Variabilă gratuită

În logica matematică și în special într-un limbaj de ordinul întâi se spune că o variabilă trebuie să fie liberă într-o formulă bine formată ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ dacă în formulă această variabilă apare în afara domeniului unui cuantificator pe variabila însăși.

Operatori care constrâng variabilele

Fiecare dintre următorii operatori constrânge variabila x .

\sum _{x\in S}\quad \quad \prod _{x\in S}\quad \quad \int _{0}^{\infty }\,dx\quad \quad \lim _{x\to 0}\quad \quad \forall x\quad \quad \exists x

{\ displaystyle \ sum _ {x \ in S} \ quad \ quad \ prod _ {x \ in S} \ quad \ quad \ int _ {0} ^ {\ infty} \, dx \ quad \ quad \ lim _ {x \ la 0} \ quad \ quad \ forall x \ quad \ quad \ există x}

{\ displaystyle \ sum _ {x \ in S} \ quad \ quad \ prod _ {x \ in S} \ quad \ quad \ int _ {0} ^ {\ infty} \, dx \ quad \ quad \ lim _ {x \ to 0} \ quad \ quad \ forall x \ quad \ quad \ există x}

Exemple

În formulă

\forall xA(x)

{\ displaystyle \ forall xA (x)}

{\ displaystyle \ forall xA (x)}

(unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un simbol pentru un predicat unar) singura variabilă prezentă este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ceea ce nu este necesar gratuit deoarece este cuantificat prin $\forall x$ ${\ displaystyle \ forall x}$ ${\ displaystyle \ forall x}$ .

În formulă

\forall xA(x,y)

{\ displaystyle \ forall xA (x, y)}

{\ displaystyle \ forall xA (x, y)}

(unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un simbol pentru predicat binar) sunt prezente variabile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din care $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este necesar gratuit (nu există cuantificatori pe $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ) dar $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Nu.

În formulă

A(x)\lor \forall x\lnot A(x)

{\ displaystyle A (x) \ lor \ forall x \ lnot A (x)}

{\ displaystyle A (x) \ lor \ forall x \ lnot A (x)}

(unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un simbol pentru predicat unar), variabila $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ apare atât ca o variabilă liberă (prima instanță nu intră în domeniul $\forall$ ${\ displaystyle \ forall}$ $\ pentru toți$ ) și ca variabilă cuantificată.

Definiție recursivă

Noțiunea de apariție liberă în ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ poate fi definit recursiv după cum urmează:

de sine ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ este o formulă atomică atunci x apare liber în ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ dacă apare x în ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ .
de sine ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ se obține din formule ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ Și ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ îmbinarea acestora cu un simbol conectiv logic atunci x apare liber în ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ dacă x apare liber în ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ sau în ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ .
de sine ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ are forma $\forall x_{i}{\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle \ forall x_ {i} {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle \ forall x_ {i} {\ mathcal {B}}}$ sau $\exists x_{i}{\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle \ există x_ {i} {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle \ există x_ {i} {\ mathcal {B}}}$ atunci x apare liber în ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ dacă este necesar liber în ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ Și $x\neq x_{i}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {i}}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {i}}$