Inegalitate

În matematică o inegalitate (sau inegalitate ) este o relație de ordine totală pe setul de numere reale sau pe un subset al acestuia , adică stabilește o relație între numere folosind simbolurile inegalității, care sunt: ^[1]

$<$ ${\ displaystyle <}$ $<$ (minor)
$>$ ${\ displaystyle>}$ $>$ (mai mare)
$\leq$ ${\ displaystyle \ leq}$ $\ leq$ (mai mic sau egal)
$\geq$ ${\ displaystyle \ geq}$ $\ geq$ (mai mare sau egal)

Primele două exprimă o inegalitate în sens strict , ultimele două exprimă o inegalitate în sens larg .

Aceleași simboluri pot fi folosite pentru a „compara” două funcții cu valoare reală .

Notaţie

Inegalitatea în sens larg este indicată cu scripturi echivalente $a\geqslant b$ ${\ displaystyle a \ geqslant b}$ ${\ displaystyle a \ geqslant b}$ Și $b\leqslant a$ ${\ displaystyle b \ leqslant a}$ ${\ displaystyle b \ leqslant a}$ , care poate fi citit " $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este mai mare sau egal cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ " Și " $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este mai mic sau egal cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ".

Inegalitatea în sens strict, pe de altă parte, indică scripturi echivalente $a>b$ ${\ displaystyle a> b}$ $a> b$ Și $b<a$ ${\ displaystyle b <a}$ ${\ displaystyle b <a}$ , citit " $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este mai mare decât $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ " Și " $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este mai mic decât $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ".

Această notație poate fi confundată cu o notație similară grafic $a\gg b$ ${\ displaystyle a \ gg b}$ ${\ displaystyle a \ gg b}$ (sau $b\ll a$ ${\ displaystyle b \ ll a}$ ${\ displaystyle b \ ll a}$ ), utilizat cu două semnificații diferite: ambele pentru a indica faptul că un număr este suficient de mare decât altul („ $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este mult mai mare decât $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ "), fie pentru a indica faptul că o funcție este asimptotic mai mare decât alta (" $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ domină $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ În ambele cazuri nu este o inegalitate, ci doar o relație de ordine parțială , adică s-ar putea să nu permită compararea a două elemente distincte ale întregului.

Proprietate

Comandă totală

O relație de ordine (largă sau îngustă) definită într-un set este totală dacă se iau în considerare oricare două elemente ale setului $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ distinct unul de celălalt, se pare întotdeauna că $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Este în legătură cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , sau asta $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Este în legătură cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ^[2] .

O relație de ordine non-totală se numește relație de ordine parțială.

De exemplu, în ansamblu $I=\left\{2,3,6,9,18\right\}$ ${\ displaystyle I = \ left \ {2,3,6,9,18 \ right \}}$ ${\ displaystyle I = \ left \ {2,3,6,9,18 \ right \}}$ relația " $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ "este total, deoarece este posibil să se compare toate elementele întregului. Dacă, pe de altă parte, relația este considerată în același întreg" $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ multiplu de $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ", aceasta este o relație parțială pentru că de exemplu $9$ ${\ displaystyle 9}$ $9$ nu este un multiplu al $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Antisimetrie și trichotomie

Dacă inegalitatea este îngustă, atunci proprietatea trichotomiei deține:

\forall a,b

{\ displaystyle \ forall a, b}

{\ displaystyle \ forall a, b}

una și numai una dintre cele trei relații este valabilă

a>b,\;\;\;a<b,\;\;\;a=b

{\ displaystyle a> b, \; \; \; a <b, \; \; \; a = b}

{\ displaystyle a> b, \; \; \; a <b, \; \; \; a = b}

.

Dacă inegalitatea este mare, atunci antisimetria deține:

\forall a,b\qquad a\leqslant b\quad {\text{e}}\quad b\leqslant a\implies a=b

{\ displaystyle \ forall a, b \ qquad a \ leqslant b \ quad {\ text {e}} \ quad b \ leqslant a \ implic a = b}

{\ displaystyle \ forall a, b \ qquad a \ leqslant b \ quad {\ text {e}} \ quad b \ leqslant a \ implic a = b}

.

Adunare si scadere

Inegalitățile sunt păstrate dacă același număr este adăugat sau scăzut la ambii termeni ^[3] :

pentru orice trei numere reale $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ sunt echivalente: $a>b$ ${\ displaystyle a> b}$ $a> b$ , $\;\;\;a+c>b+c$ ${\ displaystyle \; \; \; a + c> b + c}$ ${\ displaystyle \; \; \; a + c> b + c}$ , $\;\;\;a-c>b-c$ ${\ displaystyle \; \; \; ac> bc}$ ${\ displaystyle \; \; \; a-c> b-c}$ .

