Analiza dimensionala

Analiza dimensională este descompunerea în cantități fundamentale a mărimilor fizice în contextul formulelor care stabilesc relațiile lor.

Este un instrument frecvent aplicat în fizică , metrologie , chimie și inginerie pentru a înțelege situațiile fizice care implică cantități de natură diferită și pentru a verifica plauzibilitatea calculelor și a ecuațiilor. De asemenea, este folosit pentru a forma ipoteze rezonabile despre situații fizice complexe care pot fi verificate prin experimente sau noi teorii. În analiza dimensională, se obișnuiește să se încadreze diferitele cantități între paranteze pătrate, de exemplu $\left[F\right]=\left[\mathrm {M} \right]\left[\mathrm {L} \right]\left[\mathrm {T^{-2}} \right]$ ${\ displaystyle \ left [F \ right] = \ left [\ mathrm {M} \ right] \ left [\ mathrm {L} \ right] \ left [\ mathrm {T ^ {- 2}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [F \ right] = \ left [\ mathrm {M} \ right] \ left [\ mathrm {L} \ right] \ left [\ mathrm {T ^ {- 2}} \ right]}$ .

Cantități fundamentale

mărimea	Simbolul lui Maxwell al mărimii sale ^[1]	Unități SI	Simbolul unității SI
Lungime	L	metru	m
Masa	M.	kilogram	kg
Vreme	T.	conform	s
Intensitatea curentului	THE	amper	LA
Temperatura absolută	Θ	kelvin	K.
Cantitatea de materie	Nu.	cârtiță	mol
intensitatea luminii	J	lumânare	CD

James Clerk Maxwell , într-un articol publicat în 1871, a folosit simboluri precum $\left[F\right]$ ${\ displaystyle \ left [F \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [F \ right]}$ , $\left[M\right]$ ${\ displaystyle \ left [M \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [M \ right]}$ , $\left[L\right]$ ${\ displaystyle \ left [L \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [L \ right]}$ , $\left[T\right]$ ${\ displaystyle \ left [T \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [T \ right]}$ , $\left[\Theta \right]$ ${\ displaystyle \ left [\ Theta \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [\ Theta \ right]}$ pentru a indica respectiv cantitățile fizice forță , masă , lungime , timp și temperatură . ^[1] Apoi a format produse ale puterilor acestor simboluri, pe care le-a numit „dimensiuni”. ^[2] Primul avantaj este că o singură unitate de măsură poate fi asociată cu fiecare „dimensiune fizică”. Sistemul internațional de unități a stabilit următoarele dimensiuni sau mărimi fizice fundamentale: timp, lungime, masă, intensitatea curentului , temperatura absolută , cantitatea de substanță și intensitatea luminii . Toate celelalte mărimi pot fi urmărite înapoi la cele fundamentale: pentru fiecare există o ecuație dimensională care exprimă cantitatea relativă ca produs al puterilor mărimilor fundamentale. De exemplu, dimensiunea mărimii vitezei este distanță / timp sau $\left[\mathrm {L} \right]\times \left[\mathrm {T^{-1}} \right]$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {L} \ right] \ times \ left [\ mathrm {T ^ {- 1}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {L} \ right] \ times \ left [\ mathrm {T ^ {- 1}} \ right]}$ iar dimensiunea unei forțe este masa × distanță / timp² sau $\left[\mathrm {M} \right]\times \left[\mathrm {L} \right]\times \left[\mathrm {T^{-2}} \right]$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {M} \ right] \ times \ left [\ mathrm {L} \ right] \ times \ left [\ mathrm {T ^ {- 2}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {M} \ right] \ times \ left [\ mathrm {L} \ right] \ times \ left [\ mathrm {T ^ {- 2}} \ right]}$ .

Analiza dimensională este un instrument important care poate fi utilizat ca verificare a consistenței în derivare sau în verificarea expresiei finale, folosind faptul că dimensiunile pot fi tratate ca mărimi algebrice, adică pot fi adăugate sau scăzute unele de altele numai dacă au aceeasi marime. Mai mult, termenii fiecărui membru al unei ecuații trebuie să aibă aceleași dimensiuni. Urmând aceste reguli simple, analiza dimensională poate fi utilizată ca un ajutor valid pentru a judeca a priori corectitudinea formei unei expresii, deoarece condiția necesară (dar absolut insuficientă ) pentru corectitudinea relației de egalitate este aceea că dimensiunile cantitățile fizice din ambele părți ale ecuației sunt aceleași.

Conceptele de dimensionalitate ale unei mărimi fizice și ale unei unități de măsură sunt interdependente. Unitățile unei mărimi fizice sunt definite prin convenție în raport cu un anumit standard; de exemplu, o lungime poate avea ca o unitate de metri , picioare , inci , mile sau microni ; dar orice lungime are ca dimensiune $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , indiferent de unitățile alese pentru măsurarea acestuia. Măsurarea unei mărimi fizice poate fi exprimată în diferite unități de măsură, trecând de la una la alta prin factori de conversie . De exemplu: 1 in = 2,54 cm, prin urmare (2,54 cm / in) este factorul de conversie (între două reprezentări, exprimate cu unități diferite), a lungimii mărimii fizice și este el însuși adimensional sau cu o dimensiune uniformă la $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Simboluri dimensionale, cum ar fi $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , formează un grup : există o identitate, $L^{0}=1$ ${\ displaystyle L ^ {0} = 1}$ ${\ displaystyle L ^ {0} = 1}$ ; există inversul $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , care este ${\frac {1}{L}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {L}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {L}}}$ sau $L^{-1}$ ${\ displaystyle L ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle L ^ {- 1}}$ , Și $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ridicat la orice exponent rațional $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este membru al grupului, care are ca invers $L^{-p}$ ${\ displaystyle L ^ {- p}}$ ${\ displaystyle L ^ {- p}}$ sau ${\frac {1}{L}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {L}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {L}}}$ ridicat la același exponent $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Funcționarea grupului este multiplicarea , cu regulile normale pentru tratarea exponenților.

În mecanică , mărimea oricărei mărimi fizice poate fi exprimată în termeni de dimensiuni fundamentale $\mathrm {M} ,\;\mathrm {L}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M}, \; \ mathrm {L}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M}, \; \ mathrm {L}}$ Și $\mathrm {T}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T}}$ . Aceasta nu este singura alegere, ci cea mai frecvent utilizată. De exemplu, s-ar putea alege rezistența, lungimea și masa ca dimensiuni fundamentale, cu dimensiunile asociate $\mathrm {F} ,\;\mathrm {L} ,\;\mathrm {M}$ ${\ displaystyle \ mathrm {F}, \; \ mathrm {L}, \; \ mathrm {M}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {F}, \; \ mathrm {L}, \; \ mathrm {M}}$ . Alegerea dimensiunilor fundamentale este astfel, cel puțin parțial, o convenție și se dovedește a fi cea mai utilă și familiară dintre cele care permit exprimarea tuturor cantităților de interes.

Sistemul internațional ( SI ) al unităților de măsură, cu alegerile dimensiunilor corespunzătoare, este cel mai utilizat și a înlocuit multitudinea de alegeri prezente în cel extins ( sistemul CGS ).

În afara mecanicii, poate fi avantajos să alegeți un set extins de simboluri dimensionale, mai degrabă decât altul, în funcție de domeniul de interes. În electromagnetism, de exemplu, poate fi util să se utilizeze dimensiuni $\mathrm {M} ,\;\mathrm {L} ,\;\mathrm {T}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M}, \; \ mathrm {L}, \; \ mathrm {T}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M}, \; \ mathrm {L}, \; \ mathrm {T}}$ Și $\mathrm {Q}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Q}}$ , unde este $\mathrm {Q}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Q}}$ reprezintă cantitatea de încărcare electrică . În termodinamică , setul de bază al dimensiunilor este adesea extins pentru a include o dimensiune pentru temperatură. În chimie, numărul de molecule este adesea implicat și o dimensiune pentru aceasta este, de asemenea, utilă.

În forma sa cea mai primitivă, analiza dimensională poate fi utilizată pentru a verifica plauzibilitatea ecuațiilor fizice: cele două părți ale fiecărei ecuații trebuie să fie comensurabile , adică să aibă aceleași dimensiuni; cu alte cuvinte, ecuația trebuie să fie omogenă dimensional. Ca corolar al acestei cerințe rezultă că, într-o expresie semnificativă fizic, numai cantități de aceeași dimensiune pot fi adăugate sau scăzute. De exemplu, masa unui șoarece și masa unui purice pot fi adăugate împreună, dar masa unui purice și lungimea unui șoarece nu se pot aduna semnificativ. Mărimile fizice care au dimensiuni diferite nu pot fi comparate între ele sau utilizate în inegalități: $3m>1g$ ${\ displaystyle 3m> 1g}$ ${\ displaystyle 3m> 1g}$ nu este nici o expresie corectă, nici semnificativă.

Atunci când cantitățile care sunt egale sau nu sunt înmulțite sau împărțite, simbolurile lor dimensionale sunt înmulțite sau împărțite în mod similar. Când mărimile dimensionale sunt ridicate la o putere rațională, același lucru se întâmplă cu simbolurile legate de aceste mărimi.

Argumentele funcțiilor exponențiale , trigonometrice și logaritmice trebuie să fie adimensionale și scalare . Logaritmul $3kg$ ${\ displaystyle 3kg}$ ${\ displaystyle 3kg}$ este nedefinit, dar logaritmul $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ este aprox $0,477$ ${\ displaystyle 0.477}$ ${\ displaystyle 0.477}$ . Acest lucru derivă în esență din cerința conform căreia termenii seriei Taylor trebuie să fie omogeni dimensional. Argumentele tensoriale ^[3] sunt mai rar utilizate.

Valoarea unei mărimi fizice dimensionale este scrisă ca produs al unei unități dimensionale și un factor adimensional. Dacă se utilizează diferite unități de măsură în aceeași expresie, este necesar un factor de conversie , care este un raport de mărimi egale și este egal cu o unitate adimensională:

1\ {\mbox{ft}}=0,3048\ {\mbox{m}}\

{\ displaystyle 1 \ {\ mbox {ft}} = 0,3048 \ {\ mbox {m}} \}

1 \ {\ mbox {ft}} = 0,3048 \ {\ mbox {m}} \

este ca și cum ai spune

1={\frac {0,3048\ {\mbox{m}}}{1\ {\mbox{ft}}}}\

{\ displaystyle 1 = {\ frac {0.3048 \ {\ mbox {m}}} {1 \ {\ mbox {ft}}}} \}

1 = {\ frac {0.3048 \ {\ mbox {m}}} {1 \ {\ mbox {ft}}}} \

Factorul $0,3048\ {\frac {\mbox{m}}{\mbox{ft}}}$ ${\ displaystyle 0.3048 \ {\ frac {\ mbox {m}} {\ mbox {ft}}}}$ $0,3048 \ {\ frac {{\ mbox {m}}} {{\ mbox {ft}}}}$ este identic cu cel adimensional, prin urmare înmulțirea cu acest factor de conversie nu schimbă nimic (în unitatea de măsură). De asemenea, la adăugarea a două cantități de dimensiuni similare, dar exprimate în unități diferite, factorul de conversie adecvat, care este cel adimensional, este utilizat pentru a converti cantitățile în unități identice, astfel încât valoarea lor numerică să poată fi adăugată sau scăzută.

$1\ {\mbox{m}}+1\ {\mbox{ft}}\$ ${\ displaystyle 1 \ {\ mbox {m}} + 1 \ {\ mbox {ft}} \}$ $1 \ {\ mbox {m}} + 1 \ {\ mbox {ft}} \$	$=1\ {\mbox{m}}+1\ {\mbox{ft}}\times 0,3048\ {\frac {\mbox{m}}{\mbox{ft}}}\$ ${\ displaystyle = 1 \ {\ mbox {m}} + 1 \ {\ mbox {ft}} \ times 0.3048 \ {\ frac {\ mbox {m}} {\ mbox {ft}}} \}$ $= 1 \ {\ mbox {m}} + 1 \ {\ mbox {ft}} \ ori 0,3048 \ {\ frac {{\ mbox {m}}} {{\ mbox {ft}}}} \$
	$=1\ {\mbox{m}}+1\ {\mbox{ft}}\!\!\!\!/\times 0,3048\ {\frac {\mbox{m}}{{\mbox{ft}}\!\!\!\!/}}\$ ${\ displaystyle = 1 \ {\ mbox {m}} + 1 \ {\ mbox {ft}} \! \! \! \! / \ times 0.3048 \ {\ frac {\ mbox {m}} {{\ mbox {ft}} \! \! \! \! /}} \}$ $= 1 \ {\ mbox {m}} + 1 \ {\ mbox {ft}} \! \! \! \! / \ Times 0.3048 \ {\ frac {{\ mbox {m}}} {{\ mbox { ft}} \! \! \! \! /}} \$
	$=1\ {\mbox{m}}+0,3048\ {\mbox{m}}\$ ${\ displaystyle = 1 \ {\ mbox {m}} + 0,3048 \ {\ mbox {m}} \}$ $= 1 \ {\ mbox {m}} + 0,3048 \ {\ mbox {m}} \$
	$=1,3048\ {\mbox{m}}\$ ${\ displaystyle = 1.3048 \ {\ mbox {m}} \}$ $= 1.3048 \ {\ mbox {m}} \$

Numai în acest mod este semnificativ să spunem că cantități de dimensiuni similare de unități diferite sunt adunate împreună.

Analiza dimensională este, de asemenea, utilizată pentru a obține relații între mărimile fizice care sunt implicate într-un anumit fenomen pe care cineva dorește să îl înțeleagă și să îl caracterizeze. A fost folosit pentru prima dată în acest fel în 1872 de Lord Rayleigh , care încerca să-și dea seama de ce cerul este albastru.

Un exemplu simplu

Care este perioada de swing $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ a unei mase $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ atașat la un arc ideal cu constantă de arc $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ suspendat într-un câmp gravitațional de intensitate $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ ? Cele patru cantități au următoarele dimensiuni: $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ $\left[\mathrm {T} \right]$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {T} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {T} \ right]}$ ; $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ $\left[\mathrm {M} \right]$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {M} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {M} \ right]}$ ; $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ $\left[\mathrm {M} \right]\left[\mathrm {T^{-2}} \right]$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {M} \ right] \ left [\ mathrm {T ^ {- 2}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {M} \ right] \ left [\ mathrm {T ^ {- 2}} \ right]}$ ; $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ $\left[\mathrm {L} \right]\left[\mathrm {T^{-2}} \right]$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {L} \ right] \ left [\ mathrm {T ^ {- 2}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [\ mathrm {L} \ right] \ left [\ mathrm {T ^ {- 2}} \ right]}$ .

Din acestea putem forma un singur produs adimensional al forțelor: $G_{1}$ ${\ displaystyle G_ {1}}$ $G_ {1}$ = $T^{2}k/m$ ${\ displaystyle T ^ {2} k / m}$ $T ^ {2} k / m$ , doar din moment ce $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ implică lungimea $(L)$ ${\ displaystyle (L)}$ ${\ displaystyle (L)}$ . Analiza dimensională poate duce la afirmații puternice despre irelevanța unor cantități într-o problemă sau necesitatea altor parametri. Dacă am ales suficiente variabile pentru a descrie problema în mod adecvat, atunci în această problemă putem concluziona că perioada de oscilație a masei pe arc este independentă de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ : este la fel atât pe Pământ, cât și pe Lună. Ecuația care dovedește existența unui produs de forțe pentru problema noastră poate fi rescrisă într-un mod complet echivalent: $T=\kappa {\sqrt {m/k}}$ ${\ displaystyle T = \ kappa {\ sqrt {m / k}}}$ $T = \ kappa {\ sqrt {m / k}}$ , unde este $\kappa$ ${\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ este o constantă adimensională care nu poate fi determinată doar prin analiza dimensională. Prin alte mijloace obținem asta $\kappa =2\pi$ ${\ displaystyle \ kappa = 2 \ pi}$ $\ kappa = 2 \ pi$ .

Când vă confruntați cu un caz în care analiza dimensională exclude o variabilă (în acest caz $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ ) că suntem cu adevărat siguri că aparține unei descrieri fizice a situației, am putea lua în considerare și posibilitatea ca variabila exclusă să fie într-adevăr relevantă și să fi fost omisă o altă variabilă, care s-ar putea combina cu variabila respinsă pentru a forma un adimensional cantitate. Cu toate acestea, acest lucru nu este cazul cu exemplul descris.

Când analiza dimensională duce la o soluție a problemelor în care este implicat doar un produs adimensional de forțe, ca și aici, nu există funcții necunoscute, iar soluția se spune că este „completă”.

Un exemplu mai complex

Să luăm în considerare cazul unei sârme vibrante în lungime $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ [ $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ] care vibrează cu o amplitudine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ [ $\mathrm {L}$ ${\ displaystyle \ mathrm {L}}$ ${\ mathrm {L}}$ ]. Firul are o densitate liniară de $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ [ $\mathrm {M/L}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M / L}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {M / L}}$ ] și este tensionat cu o tensiune $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ [ $\mathrm {ML/T^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {ML / T ^ {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {ML / T ^ {2}}}$ ]. Vrem să cunoaștem energia $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ [ $\mathrm {ML^{2}/T^{2}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {ML ^ {2} / T ^ {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {ML ^ {2} / T ^ {2}}}$ ] conținute în fir. Se poate constata cu ușurință că putem forma două produse adimensionale ale forțelor în variabilele alese.

$\pi _{1}=E/As$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} = E / As}$ $\ pi _ {1} = E / As$ Și $\pi _{2}=\ell /A$ ${\ displaystyle \ pi _ {2} = \ ell / A}$ $\ pi _ {2} = \ ell / A$ .

Poate surprinzător, cum ar fi $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ în exemplul simplu dat mai sus, densitatea liniară a firului nu este implicată în problemă. Cele două grupuri găsite pot fi combinate într-o formă echivalentă, cum ar fi o ecuație

F(E/As,\ell /A)=0,

{\ displaystyle F (E / As, \ ell / A) = 0,}

F (E / As, \ ell / A) = 0,

unde este $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este o funcție necunoscută sau similar

E=Asf(\ell /A),\,

{\ displaystyle E = Asf (\ ell / A), \,}

E = Asf (\ ell / A), \,

unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o altă funcție necunoscută. Aici funcția necunoscută implică faptul că soluția noastră este incompletă, dar analiza dimensională ne-a dat totuși ceva care poate nu a fost evident: energia este proporțională cu forța de tensiune inițială. Cu excepția unei analize suplimentare, am putea continua în experimente care vizează descoperirea formei funcției necunoscute $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Dar experimentele noastre sunt mai simple decât ar fi fără analize dimensionale. De fapt, nu avem nevoie de el pentru a verifica dacă energia este proporțională cu tensiunea. Sau poate am putea face ipoteza că energia este proporțională cu $\ell$ ${\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ , și apoi deduceți asta $E=\ell s$ ${\ displaystyle E = \ ell s}$ $E = \ ell s$ . Analiza dimensională este adesea de mare ajutor în experimente.

Adăugare Huntley

Huntley (Huntley, 1967) a susținut că este uneori productiv să rafinăm conceptul de dimensiune. Două posibilități în acest sens sunt:

Componentele unui vector pot fi considerate distincte dimensional. De exemplu, mai degrabă decât o unitate de lungime nediferențiată $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , s-ar putea să avem $L_{x}$ ${\ displaystyle L_ {x}}$ $L_ {x}$ care reprezintă lungimea în direcție $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , si asa mai departe. Această nevoie derivă direct din necesitatea ca fiecare componentă a unei ecuații semnificative fizic (vector scalar sau tensor) să fie coerentă dimensional.
Masa ca măsură a cantității de materie trebuie considerată diferită dimensional de masă ca măsură a inerției.

Ca exemplu al utilității primului rafinament, să presupunem că vrem să calculăm distanța pe care o parcurge o ghiulea când este trasă cu o componentă de viteză verticală. $V_{y}$ ${\ displaystyle V_ {y}}$ $V_ {y}$ și o componentă orizontală $V_{x}$ ${\ displaystyle V_ {x}}$ $V_ {x}$ presupunând că este trasă pe o suprafață plană. Presupunând că lungimile direcționate nu sunt utilizate, cantitățile de interes sunt atunci $V_{x}$ ${\ displaystyle V_ {x}}$ $V_ {x}$ , $V_{y}$ ${\ displaystyle V_ {y}}$ $V_ {y}$ , ambele ca dimensiune $L/T$ ${\ displaystyle L / T}$ $L / T$ , $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , distanța parcursă, cu dimensiunea $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ accelerația negativă a gravitației, cu dimensiunea $L/T^{2}$ ${\ displaystyle L / T ^ {2}}$ $L / T ^ {2}$ .

Cu aceste patru cantități, am putea concluziona că ecuația pentru interval $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ poti sa scrii:

R\propto V_{x}^{a}\,V_{y}^{b}\,g^{c}.

{\ displaystyle R \ propto V_ {x} ^ {a} \, V_ {y} ^ {b} \, g ^ {c}.}

R \ propto V_ {x} ^ {a} \, V_ {y} ^ {b} \, g ^ {c}.

Sau, dimensional:

L=(L/T)^{a+b}(L/T^{2})^{c}

{\ displaystyle L = (L / T) ^ {a + b} (L / T ^ {2}) ^ {c}}

L = (L / T) ^ {{a + b}} (L / T ^ {2}) ^ {c}

din care putem deduce că $a+b+c=1$ ${\ displaystyle a + b + c = 1}$ $a + b + c = 1$ Și $a+b+2c=0$ ${\ displaystyle a + b + 2c = 0}$ $a + b + 2c = 0$ , care lasă un exponent nedeterminat. Acest lucru era de așteptat, deoarece avem două unități fundamentale $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și patru parametri, cu o singură ecuație.

Cu toate acestea, dacă folosim lungimi direcționate, atunci $V_{x}$ ${\ displaystyle V_ {x}}$ $V_ {x}$ va fi dimensionat ca ${\frac {L_{x}}{T}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L_ {x}} {T}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L_ {x}} {T}}}$ , $V_{y}$ ${\ displaystyle V_ {y}}$ $V_ {y}$ ca ${\frac {L_{y}}{T}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L_ {y}} {T}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L_ {y}} {T}}}$ , $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ ca $L_{x}$ ${\ displaystyle L_ {x}}$ $L_ {x}$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ ca ${\frac {L_{y}}{T^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L_ {y}} {T ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {L_ {y}} {T ^ {2}}}}$ . Ecuația dimensionată devine:

L_{x}=\left({\frac {L_{x}}{T}}\right)^{a}\left({\frac {L_{y}}{T}}\right)^{b}\left({\frac {L_{y}}{T^{2}}}\right)^{c}

{\ displaystyle L_ {x} = \ left ({\ frac {L_ {x}} {T}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {L_ {y}} {T}} \ right) ^ {b} \ left ({\ frac {L_ {y}} {T ^ {2}}} \ right) ^ {c}}

{\ displaystyle L_ {x} = \ left ({\ frac {L_ {x}} {T}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {L_ {y}} {T}} \ right) ^ {b} \ left ({\ frac {L_ {y}} {T ^ {2}}} \ right) ^ {c}}

și am putea rezolva complet cum $a=1$ ${\ displaystyle a = 1}$ $a = 1$ , $b=1$ ${\ displaystyle b = 1}$ $b = 1$ Și $c=-1$ ${\ displaystyle c = -1}$ $c = -1$ . Creșterea puterii deductive dobândite prin utilizarea dimensiunilor de lungime direcționată pare clară.

În mod similar, este uneori util (în mecanica fluidelor și termodinamică) să se facă distincția între masă ca măsură a inerției (masă inerțială) și masă ca măsură a cantității (masă substanțială). De exemplu, luați în considerare derivarea Legii lui Poiseuille . Vrem să găsim modelul fluxului de masă al unui fluid vâscos printr-un tub circular. Fără a face distincții între masa inerțială și masa substanțială, am putea alege ca variabile relevante:

${\dot {m}}$ ${\ displaystyle {\ dot {m}}}$ ${\ dot {m}}$ masa modelului de curgere cu dimensiune $M/T$ ${\ displaystyle M / T}$ $M / T$
$p_{x}$ ${\ displaystyle p_ {x}}$ $p_ {x}$ gradientul de presiune de-a lungul conductei cu dimensiunea $M/L^{2}T^{2}$ ${\ displaystyle M / L ^ {2} T ^ {2}}$ $M / L ^ {2} T ^ {2}$
$\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ densitate cu dimensiune $M/L^{3}$ ${\ displaystyle M / L ^ {3}}$ $M / L ^ {3}$
$\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ vâscozitatea dinamică a fluidului cu dimensiunea $M/LT$ ${\ displaystyle M / LT}$ $M / LT$
$r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ raza conductei cu dimensiunea $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$

Există trei variabile fundamentale, astfel încât cele cinci ecuații de mai sus vor genera două variabile adimensionale, pe care le-am putea lua pentru $\pi _{1}={\dot {m}}/\eta r$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ dot {m}} / \ eta r}$ $\ pi _ {1} = {\ dot {m}} / \ eta r$ Și $\pi _{2}=p_{x}\rho r^{5}/{\dot {m}}^{2}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2} = p_ {x} \ rho r ^ {5} / {\ dot {m}} ^ {2}}$ $\ pi _ {2} = p_ {x} \ rho r ^ {5} / {\ dot {m}} ^ {2}$ și am putea exprima ecuația dimensională ca

C=\pi _{1}\pi _{2}^{a}=\left({\frac {\dot {m}}{\eta r}}\right)\left({\frac {p_{x}\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}\right)^{a}

{\ displaystyle C = \ pi _ {1} \ pi _ {2} ^ {a} = \ left ({\ frac {\ dot {m}} {\ eta r}} \ right) \ left ({\ frac {p_ {x} \ rho r ^ {5}} {{\ dot {m}} ^ {2}}} \ right) ^ {a}}

C = \ pi _ {1} \ pi _ {2} ^ {a} = \ left ({\ frac {{\ dot {m}}} {\ eta r}} \ right) \ left ({\ frac { p_ {x} \ rho r ^ {5}} {{\ dot {m}} ^ {2}}} \ right) ^ {a}

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sunt constante nedeterminate. Dacă în schimb punem o distincție între masa inerțială cu dimensiune $M_{i}$ ${\ displaystyle M_ {i}}$ $Pe mine}$ și masă substanțială cu dimensiunea $M_{s}$ ${\ displaystyle M_ {s}}$ $Domnișoară}$ , atunci modelul de curgere și densitatea acestuia vor utiliza masa substanțială, în timp ce gradientul de presiune și coeficientul de vâscozitate vor folosi masa inerțială. Acum avem patru parametri fundamentali și o constantă adimensională, astfel încât am putea scrie ecuația dimensională ca:

C={\frac {p_{x}\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}

{\ displaystyle C = {\ frac {p_ {x} \ rho r ^ {4}} {\ eta {\ dot {m}}}}}

C = {\ frac {p_ {x} \ rho r ^ {4}} {\ eta {\ dot {m}}}}

numai unde $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este o constantă nedeterminată (care se va constata că este egală cu $\pi /8$ ${\ displaystyle \ pi / 8}$ $\ pi / 8$ cu metode externe analizei dimensionale). Această ecuație ar putea fi rezolvată pentru fluxul masei care generează Legea lui Poiseuille .

Adăugarea lui Siano: analiza orientativă

Adăugarea lui Huntley are unele dezavantaje grave. Nu se descurcă bine cu ecuațiile vectoriale care implică produse vectoriale și nici nu se descurcă bine cu utilizarea unghiurilor ca variabile fizice. De asemenea, este adesea dificil să atribuiți simbolurile $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , $L_{x}$ ${\ displaystyle L_ {x}}$ $L_ {x}$ , $L_{y}$ ${\ displaystyle L_ {y}}$ $Te iubesc}$ , $L_{z}$ ${\ displaystyle L_ {z}}$ $L_ {z}$ la variabilele fizice implicate în problema de interes. El invocă o procedură care implică „simetria” problemei fizice. Acest lucru este adesea dificil de aplicat în mod fiabil: nu este clar care sunt părțile problemei în care este invocată noțiunea de „simetrie”. Este simetria corpului fizic asupra căruia acționează forțele sau a punctelor, liniilor sau zonelor pe care sunt aplicate forțele? Ce se întâmplă dacă mai multe corpuri sunt implicate cu simetrii diferite? Luați în considerare o bulă sferică atașată unui tub cilindric, unde dorim să calculăm fluxul de aer în funcție de diferența de presiune dintre cele două părți. Care sunt dimensiunile Huntley extinse ale vâscozității aerului conținut în părțile conectate? Care sunt dimensiunile extinse ale presiunii în cele două părți? Sunt la fel sau diferite? Aceste dificultăți sunt responsabile pentru aplicarea limitată a adăugării lui Huntley la problemele reale.

Unghiurile sunt considerate convențional a fi variabile adimensionale și, prin urmare, utilizarea unghiurilor ca variabile fizice într-o analiză dimensională dă rezultate mai puțin semnificative. Ca exemplu, să luăm în considerare problema glonțului menționată mai sus. Să presupunem că în locul componentelor $x-$ ${\ displaystyle x-}$ ${\ displaystyle x-}$ Și $y-$ ${\ displaystyle y-}$ ${\ displaystyle y-}$ din viteza inițială am ales modulul de viteză $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ și unghiul $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ cu care se trage glonțul. Unghiul este considerat convențional ca fiind adimensional, iar modulul unui vector nu are calități direcționale, astfel încât nicio variabilă adimensională nu poate fi compusă din cele patru variabile $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , Și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . Analiza convențională ar da corect forțele $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ și de $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , dar nu ar oferi nicio informație cu privire la unghiul adimensional $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ .

Siano (Siano, 1985-I, 1985-II) a sugerat că dimensiunile dirijate ale lui Huntley sunt înlocuite cu simboluri orientative $1_{x},\;1_{y},\;1_{z}$ ${\ displaystyle 1_ {x}, \; 1_ {y}, \; 1_ {z}}$ $1_ {x}, \; 1_ {y}, \; 1_ {z}$ pentru a indica direcții vectoriale și simboluri neoriențiale $1_{0}$ ${\ displaystyle 1_ {0}}$ $1_ {0}$ pentru celelalte cantități. Prin urmare, $L_{x}$ ${\ displaystyle L_ {x}}$ $L_ {x}$ de Huntley devine $L\,1_{x}$ ${\ displaystyle L \, 1_ {x}}$ $L \, 1_ {x}$ cu $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ care specifică dimensiunea lungimii, e $1_{x}$ ${\ displaystyle 1_ {x}}$ $1_ {x}$ care specifică orientarea. Siano arată, de asemenea, că simbolurile orientative au propria lor algebră. Împreună cu cerința că $1_{i}^{-1}=1_{i}$ ${\ displaystyle 1_ {i} ^ {- 1} = 1_ {i}}$ $1_ {i} ^ {{- 1}} = 1_ {i}$ , rezultă următoarea matrice de multiplicare pentru simbolurile de orientare:

{\begin{matrix}&\mathbf {1_{0}} &\mathbf {1_{x}} &\mathbf {1_{y}} &\mathbf {1_{z}} \\\mathbf {1_{0}} &1_{0}&1_{x}&1_{y}&1_{z}\\\mathbf {1_{x}} &1_{x}&1_{0}&1_{z}&1_{y}\\\mathbf {1_{y}} &1_{y}&1_{z}&1_{0}&1_{x}\\\mathbf {1_{z}} &1_{z}&1_{y}&1_{x}&1_{0}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} & \ mathbf {1_ {0}} & \ mathbf {1_ {x}} & \ mathbf {1_ {y}} & \ mathbf {1_ {z}} \\\ mathbf { 1_ {0}} & 1_ {0} & 1_ {x} & 1_ {y} & 1_ {z} \\\ mathbf {1_ {x}} & 1_ {x} & 1_ {0} & 1_ {z} & 1_ {y} \\\ mathbf {1_ {y}} & 1_ {y} & 1_ {z} & 1_ {0} & 1_ {x} \\\ mathbf {1_ {z}} & 1_ {z} & 1_ {y} & 1_ {x} & 1_ {0} \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} și {\ mathbf {1_ {0}}} și {\ mathbf {1_ {x}}} și {\ mathbf {1_ {y}}} și {\ mathbf {1_ {z}}} \\ {\ mathbf {1_ {0}}} & 1_ {0} & 1_ {x} & 1_ {y} & 1_ {z} \\ {\ mathbf {1_ {x}}} & 1_ {x} & 1_ {0} & 1_ {z} & 1_ {y} \\ {\ mathbf {1_ {y}}} & 1_ {y} & 1_ {z} & 1_ {0} & 1_ {x} \\ {\ mathbf {1_ {z}}} și 1_ {z} & 1_ {y} & 1_ {x} & 1_ {0} \ end {matrix}}

Rețineți că simbolurile orientative formează un grup ( Grupul Klein sau „viergruppe”). În acest sistem scalarii au întotdeauna aceeași orientare ca elementul de identitate, indiferent de „simetria problemei”. Mărimile fizice vectoriale au orientarea așteptată: o forță sau o viteză în direcție $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ are orientarea de $1_{x}$ ${\ displaystyle 1_ {x}}$ $1_ {x}$ . Pentru unghiuri, ia în considerare un colț $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ întins în avion $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Formați un triunghi dreptunghiular în plan $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ cu $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ca unul dintre unghiurile acute. Partea triunghiului dreptunghic adiacent colțului are apoi orientare $1_{x}$ ${\ displaystyle 1_ {x}}$ $1_ {x}$ iar latura opusă are orientare $1_{y}$ ${\ displaystyle 1_ {y}}$ $1_ {y}$ . Apoi, de atunci $\tan \theta ={\frac {l_{y}}{l_{x}}}=\theta +\ldots$ ${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {l_ {y}} {l_ {x}}} = \ theta + \ ldots}$ ${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {l_ {y}} {l_ {x}}} = \ theta + \ ldots}$ , concluzionăm că un unghi în plan $(x,\;y)$ ${\ displaystyle (x, \; y)}$ ${\ displaystyle (x, \; y)}$ trebuie să aibă o orientare $1_{y}$ ${\ displaystyle 1_ {y}}$ $1_ {y}$ / $1_{x}$ ${\ displaystyle 1_ {x}}$ $1_ {x}$ = $1_{z}$ ${\ displaystyle 1_ {z}}$ $1_ {z}$ , ceea ce nu este nerezonabil. Un raționament similar conduce la concluzia că $\sin \theta$ ${\ displaystyle \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta}$ are orientare $1_{z}$ ${\ displaystyle 1_ {z}}$ $1_ {z}$ in timp ce $\cos \theta$ ${\ displaystyle \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle \ cos \ theta}$ are orientare $1_{0}$ ${\ displaystyle 1_ {0}}$ $1_ {0}$ . Acestea sunt diferite, astfel încât se poate concluziona (corect), de exemplu, că nu există soluții la ecuațiile fizice sub forma a $\sin \theta +b\cos \theta$ ${\ displaystyle \ sin \ theta + b \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta + b \ cos \ theta}$ , unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt scalari.

Atribuirea simbolurilor orientative mărimilor fizice și necesitatea ca ecuațiile fizice să fie orientative omogene pot fi de fapt utilizate într-un mod similar analizei dimensionale pentru a obține mai multe informații despre soluțiile acceptabile la problemele fizice. În această abordare, pregătești ecuația dimensională și o rezolvi așa cum o faci. Dacă puterea cea mai mică a unei variabile fizice este fracționată, ambele părți ale ecuației sunt ridicate astfel încât toate puterile să fie întregi. Aceasta pune problema în „formă normală”. Ecuația orientativă este apoi rezolvată pentru a da o condiție mai restrictivă puterilor necunoscute ale simbolurilor orientative, ajungând la o soluție mai completă decât cea care s-ar obține doar cu analiza dimensională. Adesea informația adăugată este că una dintre puterile unei anumite variabile este impar sau pare.

De exemplu, pentru problema glonțului, dacă se utilizează simboluri orientative, $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , fiind în avion $(x,\;y)$ ${\ displaystyle (x, \; y)}$ ${\ displaystyle (x, \; y)}$ va avea deci dimensiune $1_{z}$ ${\ displaystyle 1_ {z}}$ $1_ {z}$ și raza de acțiune a glonțului $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ va fi exprimat sub forma:

R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}

{\ displaystyle R = g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c}}

R = g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c}

ce înseamnă

L\,1_{x}\sim \left({\frac {L\,1_{y}}{T^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {L}{T}}\right)^{b}\,1_{z}^{c}

{\ displaystyle L \, 1_ {x} \ sim \ left ({\ frac {L \, 1_ {y}} {T ^ {2}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {L } {T}} \ right) ^ {b} \, 1_ {z} ^ {c}}

L \, 1_ {x} \ sim \ left ({\ frac {L \, 1_ {y}} {T ^ {2}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {L} {T }} \ dreapta) ^ {b} \, 1_ {z} ^ {c}

Omogenitatea dimensională va genera acum corect $a=-1$ ${\ displaystyle a = -1}$ ${\ displaystyle a = -1}$ Și $b=2$ ${\ displaystyle b = 2}$ $b = 2$ , iar omogenitatea orientativă necesită acest lucru $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este un număr întreg ciudat. De fapt funcția necesară a $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Sara $\sin \theta \cos \theta$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta \ cos \ theta}$ care este o serie de puteri uniforme ale $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ .

Vedem că seria lui Taylor de $\sin \theta$ ${\ displaystyle \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta}$ Și $\cos \theta$ ${\ displaystyle \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle \ cos \ theta}$ sunt omogene orientativ folosind matricea de multiplicare de mai sus, în timp ce expresii precum $\cos \theta +\sin \theta$ ${\ displaystyle \ cos \ theta + \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle \ cos \ theta + \ sin \ theta}$ Și $e^{\theta }$ ${\ displaystyle e ^ {\ theta}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ theta}}$ nu sunt și sunt (corect) considerate ne-fizice.

Dovrebbe essere chiaro che la regola di moltiplicazione usata per i simboli orientazionali non è la stessa che si usa per il prodotto incrociato di due vettori. Il prodotto incrociato di due vettori uguali è zero, mentre il prodotto di due identici simboli orientazionali è l'elemento identità.

Significato concettuale

In conclusione si può vedere che le analisi dimensionali ei requisiti per le equazioni fisiche per essere dimensionalmente omogenee riflettono l'idea che le leggi della fisica sono indipendenti dalle unità di misura impiegate per misurare le variabili fisiche. Questo significa che, per esempio, $F=ma$ ${\displaystyle F=ma}$ $F=ma$ vale indipendentemente che il sistema di unità sia il SI, quello inglese, il CGS o qualsiasi altro sistema di unità coerente. L'analisi orientazionale e la necessità per le equazioni fisiche di essere orientazionalmente omogenee riflette l'idea che le equazioni della fisica debbano essere indipendenti dal sistema di coordinate utilizzato.

Costanti adimensionali

Le costanti adimensionali che sorgono nei risultati ottenuti, come la $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ nel problema della legge di Poiseuille e la $\kappa$ $\kappa$ $\kappa$ nel problema della molla discussi sopra, vengono da un'analisi più dettagliata della fisica implicita e spesso sorgono dalla integrazione di qualche equazione differenziale. L'analisi dimensionale stessa ha poco da dire su queste costanti, ma è utile sapere che molto spesso hanno un ordine di grandezza zero. Questa osservazione può consentire di fare calcoli sul fenomeno di interesse, ed essere in grado di preparare esperimenti per misurarle più efficientemente, o per decidere se sono importanti o meno.

Teorema di Buckingham

Il Teorema di Buckingham dà le basi per lo strumento principale dell'analisi dimensionale. Questo teorema descrive come ogni processo fisico esprimibile con una funzione di $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ variabili dimensionali e $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ parametri adimensionali possa essere equivalentemente descritto da una nuova funzione di $n\;-\;m$ $n\;-\;m$ $n\;-\;m$ gruppi (o numeri ) adimensionali e $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ parametri adimensionali, dove $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ è il numero di dimensioni fondamentali (ciè indipendenti) usate. Il Teorema di Buckingham non fornisce alcuna indicazione sui gruppi adimensionali o sulla forma della funzione. I gruppi adimensionali si individuano quasi sempre tra quelli che hanno un significato fisico: ad esempio, il numero di Reynolds, utilizzato della Meccanica dei Fluidi viscosi, è il rapporto tra le forze d'inerzia convettiva per unità di volume e le forze viscose per unità di volume. La forma della funzione viene spesso determinata per via sperimentale.

Note

^ ^a ^b JC Maxwell, On the Mathematical Classification of Physical Quantities, Proc. London Math. Soc. , Vol III, no. 34, p. 224. Mar. 1871.
^ Langhaar, Dimensional Analysis and Theory of Models, John Wiley & Sons, 1951
^ Hart, 1995

Bibliografia

GI Barenblatt , Scaling, Self-Similarity, and Intermediate Asymptotics , Cambridge University Press, 1996.
Boucher, Alves, Dimensionless Numbers , in Chem. Eng. Progress , vol. 55, 1960, pp. 55-64.
PW Bridgman , Dimensional Analysis , Yale University Press, 1922.
Edgar Buckingham , On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Analysis , in Phys. Rev. , vol. 4, 1914, p. 345.
George W. Hart, Multidimensional Analysis: Algebras and Systems for Science and Engineering , Springer-Verlag, 1º marzo 1995, ISBN 0-387-94417-6 .
HE Huntley, Dimensional Analysis , Dover, 1967, LOC 67-17978.
A. Klinkenberg, , in Chem. Eng. Science , vol. 4, 1955, pp. 130-140, 167-177.
HL Langhaar, Dimensional Analysis and Theory of Models , Wiley, 1951.
S. Longo, Analisi Dimensionale e Modellistica Fisica , Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1871-6 .
LF Moody, Friction Factors for Pipe Flow , in Trans. Am. Soc. Mech. Engrs. , vol. 66, n. 671, 1944.
NF Murphy, Dimensional Analysis , in Bull. VPI , vol. 42, n. 6, 1949.
JH Perry, et. al., Standard System of Nomenclature for Chemical Engineering Unit Operations , in Trans. Am. Inst. Chem. Engrs. , vol. 40, n. 251, 1944.
GW Petty, Automated computation and consistency checking of physical dimensions and units in scientific programs. , in Software - Practice and Experience , vol. 31, 2001, pp. 1067-1076.
Alfred W. Porter, The Method of Dimensions , Methuen, 1933.
Lord Rayleigh , The Principle of Similitude , in Nature , vol. 95, 1915, pp. 66-68.
Donald Siano, Orientational Analysis - A Supplement to Dimensional Analysis - I , in J. Franklin Institute , n. 320, 1985, p. 267.
Donald Siano, Orientational Analysis, Tensor Analysis and The Group Properties of the SI Supplementary Units - II , in J. Franklin Institute , n. 320, 1985, p. 285.
IH Silberberg, McKetta JJ Jr., Learning How to Use Dimensional Analysis , in Petrol. Refiner , vol. 32, 4 (p.5), 5(p.147), 6(p.101), 7(p.129), 1953.
ER Van Driest, On Dimensional Analysis and the Presentation of Data in Fluid Flow Problems , in J. App. Mech , vol. 68, A-34, marzo 1946.

Voci correlate

Grandezza fisica
Gruppo adimensionale
Stima di Fermi
Unità naturali
Teorema di Buckingham
Teoria dei modelli
Spazio affine , simile a uno spazio vettoriale senza l'elemento zero, in modo da descrivere le quantità fisiche più fedelmente.

Collegamenti esterni

( EN ) Analisi dimensionale , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Unicalc Live web calculator doing units conversion by dimensional analysis , su calchemy.com .
http://www.math.ntnu.no/~hanche/notes/buckingham/buckingham-a4.pdf
https://web.archive.org/web/20060719095609/http://www.knowledgedoor.com/1/Unit_Conversion/Dimensional_Analysis.htm
https://web.archive.org/web/20060829134849/http://rain.aos.wisc.edu/~gpetty/physunits.html

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 48818 · LCCN ( EN ) sh85038036 · GND ( DE ) 4133116-3 · BNF ( FR ) cb11978037k (data)

Portale Chimica	Portale Fisica
Portale Ingegneria	Portale Metrologia

[max-1] JC Maxwell, On the Mathematical Classification of Physical Quantities, Proc. London Math. Soc. , Vol III, no. 34, p. 224. Mar. 1871.

[2] Langhaar, Dimensional Analysis and Theory of Models, John Wiley & Sons, 1951

[3] Hart, 1995

[1]

[2]

[3]