Inegalitatea lui Bernstein

În teoria probabilității , inegalitatea lui Bernstein este una dintre inegalitățile referitoare la suma variabilelor aleatorii . A fost formulată de Serghei Natanovici Bernstein , al cărui nume îl poartă.

Teorema

Lasa-i sa fie $X_{1},...,X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, ..., X_ {n}}$ $X_ {1}, ..., X_ {n}$ a variabilelor aleatorii independente delimitate, atunci inegalitatea are loc:

\mathbb {P} \left(\left|\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\mu \right|\geq \lambda \right)\leq 2e^{-{\frac {\lambda ^{2}}{2\sigma ^{2}+{\frac {2}{3}}m\lambda }}}

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} - \ mu \ right | \ geq \ lambda \ right) \ leq 2e ^ {- { \ frac {\ lambda ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} + {\ frac {2} {3}} m \ lambda}}}}

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} - \ mu \ right | \ geq \ lambda \ right) \ leq 2e ^ {- { \ frac {\ lambda ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2} + {\ frac {2} {3}} m \ lambda}}}}

;

unde este:

$\sigma ^{2}=Var(\sum X_{i})=\sum Var(X_{i})=\sum \sigma _{i}^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = Var (\ sum X_ {i}) = \ sum Var (X_ {i}) = \ sum \ sigma _ {i} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = Var (\ sum X_ {i}) = \ sum Var (X_ {i}) = \ sum \ sigma _ {i} ^ {2}}$ este varianța sumei variabilelor,
$\mu =\sum \mathbb {E} [X_{i}]$ ${\ displaystyle \ mu = \ sum \ mathbb {E} [X_ {i}]}$ ${\ displaystyle \ mu = \ sum \ mathbb {E} [X_ {i}]}$ este valoarea așteptată a sumei variabilelor,
$m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este o astfel de constantă încât $\mathbb {P} (|X_{i}-\mu _{i}|>m)=0$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (| X_ {i} - \ mu _ {i} |> m) = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (| X_ {i} - \ mu _ {i} |> m) = 0}$ , adică $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este abaterea maximă față de medie , prezentă între $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile aleatoare $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ (astfel de $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ există, deoarece s-a presupus că $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ erau limitate).

Bernstein și Chebyshev comparate

Folosind inegalitatea pătratică Chebyshev , se poate estima aceeași cantitate:

\mathbb {P} \left(\left|\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\mu \right|\geq \lambda \right)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\lambda ^{2}}};

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} - \ mu \ right | \ geq \ lambda \ right) \ leq {\ frac {\ sigma ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}};}

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} - \ mu \ right | \ geq \ lambda \ right) \ leq {\ frac {\ sigma ^ {2}} {\ lambda ^ {2}}};}

Estimarea lui Bernstein este evident mai exactă: garantează o descompunere exponențială (pentru mari $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ) a probabilității ca suma variabilelor aleatorii să se abată de la medie (în timp ce inegalitatea Chebyshev garantează doar o descompunere pătratică). Cu toate acestea, inegalitatea lui Bernstein este valabilă sub ipoteza că variabilele considerate sunt mărginite (ipoteza nu este necesară pentru Chebyshev).

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică