Inegalitățile lui Boole și Bonferroni

În teoria probabilității , inegalitatea booleană , cunoscută și sub numele de graniță pentru uniune , afirmă că pentru orice colecție finită sau numărabilă de evenimente , probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimente să apară este mai mică sau egală cu suma probabilităților de evenimentele individuale. Această inegalitate este generalizată de două inegalități Bonferroni .

Inegalitatea booleană

Să luăm în considerare un set finit sau numărabil de evenimente A ₁ , A ₂ , A ₃ , .... Inegalitatea este valabilă

P\left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}P\left(A_{i}\right)

{\ displaystyle P \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i} P \ left (A_ {i} \ right)}

{\ displaystyle P \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i} P \ left (A_ {i} \ right)}

Inegalități Bonferroni

În cazul colecțiilor finite de evenimente, inegalitatea anterioară poate fi generalizată în așa-numitele inegalități Bonferroni care oferă extreme deasupra și sub probabilitatea unirii acestor evenimente.

Introducem următoarele cantități:

S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})~,

{\ displaystyle S_ {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} P (A_ {i}) ~,}

{\ displaystyle S_ {1}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} P (A_ {i}) ~,}

S_{2}:=\sum _{i<j}P(A_{i}\cap A_{j})~,

{\ displaystyle S_ {2}: = \ sum _ {i <j} P (A_ {i} \ cap A_ {j}) ~,}

{\ displaystyle S_ {2}: = \ sum _ {i <j} P (A_ {i} \ cap A_ {j}) ~,}

și pentru 2 < k ≤ n ,

S_{k}:=\sum P(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})~,

{\ displaystyle S_ {k}: = \ sum P (A_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap A_ {i_ {k}}) ~,}

{\ displaystyle S_ {k}: = \ sum P (A_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap A_ {i_ {k}}) ~,}

în cazul în care se intenționează ca suma să fie efectuată asupra tuturor tuple K- de numere întregi $i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}$ ${\ displaystyle i_ {1}, i_ {2}, \ cdots, i_ {k}}$ ${\ displaystyle i_ {1}, i_ {2}, \ cdots, i_ {k}}$ satisfăcător $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}$ ${\ displaystyle i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k}}$ ${\ displaystyle i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k}}$ .