Operatori de creare și distrugere

În mecanica cuantică , operatorii de creație și distrugere sunt operatori care respectiv măresc sau micșorează numărul de particule ale unei stări cuantice cu unul. Operatorul de distrugere (sau anihilare) este operatorul adjunct al operatorului de creație.

Operatorii de creare și distrugere pot acționa asupra stărilor diferitelor tipuri de particule. Acestea sunt comparabile cu operatorul scării dell ' oscilatorului cuantic armonic , care adaugă sau elimină un As de energie la sistem; în acest caz, operatorul de elevație este considerat a crea. Mai târziu, utilizarea lor a fost generalizată la multe alte probleme și, în general, introducerea lor este baza fundamentării teoriei câmpului cuantic și a celei de-a doua cuantificări . Există, de asemenea, o versiune clasică (în care nu sunt operatori, ci câmpuri), utilizată în studiul undelor neliniare (în special în turbulența undelor ).

Definiție

Operatorul de creație ${\hat {a}}^{\dagger }$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$ și operatorul de anihilare ${\hat {a}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ pot fi definite pur și simplu pe baza acțiunii lor atunci când sunt aplicate pe o stare cuantică. să presupunem că $|n\rangle$ ${\ displaystyle | n \ rangle}$ $| n \ rangle$ este o stare cuantică care conține $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ particule sau $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cantitatea de energie, atunci putem presupune următoarea expresie ca definiție implicită a operatorului de anihilare:

{\hat {a}}|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle

{\ displaystyle {\ hat {a}} | n \ rangle = {\ sqrt {n}} | n-1 \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {a}} | n \ rangle = {\ sqrt {n}} | n-1 \ rangle}

adică operatorul de anihilare aplicat stării cu n particule, a generat altul care conține o particulă mai puțin. În mod absolut identic se poate demonstra că:

{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle

{\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger} | n \ rangle = {\ sqrt {n + 1}} | n + 1 \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger} | n \ rangle = {\ sqrt {n + 1}} | n + 1 \ rangle}

În acest mod, din starea fundamentală a sistemului, pe care o putem identifica - de exemplu în cazul unei teorii de câmp a particulelor elementare - cu vidul , toate celelalte stări pot fi construite prin aplicarea operatorului de creație:

|n\rangle ={({\hat {a}}^{\dagger })^{n} \over {\sqrt {n!}}}|0\rangle

{\ displaystyle | n \ rangle = {({\ hat {a}} ^ {\ dagger}) ^ {n} \ over {\ sqrt {n!}}} | 0 \ rangle}

{\ displaystyle | n \ rangle = {({\ hat {a}} ^ {\ dagger}) ^ {n} \ over {\ sqrt {n!}}} | 0 \ rangle}

Oscilator armonic cuantic

Același subiect în detaliu: oscilator armonic cuantic .

Înțelegem, așadar, terminologia introdusă de Dirac în cazul oscilatorului cuantic armonic: operatorul ${\hat {a}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ face ca sistemul să treacă de la starea de energie n la starea de energie n-1, prin urmare, distruge un cuantum de energie; în mod similar operatorul ${\hat {a}}^{\dagger }$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$ face ca sistemul să treacă de la starea de energie n la starea de energie n + 1, prin urmare, creează o cuantă de energie. Odată cunoscută starea fundamentală, putem obține, prin recurență , întreaga bază a statelor proprii ale hamiltonienului și ale $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ :

|n\rangle ={({\hat {a}}^{\dagger })^{n} \over {\sqrt {n!}}}|0\rangle

{\ displaystyle | n \ rangle = {({\ hat {a}} ^ {\ dagger}) ^ {n} \ over {\ sqrt {n!}}} | 0 \ rangle}

{\ displaystyle | n \ rangle = {({\ hat {a}} ^ {\ dagger}) ^ {n} \ over {\ sqrt {n!}}} | 0 \ rangle}