Același lucru este valabil și cu inegalitatea în sens larg.

Această proprietate indică faptul că pentru a compara două numere $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este echivalent cu verificarea dacă diferența lor $a-b$ ${\ displaystyle ab}$ $a-b$ este pozitiv sau negativ, adică să compare $a-b$ ${\ displaystyle ab}$ $a-b$ Și . În plus $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ echivalentă cu $-a<0$ ${\ displaystyle -a <0}$ ${\ displaystyle -a <0}$ , precum și $a>b$ ${\ displaystyle a> b}$ $a> b$ echivalentă cu $-a<-b$ ${\ displaystyle -a <-b}$ ${\ displaystyle -a <-b}$ .

Această proprietate descrie în general grupurile comandate .

Înmulțirea și divizarea

Inegalitățile sunt păstrate dacă ambii termeni sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr strict pozitiv. Înmulțind sau împărțind la un număr strict negativ, inegalitățile sunt schimbate:

pentru fiecare triplet de numere reale $la$ $,$ $b$ {\ displaystyle a, b} $a, b$ Și $c$ {\ displaystyle c} $c$ ,
- de sine $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ atunci sunt echivalente: $a>b$ ${\ displaystyle a> b}$ $a> b$ , $\;\;\;ac>bc$ ${\ displaystyle \; \; \; ac> bc}$ ${\ displaystyle \; \; \; ac> bc}$ , $\;\;\;{\frac {a}{c}}>{\frac {b}{c}}$ ${\ displaystyle \; \; \; {\ frac {a} {c}}> {\ frac {b} {c}}}$ ${\ displaystyle \; \; \; {\ frac {a} {c}}> {\ frac {b} {c}}}$ ;
- de sine $c<0$ ${\ displaystyle c <0}$ $c <0$ atunci sunt echivalente: $a>b$ ${\ displaystyle a> b}$ $a> b$ , $\;\;\;ac<bc$ ${\ displaystyle \; \; \; ac <bc}$ ${\ displaystyle \; \; \; ac <bc}$ , $\;\;\;{\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}$ ${\ displaystyle \; \; \; {\ frac {a} {c}} <{\ frac {b} {c}}}$ ${\ displaystyle \; \; \; {\ frac {a} {c}} <{\ frac {b} {c}}}$ .

Același lucru este valabil și cu inegalitatea în sens larg.

Pentru proprietatea anterioară, a doua linie este aceeași cu prima, scris $-c$ ${\ displaystyle -c}$ $-c$ in loc de $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

Aceste proprietăți descriu în general inele ordonate și câmpurile ordonate (sau câmpurile reale ).

Funcții monotone

Inegalitățile sunt baza definiției funcțiilor monotone : funcții care conservă sau inversa ordinea numerelor reale, prin urmare , inegalitățile, sunt în creștere sau în scădere monotone funcții .
În special, funcțiile monotone în sens strict „păstrează” inegalitățile în sens strict; în schimb, o funcție monotonă în sens larg oferă doar inegalități în sens larg.

Inegalitate și semn

Uneori, notația pentru inegalitate este abuzată de scriere $f>0$ ${\ displaystyle f> 0}$ ${\ displaystyle f> 0}$ chiar și când $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție cu valoare reală. Prin această notație înțelegem că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ își asumă doar valori strict pozitive, și anume că $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în domeniul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . În acest caz vorbim despre un semn al unei funcții sau, în mod echivalent, despre un set de pozitivitate a unei funcții. Deopotrivă, $f>g$ ${\ displaystyle f> g}$ ${\ displaystyle f> g}$ indică faptul că $f-g>0$ ${\ displaystyle fg> 0}$ ${\ displaystyle f-g> 0}$ , sau asta $f(x)>g(x)$ ${\ displaystyle f (x)> g (x)}$ ${\ displaystyle f (x)> g (x)}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în domeniul comun al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . La fel se întâmplă și cu inegalitatea în sens larg. Când domeniul funcțiilor nu este specificat, se numește inegalitate .

Inegalități comune

Unele inegalități „celebre” în matematică sunt enumerate mai jos.

Notă

^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 . p.568
^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 . p.236
^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (volumul 1) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7 . p.140

Bibliografie

Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 .
Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (volumul 1) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikicitată conține citate din sau despre inegalități
Wikționarul conține dicționarul lema « inegalitate »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre inegalitate

linkuri externe

( EN ) Inegalitate , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 58552 · NDL (EN, JA) 00.563.806

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 . p.568

[2] Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (ediția a doua) Vol.1 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1 . p.236

[3] Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, Principiile matematicii (volumul 1) , Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7 . p.140

[1]

[2]

[3]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy