Indicii Miller

Avioane cu indici Miller diferiți în cristale cubice

Exemple de direcții

Indicii Miller sunt un sistem de notare utilizat în cristalografie pentru a descrie diferitele planuri și direcții într-o rețea Bravais .

Generalitate

În special, o familie de planuri de rețea este determinată de trei numere întregi h , k și l , indicii Miller . Sunt indicate (hkl) și fiecare index indică un plan ortogonal către o direcție (h, k, l) în bazele vectorilor rețelei reciproce . Prin convenție, numerele întregi negative sunt raportate cu o bară de mai sus, de exemplu 3 indică valoarea -3. Numerele întregi se scriu de obicei cu termenii minori, adică cel mai mare divizor comun ar trebui să fie 1. Indicele Miller (100) reprezintă un plan ortogonal în direcția h , indicele (010) reprezintă un plan ortogonal în direcția k și indicele (001) reprezintă un plan ortogonal la l .

Există, de asemenea, mai multe notații conexe: ^[1]

notația {hkl} reprezintă un set de planuri care sunt echivalente cu planul (hkl) pentru simetria rețelei.

În contextul direcțiilor într-un cristal (nu planuri), notațiile corespunzătoare sunt:

[hkl], cu paranteze pătrate în loc de paranteze rotunde, denotă o direcție în baza vectorilor rețelei directe în locul rețelei reciproce;
în mod similar, notația <hkl> reprezintă ansamblul tuturor direcțiilor care sunt echivalente cu [hkl] prin simetrie.

Indicii Miller au fost introduși în 1839 de mineralistul britanic William Hallowes Miller . Metoda a fost, de asemenea, cunoscută istoric sub numele de sistem Millerian, iar indicii ca Millerian, deși această terminologie este acum învechită.

Sensul precis al acestei notații depinde de alegerea vectorilor de rețea pentru cristal, așa cum este descris mai jos. De obicei, se utilizează trei vectori de rețea primitive. Cu toate acestea, pentru sistemele de cristale cubice, vectorii cubici de rețea sunt folosiți chiar și atunci când nu sunt primitivi (ca în cazul cristalelor centrate pe corp și pe cele centrate pe față).

Definiție

Exemple de modalități de determinare a indicilor pentru un plan folosind interceptările cu axele; stânga (111), dreapta (221).

Există două moduri echivalente de a defini semnificația indicilor Miller: ^[1] printr-un punct din rețeaua reciprocă sau prin inversul interceptărilor de -a lungul vectorilor rețelei. Aici sunt date ambele definiții. În orice caz, este necesar să alegeți cei trei vectori de rețea a ₁ , a ₂ și a ₃ așa cum este descris mai sus. Odată realizat acest lucru, sunt determinați și cei trei vectori primitivi ai rețelei reciproce (notați b ₁ , b ₂ și b ₃ ).

Prin urmare, având în vedere cei trei indici Miller h, k, l, (hkl) denotă planuri ortogonale vectorului rețelei reciproce:

\mathbf {g} _{hkl}=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+l\mathbf {b} _{3}.

{\ displaystyle \ mathbf {g} _ {hkl} = h \ mathbf {b} _ {1} + k \ mathbf {b} _ {2} + l \ mathbf {b} _ {3}.}

{\ mathbf {g}} _ {{hkl}} = h {\ mathbf {b}} _ {1} + k {\ mathbf {b}} _ {2} + l {\ mathbf {b}} _ { 3}.

Adică, (hkl) indică pur și simplu un plan normal în baza vectorilor primitivi ai rețelei reciproce. Deoarece coordonatele sunt întregi, acest normal este el însuși întotdeauna un vector al rețelei reciproce. Cerința termenilor minori înseamnă că este cel mai scurt vector de rețea reciprocă în direcția dată.

În mod echivalent, (hkl) indică un plan care interceptează cele trei puncte la ₁ / h, la ₂ / k și la ₃ / l, sau un multiplu al acestora. Adică, indicii Miller sunt proporționali cu inversele interceptărilor planului, pe baza vectorilor de rețea. Dacă unul dintre indici este 0 înseamnă că nu intersectează acea axă (interceptarea este „la infinit”).

Având în vedere numai planurile (hkl) care intersectează unul sau mai multe puncte ale rețelei ( planele rețelei), distanța perpendiculară d între planurile rețelei adiacente este legată de vectorul rețelei reciproc (mai scurt) ortogonal cu planurile prin intermediul formulei

d=2\pi /|\mathbf {g} _{hkl}|.

{\ displaystyle d = 2 \ pi / | \ mathbf {g} _ {hkl} |.}

d = 2 \ pi / | {\ mathbf {g}} _ {{hkl}} |.

^[1]

Notația legată [hkl] denotă direcția

h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+l\mathbf {a} _{3}.

{\ displaystyle h \ mathbf {a} _ {1} + k \ mathbf {a} _ {2} + l \ mathbf {a} _ {3}.}

h {\ mathbf {a}} _ {1} + k {\ mathbf {a}} _ {2} + l {\ mathbf {a}} _ {3}.

Acesta din urmă folosește baza de rețea directă în locul rețelei reciproce. Rețineți că [hkl] nu este în general normal pentru planurile (hkl), cu excepția unei rețele cubice așa cum este descris mai jos.

Structuri cubice

Pentru cazul special al cristalelor cubice simple, vectorii de rețea sunt ortogonali și de lungime egală (de obicei notată a ); în mod similar pentru rețeaua reciprocă. Astfel, în acest caz comun, indicii Miller (hkl) și [hkl] denotă pur și simplu direcții normale în coordonate carteziene .

Pentru cristalele cubice cu constantă de rețea a , distanța d între planurile de rețea adiacente (hkl) este după cum urmează:

d_{hkl}={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}

{\ displaystyle d_ {hkl} = {\ frac {a} {\ sqrt {h ^ {2} + k ^ {2} + l ^ {2}}}}}

d _ {{hkl}} = {\ frac {a} {{\ sqrt {h ^ {2} + k ^ {2} + l ^ {2}}}}}

.

Datorită simetriei cristalelor cubice, este posibil să se schimbe locul și semnul numerelor întregi și să aibă direcții și planuri echivalente:

Coordonatele din paranteze unghiulare, cum ar fi ⟨100⟩, denotă o familie de direcții care sunt echivalente datorită operațiilor de simetrie, cum ar fi [100], [010], [001] sau valoarea negativă a oricăreia dintre aceste direcții.
Coordonatele din paranteze cretate, cum ar fi {100}, indică o familie de plane normale care sunt echivalente datorită operațiilor de simetrie, în același mod în care parantezele unghiulare indică o familie de direcții.

Pentru rețele cubice centrate pe față și retele cubice centrate pe corp , vectorii rețelei primitive nu sunt ortogonali. Cu toate acestea, în aceste cazuri, indicii Miller sunt definiți în mod convențional în raport cu vectorii de rețea ai supercelulei cubice și, prin urmare, sunt încă pur și simplu direcții carteziene.

Structuri hexagonale și romboedrice

Indici Miller-Bravais

Cu rețele de cristal hexagonale și romboedrice , este posibil să se utilizeze indicele Bravais-Miller care are patru numere (hkil) unde h , k și l sunt identice cu indicii Miller în timp ce i este un parametru redundant definit de relația

i=-h-k

{\ displaystyle i = -hk}

i = -h-k

.

Această schemă cu patru indici utilizată pentru a indica planurile într-o rețea hexagonală face evidentă permutarea simetriilor. De exemplu, asemănarea dintre (110) ≡ (11 2 0) și (1 2 0) ≡ (1 2 10) este mai evidentă atunci când este afișat indicele redundant.

În figura din dreapta, planul (001) are simetrie ternară: rămâne neschimbat printr-o rotație de 1/3 (2π / 3 rad, 120 °). Indicațiile [100], [010] și [110] sunt foarte similare. Dacă S este interceptarea planului cu axa [110], atunci avem

i={\frac {1}{S}}

{\ displaystyle i = {\ frac {1} {S}}}

i = {\ frac {1} {S}}

.

Există, de asemenea, scheme ad hoc (de exemplu în literatura de microscopie electronică de transmisie ) pentru indexarea vectorilor de rețea hexagonali (mai degrabă decât a vectorului de rețea reciproc sau a planurilor) cu patru indici. Cu toate acestea, acestea nu funcționează în mod similar prin adăugarea unui index redundant la setul obișnuit de trei indici.

De exemplu, vectorul rețelei reciproce (hkl) așa cum s-a sugerat anterior poate fi scris ca h a * + k b * + l c * dacă vectorii de rețea rețea reciprocă sunt a *, b * și c *. Pentru cristalele hexagonale acest lucru poate fi exprimat în termeni de vectori ai bazei de rețea directă a , b și c ca.

(hkl)=h{\vec {a^{*}}}+k{\vec {b^{*}}}+l{\vec {c^{*}}}={\frac {2}{3a^{2}}}(2h+k){\vec {a}}+{\frac {2}{3a^{2}}}(h+2k){\vec {b}}+{\frac {1}{c^{2}}}(l){\vec {c}}

{\ displaystyle (hkl) = h {\ vec {a ^ {*}}} + k {\ vec {b ^ {*}}} + l {\ vec {c ^ {*}}} = {\ frac { 2} {3a ^ {2}}} (2h + k) {\ vec {a}} + {\ frac {2} {3a ^ {2}}} (h + 2k) {\ vec {b}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} (l) {\ vec {c}}}

(hkl) = h {\ vec {a ^ {*}}} + k {\ vec {b ^ {*}}} + l {\ vec {c ^ {*}}} = {\ frac {2} { 3rd ^ {2}}} (2h + k) {\ vec {a}} + {\ frac {2} {3rd ^ {2}}} (h + 2k) {\ vec {b}} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} (l) {\ vec {c}}

.

Prin urmare, indicii de zonă cu direcția perpendiculară pe plan (hkl) sunt, sub forma unui trio normalizat corespunzător, pur și simplu [2h + k, h + 2k, l (3/2) (a / c) ² ]. Când se utilizează patru indici pentru zona normală a podelei (hkl), totuși, literatura folosește adesea [h, k, -hk, l (3/2) (a / c) ² ]. ^[2]

Planuri și direcții cristalografice

Densitatea suprafeței atomilor în funcție de orientarea feței, în cazul unui singur cristal atomic cubic.

Direcțiile cristalografice sunt linii fictive care leagă nodurile ( atomi , ioni sau molecule ) ale unui cristal. În mod similar, planurile cristalografice sunt planuri fictive care conectează nodurile. Unele direcții și planuri au o densitate a nodului mai mare; aceste planuri dense afectează comportamentul unui cristal.

Proprietăți optice : în materia condensată, lumina „sare” de la un atom la altul prin împrăștierea Rayleigh ; prin urmare, viteza luminii variază în funcție de direcții, indiferent dacă atomii sunt apropiați sau îndepărtați. Aceasta este la originea birrefringenței .
Adsorbție și reactivitate : adsorbția și reacțiile chimice au loc între atomi, ioni sau molecule, prin urmare aceste fenomene sunt sensibile la densitatea nodurilor.
Tensiunea superficială : condensarea unui material înseamnă că atomii, ionii sau moleculele sunt mai stabile dacă sunt înconjurați de specii similare; prin urmare, tensiunea superficială a unei interfețe variază în funcție de densitatea de pe suprafață.
- Porii și cristalitele tind să aibă margini drepte ale bobului, urmând planuri dense.
- Clivaj .
Luxații ( deformare plastică )
- centrul dislocării tinde să se extindă pe planuri dense (pentru a scădea tensiunea); aceasta reduce fricțiunea ( forța Peierls-Nabarro ), alunecarea apare mai frecvent pe planurile dense;
- perturbarea purtată de dislocare ( vectorul Burgers ) este de-a lungul unei direcții dense: deplasarea unui nod într-o direcție densă este o distorsiune minoră;
- linia de dislocare tinde să urmeze o direcție densă, această linie este adesea o linie dreaptă (o cale de dislocare este adesea un poligon ).

Din toate aceste motive, este important să se determine planurile și astfel să existe un sistem de notare.

Notă

^ ^a ^b ^c Neil W. Ashcroft și N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: New York, 1976)
^ JW Edington (1976) Microscopie electronică practică în știința materialelor (NV Philips 'Gloeilampenfabrieken, Eindhoven) ISBN 1-878907-35-2 , Anexa 2

Bibliografie

Charles Kittel, Introducere în fizica statelor solide , editura Ambrosian, 2008, ISBN 88-08-18362-9

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Miller Indices

linkuri externe

Descriptori cantitativi ai geometriei cristaline: axe, planuri și indici. ( PDF ), pe Scienze-como.uninsubria.it .
( EN ) Diseminarea IT pentru promovarea științei materialelor (DoITPoMS), „Lattice Planes and Miller Indices” , la doitpoms.ac.uk .

Portalul chimiei	Portalul de fizică
Portalul de materiale	Portal de mineralogie

[SSP-1] Neil W. Ashcroft și N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: New York, 1976)

[2] JW Edington (1976) Microscopie electronică practică în știința materialelor (NV Philips 'Gloeilampenfabrieken, Eindhoven) ISBN 1-878907-35-2 , Anexa 2

[1]

[2]