Reprezentarea matricei

Componentele matricei operatorilor de creație și anihilare bosonică pentru oscilatorul armonic cuantic sunt:

a={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}

{\ displaystyle a = {\ begin {pmatrix} 0 & {\ sqrt {1}} & 0 & 0 & \ dots & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & {\ sqrt {2}} & 0 & \ dots & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & 0 & {\ sqrt {3}} & \ dots & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ ddots & \ vdots & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & {\ sqrt {n}} & \ dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 & \ ddots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle a = {\ begin {pmatrix} 0 & {\ sqrt {1}} & 0 & 0 & \ dots & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & {\ sqrt {2}} & 0 & \ dots & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & 0 & {\ sqrt {3}} & \ dots & 0 & \ dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ ddots & \ vdots & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & {\ sqrt {n}} & \ dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ dots & 0 & \ ddots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}}}

a^{\dagger }=\left({\begin{array}{cccccc}0&0&0&\dots &\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&\dots &\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&\dots &\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&\dots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&{\sqrt {n+1}}&0\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{array}}\right)

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} = \ left ({\ begin {array} {cccccc} 0 & 0 & 0 & \ dots & \ dots \\ {\ sqrt {1}} & 0 & 0 & \ dots & \ dots \\ 0 & {\ sqrt {2}} & 0 & \ dots & \ dots \\ 0 & 0 & {\ sqrt {3}} & \ dots & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & {\ sqrt {n + 1}} & 0 \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle a ^ {\ dagger} = \ left ({\ begin {array} {cccccc} 0 & 0 & 0 & \ dots & \ dots \\ {\ sqrt {1}} & 0 & 0 & \ dots & \ dots \\ 0 & {\ sqrt {2}} & 0 & \ dots & \ dots \\ 0 & 0 & {\ sqrt {3}} & \ dots & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & {\ sqrt {n + 1}} & 0 \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ end {array}} \ right)}

Aceste valori au fost obținute folosind următoarele relații:

$a_{ij}^{\dagger }=\langle \psi _{i}|{\hat {a}}^{\dagger }|\psi _{j}\rangle$ ${\ displaystyle a_ {ij} ^ {\ dagger} = \ langle \ psi _ {i} | {\ hat {a}} ^ {\ dagger} | \ psi _ {j} \ rangle}$ ${\ displaystyle a_ {ij} ^ {\ dagger} = \ langle \ psi _ {i} | {\ hat {a}} ^ {\ dagger} | \ psi _ {j} \ rangle}$

$a_{ij}=\langle \psi _{i}|{\hat {a}}|\psi _{j}\rangle$ ${\ displaystyle a_ {ij} = \ langle \ psi _ {i} | {\ hat {a}} | \ psi _ {j} \ rangle}$ ${\ displaystyle a_ {ij} = \ langle \ psi _ {i} | {\ hat {a}} | \ psi _ {j} \ rangle}$

Și

${\sqrt {n}}=\langle n|{\hat {a}}^{\dagger }|n-1\rangle$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}} = \ langle n | {\ hat {a}} ^ {\ dagger} | n-1 \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}} = \ langle n | {\ hat {a}} ^ {\ dagger} | n-1 \ rangle}$

${\sqrt {n}}=\langle n-1|{\hat {a}}|n\rangle$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}} = \ langle n-1 | {\ hat {a}} | n \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}} = \ langle n-1 | {\ hat {a}} | n \ rangle}$

Operatori de construcție și distrugere în teoria câmpului cuantic

În teoria câmpului cuantic și în problemele multicorpului lucrăm cu operatori de creare și distrugere a stărilor cuantice, $a_{i}^{\dagger }$ ${\ displaystyle a_ {i} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle a_ {i} ^ {\ dagger}}$ și $a_{i}^{\,}$ ${\ displaystyle a_ {i} ^ {\,}}$ ${\ displaystyle a_ {i} ^ {\,}}$ . Acești operatori modifică valoarea operatorului numeric,

N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}

{\ displaystyle N = \ sum _ {i} n_ {i} = \ sum _ {i} a_ {i} ^ {\ dagger} a_ {i} ^ {\,}}

{\ displaystyle N = \ sum _ {i} n_ {i} = \ sum _ {i} a_ {i} ^ {\ dagger} a_ {i} ^ {\,}}

,

a unuia, în analogie cu cazul oscilatorului armonic. Indici (de ex. $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ ) reprezintă numerele cuantice care etichetează stările cu particule simple ale sistemului și nu sunt neapărat numere unice. De exemplu, un tuplu de numere cuantice $(n,l,m,s)$ ${\ displaystyle (n, l, m, s)}$ ${\ displaystyle (n, l, m, s)}$ este folosit pentru a eticheta stările atomului de hidrogen .

Relațiile de comutare ale operatorilor de creație și distrugere într-un sistem cu bosoni multipli sunt,

[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

{\ displaystyle [a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\ dagger}] \ equiv a_ {i} ^ {\,} a_ {j} ^ {\ dagger} -a_ {j} ^ {\ dagger} a_ {i} ^ {\,} = \ delta _ {ij},}

{\ displaystyle [a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\ dagger}] \ equiv a_ {i} ^ {\,} a_ {j} ^ {\ dagger} -a_ {j} ^ {\ dagger} a_ {i} ^ {\,} = \ delta _ {ij},}

[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,

{\ displaystyle [a_ {i} ^ {\ dagger}, a_ {j} ^ {\ dagger}] = [a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\,}] = 0,}

{\ displaystyle [a_ {i} ^ {\ dagger}, a_ {j} ^ {\ dagger}] = [a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\,}] = 0,}

unde este $[\ \ ,\ \ ]$ ${\ displaystyle [\ \, \ \]}$ ${\ displaystyle [\ \, \ \]}$ este comutatorul este $\delta _{ij}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ delta Kronecker .

Pentru fermioni , comutatorul este înlocuit de anti-comutator $\{\ ,\ \}$ ${\ displaystyle \ {\, \ \}}$ ${\ displaystyle \ {\, \ \}}$ ,

\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

{\ displaystyle \ {a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\ dagger} \} \ equals_ {i} ^ {\,} a_ {j} ^ {\ dagger} + a_ {j} ^ {\ dagger} a_ {i} ^ {\,} = \ delta _ {ij},}

{\ displaystyle \ {a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\ dagger} \} \ equals_ {i} ^ {\,} a_ {j} ^ {\ dagger} + a_ {j} ^ {\ dagger} a_ {i} ^ {\,} = \ delta _ {ij},}

\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.

{\ displaystyle \ {a_ {i} ^ {\ dagger}, a_ {j} ^ {\ dagger} \} = \ {a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\,} \} = 0.}

{\ displaystyle \ {a_ {i} ^ {\ dagger}, a_ {j} ^ {\ dagger} \} = \ {a_ {i} ^ {\,}, a_ {j} ^ {\,} \} = 0.}

Bibliografie

( EN ) Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder (1995): An Introduction to Quantum Field Theory , Addison-Wesley ISBN 0201503972
Steven Weinberg. Teoria câmpului cuantic . Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 8808178943
(EN) Steven Weinberg (1995): The Quantum Theory of Fields: Volume 1, Foundations, Cambridge University Press
(EN) Steven Weinberg (1996): The Quantum Theory of Fields: Volume 2 Modern applications, Cambridge University Press
(EN) Steven Weinberg (2000): The Quantum Theory of Fields: Volume 3, Supersymmetry, Cambridge University Press
( EN ) C. Itzykson și JB Zuber Quantum Field Theory MacGrawHill 1980 / Dover 2006.
( EN ) N. Bogoliubov și D. Shirkov Introducere în teoria câmpurilor cuantificate Wiley-Intersceince, 1959.
LD Landau , E. Lifsits , V. Berestetskij și L. Pitaevskij Fizică teoretică , vol. 4: Teoria cuantică relativistă (Editori Riuniti, 1978)
G, Mussardo, Modelul Ising. Introducere în teoria câmpului și tranzițiile de fază (Bollati-Boringhieri, 2007)
( EN ) Robin Ticciati (1999): Teoria cuantică a câmpului pentru matematicieni , Cambridge University Press
( EN ) F. Mandl și G. Shaw. Teoria câmpului cuantic . John Wiley & Sons, 1993.
( EN ) F. Brut. Mecanica cuantică relativistă și teoria câmpului . Wiley-Interscience, 1993.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) FJ Dyson 1951 Prelegeri despre mecanica cuantică avansată Ediția a doua
( EN ) S. Coleman Curs de teoria câmpului, prima parte (Universitatea Harvard)
( EN ) S. Coleman Curs de teoria câmpului, a doua parte
( EN ) W. Siegel Fields
Note de mecanică cuantică relativistă ( Universitatea din Roma 1, La Sapienza )
Electrodinamică cuantică (Universitatea din Roma 1, La Sapienza)
Teoriile ecartamentului (Universitatea din Roma 1, La Sapienza)
G. Longhi Quantum Field Theory with the Wightman formalism Arhivat 17 aprilie 2012 la Internet Archive . ( Universitatea din Florența )

Portalul de fizică

Portal cuantic