Regula cuantificării Dirac

Regula cuantificării Dirac permite trecerea de la o descriere clasică la o descriere cuantică a fizicii , printr-o operație de rescriere a variabilelor în termeni de operatori . De fapt, postulatele mecanicii cuantice afirmă că, pentru fiecare mărime observabilă, trebuie să corespundă un operator liniar și autoadjunct , dar nu oferă o regulă explicită cu privire la modul de obținere a operatorului potrivit.

O regulă simplă și larg aplicabilă este cea formulată de Paul Dirac și care astăzi îi poartă numele.

În formalismul hamiltonian al mecanicii clasice sistemul este descris printr-o funcție H, numită funcție hamiltoniană prin ecuațiile lui Hamilton. Această funcție hamiltoniană poate fi întotdeauna scrisă ca o funcție a variabilelor ${\vec {q}}$ ${\ displaystyle {\ vec {q}}}$ $\ vec {q}$ (locație) e ${\vec {p}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ( impuls ). Prin substituirea operatorilor cuantici respectivi pentru aceste variabile ${\hat {X}}$ ${\ displaystyle {\ hat {X}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {X}}}$ Și ${\hat {P}}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}}}$ obținem operatorul hamiltonian necesar.

Reprezentarea operatorilor de poziție și impuls

Regula de cuantificare Dirac tocmai menționată aduce problema scrierii oricărui operator cuantic hamiltonian la problema mult mai simplă a reprezentării operatorilor de poziție și impuls . În general, baza pe care să reprezentăm acești operatori este arbitrară și depinde doar de o alegere a comodității, cu toate acestea baza pozițiilor (adică spațiul euclidian cu care suntem familiarizați) este de departe cea mai utilizată.

Reprezentarea operatorului de poziție

Scrierea operatorului de poziție ${\hat {X}}$ ${\ displaystyle {\ hat {X}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {X}}}$ pe baza vectorilor săi proprii $|x\rangle$ ${\ displaystyle | x \ rangle}$ ${\ displaystyle | x \ rangle}$ obținem o matrice diagonală cu elemente (în continuum) $\langle x|{\hat {X}}|x'\rangle =x\delta (x-x')$ ${\ displaystyle \ langle x | {\ hat {X}} | x '\ rangle = x \ delta (x-x')}$ ${\ displaystyle \ langle x | {\ hat {X}} | x '\ rangle = x \ delta (x-x')}$ . În consecință, putem scrie, folosind notația bra-ket :

{\hat {X}}f(x)=\langle x|{\hat {X}}|f\rangle =\int \langle x|{\hat {X}}|x'\rangle \langle x'|f\rangle dx'=\int x\delta (x-x')f(x')dx'=xf(x)

{\ displaystyle {\ hat {X}} f (x) = \ langle x | {\ hat {X}} | f \ rangle = \ int \ langle x | {\ hat {X}} | x '\ rangle \ langle x '| f \ rangle dx' = \ int x \ delta (xx ') f (x') dx '= xf (x)}

{\ displaystyle {\ hat {X}} f (x) = \ langle x | {\ hat {X}} | f \ rangle = \ int \ langle x | {\ hat {X}} | x '\ rangle \ langle x '| f \ rangle dx' = \ int x \ delta (xx ') f (x') dx '= xf (x)}

.

Reprezentarea operatorului de impuls

Pentru a scrie reprezentarea acestui operator într-un mod simplu puteți utiliza faptul că $\left[{\hat {X}},{\hat {P}}\right]f(x)=i\hbar f(x)$ ${\ displaystyle \ left [{\ hat {X}}, {\ hat {P}} \ right] f (x) = i \ hbar f (x)}$ ${\ displaystyle \ left [{\ hat {X}}, {\ hat {P}} \ right] f (x) = i \ hbar f (x)}$ și apoi scrieți că: