Avioane de fermă

Diverse planuri de rețea ale unei rețele cubice

În cristalografie , un plan de rețea este un plan care conține cel puțin trei puncte necoliniare ale rețelei Bravais . Datorită dimensiunii infinite a cristalului, fiecare dintre aceste planuri conține automat puncte infinite ale rețelei tridimensionale și constituie o rețea bidimensională Bravais. O familie de planuri de rețea este definită ca un set de planuri de rețea paralele și la fel de distanțate, care conține, prin urmare, toate punctele rețelei tridimensionale Bravais. În figură sunt prezentate schematic câteva planuri de rețea ale unei rețele cubice.

O familie de planuri de rețea se caracterizează prin distanța dintre planuri $d\$ ${\ displaystyle d \}$ $d \$ și din vectorul unitar normal ${\hat {n}}\$ ${\ displaystyle {\ hat {n}} \}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}} \}$ la planul generic care este vectorul:

$\mathbf {k} _{d}={\frac {2\pi }{d}}{\hat {n}}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {d} = {\ frac {2 \ pi} {d}} {\ hat {n}} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {d} = {\ frac {2 \ pi} {d}} {\ hat {n}} \}$

este un vector al rețelei reciproce care, prin urmare, identifică în mod unic o familie de etaje.

Această afirmație este ușor de demonstrat. Alegem un sistem de coordonate cartezian astfel încât originea să fie pe un punct al rețelei. Întotdeauna va exista un plan cu zăbrele $1\$ ${\ displaystyle 1 \}$ ${\ displaystyle 1 \}$ astfel încât vectorul generic $\mathbf {r} _{1}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} \}$ conectarea unui punct al planului de rețea la origine este astfel încât:

$\mathbf {k} _{d}\cdot \mathbf {r} _{1}=0\$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {d} \ cdot \ mathbf {r} _ {1} = 0 \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {d} \ cdot \ mathbf {r} _ {1} = 0 \}$

Dar un alt punct generic al spațiului, aparținând familiei și situat pe planul care este departe $sd\$ ${\ displaystyle sd \}$ ${\ displaystyle sd \}$ de la primul etaj (unde $s\$ ${\ displaystyle s \}$ ${\ displaystyle s \}$ este un număr întreg pozitiv sau negativ) este de la origine:

$\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{1}+sd{\hat {n}}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {1} + sd {\ hat {n}} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} _ {1} + sd {\ hat {n}} \}$

Produsul scalar al acelui vector cu ${\vec {k}}_{d}\$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {d} \}$ ${\ displaystyle {\ vec {k}} _ {d} \}$ este valabil:

$\mathbf {k} _{d}\cdot (\mathbf {r} _{1}+sd{\hat {n}})=s2\pi \$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {d} \ cdot (\ mathbf {r} _ {1} + sd {\ hat {n}}) = s2 \ pi \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {d} \ cdot (\ mathbf {r} _ {1} + sd {\ hat {n}}) = s2 \ pi \}$

Prin urmare:

$e^{i\mathbf {k} _{d}\cdot \mathbf {r} _{i}}=1\$ ${\ displaystyle e ^ {i \ mathbf {k} _ {d} \ cdot \ mathbf {r} _ {i}} = 1 \}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ mathbf {k} _ {d} \ cdot \ mathbf {r} _ {i}} = 1 \}$

Fiind $\mathbf {r} _{i}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} \}$ un vector generic al rețelei Bravais această condiție este tocmai definiția vectorului rețelei reciproce. Observați cum vectorii $\mathbf {r} _{i}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} \}$ acoperă întreaga rețea directă.

Evident, putem raționa într-un mod dual și putem începe de la un vector generic al rețelei reciproce $\mathbf {G} \$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} \}$ și să spunem că este asociat cu o familie de planuri perpendiculare pe ea cu o distanță egală cu $d=(2\pi )/|G|\$ ${\ displaystyle d = (2 \ pi) / | G | \}$ ${\ displaystyle d = (2 \ pi) / | G | \}$ .

Rețineți că cel mai scurt vector de rețea reciprocă într-o anumită direcție ar trebui luat în considerare, de fapt dacă am un vector $\mathbf {G} _{d}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {d} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {d} \}$ a rețelei reciproce cea mai scurtă într-o anumită direcție $\mathbf {G} _{l}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {l} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {l} \}$ $m\$ ${\ displaystyle m \}$ $m \$ ori mai mare va fi:

$\mathbf {G} _{l}=m\mathbf {G} _{d}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {l} = m \ mathbf {G} _ {d} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {l} = m \ mathbf {G} _ {d} \}$

cu $m\$ ${\ displaystyle m \}$ $m \$ întreg.

După ce am arătat că familia etajelor asociate vectorului $\mathbf {G} _{d}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {d} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {d} \}$ acoperă întregul spațiu cu o familie de planuri de distanțare $d=(2\pi )/|K|\$ ${\ displaystyle d = (2 \ pi) / | K | \}$ ${\ displaystyle d = (2 \ pi) / | K | \}$ . Familia etajelor asociate cu $\mathbf {G} _{l}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {l} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {l} \}$ are spațiu $d/m\$ ${\ displaystyle d / m \}$ ${\ displaystyle d / m \}$ și, prin urmare, descrie o rețea cu mai multe puncte decât cea reală.

Să luăm în considerare un vector generic $\mathbf {G} _{d}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {d} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {d} \}$ (cel mai scurt în direcția sa) va fi astfel încât:

$\mathbf {G} _{d}=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+l\mathbf {b} _{3}\$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {d} = h \ mathbf {b} _ {1} + k \ mathbf {b} _ {2} + l \ mathbf {b} _ {3} \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {d} = h \ mathbf {b} _ {1} + k \ mathbf {b} _ {2} + l \ mathbf {b} _ {3} \}$

Indicii Miller , coordonatele vectorului rețelei reciproce asociate (între paranteze rotunde) sunt asociate cu familiile de planuri:

$(h,k,l)\$ ${\ displaystyle (h, k, l) \}$ ${\ displaystyle (h, k, l) \}$

Bibliografie

Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, „Fizica stării solide”, Holt-Sanunder, 1981.

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica