = e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {r}}}

Această relație trebuie să fie valabilă pentru orice $\mathbf {r} \$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \}$ rezultă că setul de vectori al rețelei reciproce satisface relația:

e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1

{\ displaystyle e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {R}} = 1}

{\ displaystyle e ^ {i \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {R}} = 1}

pentru toate punctele R ale rețelei Bravais.

Putem asocia în mod unic o rețea reciprocă fiecărei rețele Bravais. Rețeaua Bravais care determină o anumită rețea reciprocă este adesea numită rețea directă , atunci când este considerată împreună cu reciprocitatea sa. Rețeaua reciprocă este, de asemenea, o rețea Bravais în spațiul vectorilor de undă. Rețeaua reciprocă a rețelei reciproce este rețeaua originală Bravais.

Deoarece rețeaua reciprocă este o rețea Bravais, putem scrie din punct de vedere algebric că:

\mathbf {K} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}

{\ displaystyle \ mathbf {K} = m_ {1} \ mathbf {b} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {b} _ {2} + m_ {3} \ mathbf {b} _ {3} }

{\ displaystyle \ mathbf {K} = m_ {1} \ mathbf {b} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {b} _ {2} + m_ {3} \ mathbf {b} _ {3} }

unde este $m_{i}\$ ${\ displaystyle m_ {i} \}$ ${\ displaystyle m_ {i} \}$ sunt numere întregi și $\mathbf {b} _{i}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \}$ sunt vectorii primitivi ai rețelei reciproce. Vectorii rețelei reciproce au dimensiunea unuia ${\text{lunghezza}}^{-1}\$ ${\ displaystyle {\ text {length}} ^ {- 1} \}$ ${\ displaystyle {\ text {length}} ^ {- 1} \}$ .

Pentru o rețea tridimensională infinită definită de vectorii săi primitivi $(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {a_ {1}}, \ mathbf {a_ {2}}, \ mathbf {a_ {3}})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {a_ {1}}, \ mathbf {a_ {2}}, \ mathbf {a_ {3}})}$ , (care nu sunt unice) există un algoritm simplu care permite derivarea vectorilor primitivi ai spațiului reciproc:

\mathbf {b_{1}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {1}} = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf {a_ {2}} \ times \ mathbf {a_ {3}}} {\ mathbf {a_ {1}} \ cdot ( \ mathbf {a_ {2}} \ times \ mathbf {a_ {3}})}}}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {1}} = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf {a_ {2}} \ times \ mathbf {a_ {3}}} {\ mathbf {a_ {1}} \ cdot ( \ mathbf {a_ {2}} \ times \ mathbf {a_ {3}})}}}

\mathbf {b_{2}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{3}} \times \mathbf {a_{1}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {2}} = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf {a_ {3}} \ times \ mathbf {a_ {1}}} {\ mathbf {a_ {1}} \ cdot ( \ mathbf {a_ {2}} \ times \ mathbf {a_ {3}})}}}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {2}} = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf {a_ {3}} \ times \ mathbf {a_ {1}}} {\ mathbf {a_ {1}} \ cdot ( \ mathbf {a_ {2}} \ times \ mathbf {a_ {3}})}}}

\mathbf {b_{3}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{1}} \times \mathbf {a_{2}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}.

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {3}} = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf {a_ {1}} \ times \ mathbf {a_ {2}}} {\ mathbf {a_ {1}} \ cdot ( \ mathbf {a_ {2}} \ times \ mathbf {a_ {3}})}}.}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {3}} = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf {a_ {1}} \ times \ mathbf {a_ {2}}} {\ mathbf {a_ {1}} \ cdot ( \ mathbf {a_ {2}} \ times \ mathbf {a_ {3}})}}.}

Vectorii de rețea reciprocă sunt legați de familiile planului de rețea .

Exemple de rețele reciproce

Cubic simplu

Dacă sunt aleși ca vectori primitivi ai spațiului direct

\mathbf {a_{1}} =a\mathbf {i} \qquad \mathbf {a_{2}} =a\mathbf {j} \qquad \mathbf {a_{3}} =a\mathbf {k}

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {1}} = a \ mathbf {i} \ qquad \ mathbf {a_ {2}} = a \ mathbf {j} \ qquad \ mathbf {a_ {3}} = a \ mathbf { k}}

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {1}} = a \ mathbf {i} \ qquad \ mathbf {a_ {2}} = a \ mathbf {j} \ qquad \ mathbf {a_ {3}} = a \ mathbf { k}}

Atunci fiind:

V=\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )=a^{3}\

{\ displaystyle V = \ mathbf {a_ {1}} \ cdot (\ mathbf {a_ {2}} \ times \ mathbf {a_ {3}}) = a ^ {3} \}

{\ displaystyle V = \ mathbf {a_ {1}} \ cdot (\ mathbf {a_ {2}} \ times \ mathbf {a_ {3}}) = a ^ {3} \}

vectorii primitivi ai spațiului reciproc sunt:

\mathbf {b_{1}} ={\frac {2\pi }{a}}\mathbf {i} \qquad \mathbf {b_{2}} ={\frac {2\pi }{a}}\mathbf {j} \qquad \mathbf {b_{3}} ={\frac {2\pi }{a}}\mathbf {k}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {1}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} \ mathbf {i} \ qquad \ mathbf {b_ {2}} = {\ frac {2 \ pi} {a }} \ mathbf {j} \ qquad \ mathbf {b_ {3}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} \ mathbf {k}}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {1}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} \ mathbf {i} \ qquad \ mathbf {b_ {2}} = {\ frac {2 \ pi} {a }} \ mathbf {j} \ qquad \ mathbf {b_ {3}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} \ mathbf {k}}

Adică rețeaua reciprocă este cubică la fel de simplă ca rețeaua spațiului direct, dar cu un pas de rețea $2\pi /a\$ ${\ displaystyle 2 \ pi / a \}$ ${\ displaystyle 2 \ pi / a \}$ .

Rețea cubică centrată pe corp

Dacă alegem ca vectori primitivi ai spațiului direct (această alegere este cea mai simetrică):

\mathbf {a_{1}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} -\mathbf {i} )\

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {1}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {j} + \ mathbf {k} - \ mathbf {i}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {1}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {j} + \ mathbf {k} - \ mathbf {i}) \}

\mathbf {a_{2}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} -\mathbf {j} )\

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {2}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {k} + \ mathbf {i} - \ mathbf {j}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {2}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {k} + \ mathbf {i} - \ mathbf {j}) \}

\mathbf {a_{3}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} -\mathbf {k} )\

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {3}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {i} + \ mathbf {j} - \ mathbf {k}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {3}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {i} + \ mathbf {j} - \ mathbf {k}) \}

în acest caz vectorii primitivi ai rețelei reciproce vor fi:

\mathbf {b_{1}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} )\

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {1}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {j} + \ mathbf {k}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {1}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {j} + \ mathbf {k}) \}

\mathbf {b_{2}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} )\

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {2}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {k} + \ mathbf {i}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {2}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {k} + \ mathbf {i}) \}

\mathbf {b_{3}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} )\

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {3}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {i} + \ mathbf {j}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {3}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {i} + \ mathbf {j}) \}

Rețea cubică centrată pe față

Dacă alegem ca vectori primitivi ai spațiului direct:

\mathbf {a_{1}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} )\

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {1}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {j} + \ mathbf {k}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {1}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {j} + \ mathbf {k}) \}

\mathbf {a_{2}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} )\

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {2}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {k} + \ mathbf {i}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {2}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {k} + \ mathbf {i}) \}

\mathbf {a_{3}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} )\

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {3}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {i} + \ mathbf {j}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {a_ {3}} = {\ frac {a} {2}} (\ mathbf {i} + \ mathbf {j}) \}

în acest caz vectorii primitivi ai rețelei reciproce vor fi:

\mathbf {b_{1}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} -\mathbf {i} )\

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {1}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {j} + \ mathbf {k} - \ mathbf {i}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {1}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {j} + \ mathbf {k} - \ mathbf {i}) \}

\mathbf {b_{2}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} -\mathbf {j} )\

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {2}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {k} + \ mathbf {i} - \ mathbf {j}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {2}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {k} + \ mathbf {i} - \ mathbf {j}) \}

\mathbf {b_{3}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} -\mathbf {k} )\

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {3}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {i} + \ mathbf {j} - \ mathbf {k}) \}

{\ displaystyle \ mathbf {b_ {3}} = {\ frac {2 \ pi} {a}} (\ mathbf {i} + \ mathbf {j} - \ mathbf {k}) \}

Adică rețeaua reciprocă a fcc este bcc, în timp ce a bcc este fcc, ambele cu pas reticular $4\pi /a\$ ${\ displaystyle 4 \ pi / a \}$ ${\ displaystyle 4 \ pi / a \}$ .