Tensor

Un tensor poate fi descris informal ca o " matrice multi-dimensională" care conține valori arbitrare: în figură, o matrice tridimensională (un cub) care conține

3^{3}=27

{\ displaystyle 3 ^ {3} = 27}

3 ^ 3 = 27

numere, care reprezintă tensorul Levi-Civita . În mod similar cu ceea ce se întâmplă pentru matricea asociată cu o aplicație liniară , o descriere de acest tip depinde puternic de alegerea unui sistem de referință sau, mai degrabă, a unei baze . Prin urmare, în matematică și fizică, un tensor este definit într-un mod mai intrinsec.

În matematică , noțiunea de tensor generalizează toate structurile definite de obicei în algebră liniară pornind de la un singur spațiu vectorial . Vectorii , endomorfismele , funcționalitățile liniare și produsele scalare sunt tensori deosebiți.

Prima utilizare a conceptului și a termenului tensor apare în domeniul mecanicii continuum , în legătură cu necesitatea de a descrie tensiunile și deformările suferite de corpurile extinse, de unde și formalizarea mecanicii raționale .

Tensorii sunt folosiți pe scară largă în relativitatea generală , pentru a descrie riguros spațiul-timp ca un colector 4-dimensional curbat. Tensorii sunt utilizați în multe alte domenii ale fizicii , inclusiv în special electromagnetismul , mecanica fluidelor și mecanica solidelor . În special, tensorul de tensiune și tensorul de deformare sunt utilizate în știința construcției pentru a defini starea tensiodeformativă în fiecare punct al unei structuri date.

Tensorii sunt utilizați și în geometria diferențială pentru a defini noțiunile geometrice ale distanței , unghiului și volumului pe o varietate diferențiată . Acest lucru se face alegând un tensor metric , adică un produs scalar definit pe spațiul tangent al fiecărui punct. Prin această noțiune, aspectele inerente curburii colectorului sunt apoi definite și studiate. Alți tensori, cum ar fi tensorul Riemann și tensorul Ricci , sunt instrumente importante pentru acest studiu.

Introducere

Din punct de vedere fizic , un tensor este un obiect foarte general, definit pornind de la un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (care poate fi de exemplu spațiu euclidian tridimensional sau spațiu - timp 4-dimensional) și, prin urmare, nu depinde de un sistem de referință particular.

În ceea ce privește un sistem de referință fix, un vector de spațiu este exprimat ca o succesiune de componente numerice ( coordonatele sale), adică un tupl ordonat. Prin schimbarea cadrului de referință, același vector este exprimat cu o secvență diferită. Noua secvență este obținută din cea anterioară conform unor legi precise.

Un tensor, exprimat cu privire la un anumit sistem de referință, este un „tabel de numere” mai general. $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional "care generalizează cazurile $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ (o secvență) e $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ (o matrice ). Pe măsură ce sistemul de referință se schimbă, componentele unui tensor, ca și cele ale unui vector, sunt, de asemenea, modificate prin legi precise.

Noțiunea fizică a unui tensor ca obiect a cărei coordonate depind de sistemul de referință conform legilor fixe (numite covarianță și contravarianță ), este utilă pentru a exprima multe legi fizice.

Noțiunea matematică de tensor se realizează mai riguros prin algebră liniară . În primul rând, în limbajul algebrei liniare un cadru de referință este o bază, iar legea transformării este asigurată de matricea de schimbare a bazei . Mai mult, definiția tensorului poate fi dată fără a utiliza sisteme de referință (adică baze), utilizând noțiunile mai abstracte de aplicație multiliniară și spațiu vectorial dual .

Definiție

Următoarea definiție a tensorului este cea mai intrinsecă , deoarece nu folosește baze și este cea mai utilizată în matematică . O definiție alternativă, utilizată pe scară largă în fizică , necesită o bază fixă.
Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Spațiul dual $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ este spațiul vectorial format din toate funcționalitățile liniare

f:V\to K.

{\ displaystyle f: V \ to K.}

f: V \ to K.

Spaţiu $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ are și dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Elementele $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ se numesc vectori și , respectiv , covectori .

Un tensor este o aplicație multiliniară

T:\underbrace {V\times \ldots \times V} _{h}\times \underbrace {V^{*}\times \ldots \times V^{*}} _{k}\to K

{\ displaystyle T: \ underbrace {V \ times \ ldots \ times V} _ {h} \ times \ underbrace {V ^ {*} \ times \ ldots \ times V ^ {*}} _ {k} \ to K }

T: \ underbrace {V \ times \ ldots \ times V} _h \ times \ underbrace {V ^ * \ times \ ldots \ times V ^ *} _ k \ to K

Un tensor $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ apoi se asociază cu $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ transportatori $v_{1},\ldots ,v_{h}$ ${\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {h}}$ $v_1, \ ldots, v_h$ Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ covectori $w_{1},\ldots ,w_{k}$ ${\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {k}}$ $w_1, \ ldots, w_k$ o urcare

T(v_{1},\dots ,v_{h},w_{1},\dots ,w_{k}).

{\ displaystyle T (v_ {1}, \ dots, v_ {h}, w_ {1}, \ dots, w_ {k}).}

T (v_1, \ dots, v_h, w_1, \ dots, w_k).

Multiliniaritatea asigură faptul că funcția este liniară în fiecare componentă.

Ordinea sau tipul tensorului este perechea $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ . Setul de tensori de toate tipurile $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ este echipat cu o structură naturală a spațiului vectorial având dimensiune $n^{h+k}$ ${\ displaystyle n ^ {h + k}}$ $n ^ {h + k}$ .

Coordonatele

Un vector poate fi descris printr-o coloană de numere, adică printr-o dispunere ordonată unidimensională. O transformare liniară este descrisă printr-o matrice , numită matrice asociată : o grilă bidimensională. Mai general, un tensor de tip $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ este descris de o grilă de dimensiuni $h+k$ ${\ displaystyle h + k}$ $h + k$ . Pentru a face acest lucru, totuși, este necesar să se stabilească o bază : alegerile de baze diferite dau grile care conțin numere diferite.

Coordonatele cu privire la o bază

Este $B=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ ${\ displaystyle B = (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$ $B = (v_1, \ ldots, v_n)$ o bază de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Această bază induce baza duală $B^{*}=(v^{1},\ldots ,v^{n})\,\!$ ${\ displaystyle B ^ {*} = (v ^ {1}, \ ldots, v ^ {n}) \, \!}$ $B ^ * = (v ^ 1, \ ldots, v ^ n) \, \!$ pentru $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ , definit de

v^{i}(v_{j})={\begin{cases}1\ {\rm {se}}\ i=j,\\0\ {\rm {se}}\ i\neq j.\end{cases}}

{\ displaystyle v ^ {i} (v_ {j}) = {\ begin {cases} 1 \ {\ rm {se}} \ i = j, \\ 0 \ {\ rm {se}} \ i \ neq j. \ end {cases}}}

v ^ i (v_j) = \ begin {cases} 1 \ {\ rm if} \ i = j, \\ 0 \ {\ rm if} \ i \ neq j. \ end {cases}

Un tensor $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ de tip $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ este determinată de valori

T_{i_{1},\ldots ,i_{k}}^{j_{1},\ldots ,j_{h}}=T(v^{i_{1}},\ldots ,v^{i_{k}},v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{h}})

{\ displaystyle T_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} ^ {j_ {1}, \ ldots, j_ {h}} = T (v ^ {i_ {1}}, \ ldots, v ^ {i_ {k}}, v_ {j_ {1}}, \ ldots, v_ {j_ {h}})}

T ^ {j_1, \ ldots, j_h} _ {i_1, \ ldots, i_k} = T (v ^ {i_1}, \ ldots, v ^ {i_k}, v_ {j_1}, \ ldots, v_ {j_h})

pe care o asumă asupra elementelor bazei. Fiecare din $h+k$ ${\ displaystyle h + k}$ $h + k$ indicii în $T_{i_{1},\ldots ,i_{k}}^{j_{1},\ldots ,j_{h}}$ ${\ displaystyle T_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} ^ {j_ {1}, \ ldots, j_ {h}}}$ $T_ {i_1, \ ldots, i_k} ^ {j_1, \ ldots, j_h}$ poate varia între $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . În total sunt așadar $n^{h+k}$ ${\ displaystyle n ^ {h + k}}$ $n ^ {h + k}$ valori. Acestea formează coordonatele tensorului față de bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Folosind produsul între tensori , simbolul

v^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes v^{i_{k}}\otimes v_{j_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{j_{h}}

{\ displaystyle v ^ {i_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes v ^ {i_ {k}} \ otimes v_ {j_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {j_ {h}}}

v ^ {i_1} \ otimes \ cdots \ otimes v ^ {i_k} \ otimes v_ {j_1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {j_h}

indică tensorul care este 1 în $(v^{i_{1}},\ldots ,v^{i_{k}},v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{h}})$ ${\ displaystyle (v ^ {i_ {1}}, \ ldots, v ^ {i_ {k}}, v_ {j_ {1}}, \ ldots, v_ {j_ {h}})}$ $(v ^ {i_1}, \ ldots, v ^ {i_k}, v_ {j_1}, \ ldots, v_ {j_h})$ și zero pentru toate celelalte combinații de elemente ale bazelor. Prin urmare, acest tensor are o coordonată de 1 în $(i_{1},\ldots ,i_{k},j_{1},\ldots ,j_{h})$ ${\ displaystyle (i_ {1}, \ ldots, i_ {k}, j_ {1}, \ ldots, j_ {h})}$ $(i_1, \ ldots, i_k, j_1, \ ldots, j_h)$ și zero pentru toate celelalte combinații.

Tensorul generic $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ poate fi exprimat ca o combinație liniară a $n^{h+k}$ ${\ displaystyle n ^ {h + k}}$ $n ^ {h + k}$ produse tensor:

T=T_{i_{1}\dots i_{k}}^{j_{1}\dots j_{h}}\;v_{j_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{j_{h}}\otimes v^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes v^{i_{k}}.

{\ displaystyle T = T_ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ {j_ {1} \ dots j_ {h}} \; v_ {j_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {j_ { h}} \ otimes v ^ {i_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes v ^ {i_ {k}}.}

T = T ^ {j_1 \ dots j_h} _ {i_1 \ dots i_k} \; v_ {j_1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {j_h} \ otimes v ^ {i_1} \ otimes \ cdots \ otimes v ^ {i_k}.

iar această reprezentare este unică.

Prin urmare, un tensor este reprezentat de coordonatele sale față de o bază, dar baza este omisă, iar această scriere se dovedește a fi convenabilă în multe contexte în care alegerea bazei este de fapt irelevantă. Uneori este util să subliniem ordinea existentă între $k+h$ ${\ displaystyle k + h}$ $k + h$ indicii și apoi un spațiu este plasat înaintea indicilor inferiori:

T_{\ \ \ \ \ \ \ \ j_{1},\ldots ,j_{h}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}.

{\ displaystyle T _ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ j_ {1}, \ ldots, j_ {h}} ^ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}.}

T _ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ j_1, \ ldots, j_h} ^ {i_1, \ ldots, i_k}.

Schimbarea bazei

Același subiect în detaliu: Covarianța și Contravarianța .

Dă două baze $B_{1}=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ ${\ displaystyle B_ {1} = (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$ $B_1 = (v_1, \ ldots, v_n)$ Și $B_{2}=(w_{1},\ldots ,w_{n})$ ${\ displaystyle B_ {2} = (w_ {1}, \ ldots, w_ {n})}$ $B_2 = (w_1, \ ldots, w_n)$ , sunt legate printr-o matrice de schimbare de bază $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , definit de relații

w_{j}=\sum _{i=1}^{n}A_{j}^{i}v_{i}\qquad v_{j}=\sum _{i=1}^{n}C_{j}^{i}w_{i}

{\ displaystyle w_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {j} ^ {i} v_ {i} \ qquad v_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n } C_ {j} ^ {i} w_ {i}}

w_j = \ sum_ {i = 1} ^ n A ^ i_j v_i \ qquad v_j = \ sum_ {i = 1} ^ n C ^ i_j w_i

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Este matricea inversă a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , valabil pentru fiecare $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ . Indexul din partea de sus descrie rândul și cel din partea de jos coloana matricei. Deoarece tensorul este un obiect independent de baza aleasă, avem:

T=T_{i_{1}\dots i_{k}}^{j_{1}\dots j_{h}}\;v_{j_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{j_{h}}\otimes v^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes v^{i_{k}}={\hat {T}}_{i_{1}\dots i_{k}}^{j_{1}\dots j_{h}}\;w_{j_{1}}\otimes \cdots \otimes w_{j_{h}}\otimes w^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes w^{i_{k}}.

{\ displaystyle T = T_ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ {j_ {1} \ dots j_ {h}} \; v_ {j_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {j_ { h}} \ otimes v ^ {i_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes v ^ {i_ {k}} = {\ hat {T}} _ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ { j_ {1} \ dots j_ {h}} \; w_ {j_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes w_ {j_ {h}} \ otimes w ^ {i_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes w ^ {i_ {k}}.}

T = T ^ {j_1 \ dots j_h} _ {i_1 \ dots i_k} \; v_ {j_1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {j_h} \ otimes v ^ {i_1} \ otimes \ cdots \ otimes v ^ {i_k} = \ hat T ^ {j_1 \ dots j_h} _ {i_1 \ dots i_k} \; w_ {j_1} \ otimes \ cdots \ otimes w_ {j_h} \ otimes w ^ {i_1} \ otimes \ cdots \ otimes w ^ {i_k}.

unde este ${\hat {T}}_{i_{1},\ldots ,i_{k}}^{j_{1},\ldots ,j_{h}}$ ${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} ^ {j_ {1}, \ ldots, j_ {h}}}$ $\ hat T_ {i_1, \ ldots, i_k} ^ {j_1, \ ldots, j_h}$ sunt componentele tensorului $T_{i_{1},\ldots ,ik}^{j_{1},\ldots ,j_{h}}$ ${\ displaystyle T_ {i_ {1}, \ ldots, ik} ^ {j_ {1}, \ ldots, j_ {h}}}$ $T_ {i_1, \ ldots, ik} ^ {j_1, \ ldots, j_h}$ exprimat în bază $B_{2}$ ${\ displaystyle B_ {2}}$ $B_2$ .
Coordonatele tensorului față de cele două baze sunt, prin urmare, conectate prin relație

{\hat {T}}_{\,i_{1}\ldots i_{k}}^{j_{1}\ldots j_{h}}=\sum _{l_{1},\ldots ,l_{h},m_{1},\ldots ,m_{k}=1}^{n}A_{l_{1}}^{j_{1}}\cdots A_{l_{h}}^{j_{h}}C_{i_{1}}^{m_{1}}\cdots C_{i_{k}}^{m_{k}}T_{m_{1}\ldots m_{k}}^{l_{1}\ldots l_{h}}

{\ displaystyle {\ hat {T}} _ {\, i_ {1} \ ldots i_ {k}} ^ {j_ {1} \ ldots j_ {h}} = \ sum _ {l_ {1}, \ ldots , l_ {h}, m_ {1}, \ ldots, m_ {k} = 1} ^ {n} A_ {l_ {1}} ^ {j_ {1}} \ cdots A_ {l_ {h}} ^ { j_ {h}} C_ {i_ {1}} ^ {m_ {1}} \ cdots C_ {i_ {k}} ^ {m_ {k}} T_ {m_ {1} \ ldots m_ {k}} ^ { l_ {1} \ ldots l_ {h}}}

{\ displaystyle {\ hat {T}} _ {\, i_ {1} \ ldots i_ {k}} ^ {j_ {1} \ ldots j_ {h}} = \ sum _ {l_ {1}, \ ldots , l_ {h}, m_ {1}, \ ldots, m_ {k} = 1} ^ {n} A_ {l_ {1}} ^ {j_ {1}} \ cdots A_ {l_ {h}} ^ { j_ {h}} C_ {i_ {1}} ^ {m_ {1}} \ cdots C_ {i_ {k}} ^ {m_ {k}} T_ {m_ {1} \ ldots m_ {k}} ^ { l_ {1} \ ldots l_ {h}}}

{T}_{\,i_{1}\ldots i_{k}}^{j_{1}\ldots j_{h}}=\sum _{l_{1},\ldots ,l_{h},m_{1},\ldots ,m_{k}=1}^{n}C_{l_{1}}^{j_{1}}\cdots C_{l_{h}}^{j_{h}}A_{i_{1}}^{m_{1}}\cdots A_{i_{k}}^{m_{k}}{\hat {T}}_{m_{1}\ldots m_{k}}^{l_{1}\ldots l_{h}}

{\ displaystyle {T} _ {\, i_ {1} \ ldots i_ {k}} ^ {j_ {1} \ ldots j_ {h}} = \ sum _ {l_ {1}, \ ldots, l_ {h }, m_ {1}, \ ldots, m_ {k} = 1} ^ {n} C_ {l_ {1}} ^ {j_ {1}} \ cdots C_ {l_ {h}} ^ {j_ {h} } A_ {i_ {1}} ^ {m_ {1}} \ cdots A_ {i_ {k}} ^ {m_ {k}} {\ hat {T}} _ {m_ {1} \ ldots m_ {k} } ^ {l_ {1} \ ldots l_ {h}}}

{T} ^ {j_1 \ ldots j_h} _ {\, i_1 \ ldots i_k} = \ sum_ {l_1, \ ldots, l_h, m_1, \ ldots, m_k = 1} ^ n C ^ {j_1} _ {l_1} \ cdots C ^ {j_h} _ {l_h} A ^ {m_1} _ {i_1} \ cdots A ^ {m_k} _ {i_k} \ hat T ^ {l_1 \ ldots l_h} _ {m_1 \ ldots m_k}

Suma se efectuează pe toți indicii $l_{1},\ldots ,l_{h},m_{1},\ldots ,m_{k}$ ${\ displaystyle l_ {1}, \ ldots, l_ {h}, m_ {1}, \ ldots, m_ {k}}$ ${\ displaystyle l_ {1}, \ ldots, l_ {h}, m_ {1}, \ ldots, m_ {k}}$ , fiecare dintre acestea din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ : este deci o sumă de $n^{h+k}$ ${\ displaystyle n ^ {h + k}}$ $n ^ {h + k}$ termeni.
La fiecare bază $E=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ ${\ displaystyle E = (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}$ $E = (e_1, \ ldots, e_n)$ din V este deci posibil să se asocieze $n^{h+k}$ ${\ displaystyle n ^ {h + k}}$ $n ^ {h + k}$ numere reale ${T}_{\,i_{1}\ldots i_{k}}^{j_{1}\ldots j_{h}}$ ${\ displaystyle {T} _ {\, i_ {1} \ ldots i_ {k}} ^ {j_ {1} \ ldots j_ {h}}}$ ${T} ^ {j_1 \ ldots j_h} _ {\, i_1 \ ldots i_k}$ : aceste numere sunt componentele unui tensor dacă și numai dacă, atunci când se efectuează o schimbare de bază, transformarea este descrisă de cele două relații anterioare. Prin urmare, acestea constituie o definiție alternativă a tensorului, adesea utilizată în fizică .

Pentru indicii h din partea de sus, transformarea la care sunt supuse componentele relative corespunde transformării inverse față de cea a schimbării bazei: indicii din partea de sus se numesc, prin urmare, contrarianță .
Pentru indicii k de mai jos, transformarea la care sunt supuse componentele relative corespunde aceleiași transformări suferite de vectorii de bază: indicii de mai jos sunt, prin urmare, numiți covarianță .

De la proprietatea covarianței sau a contravarianței, adică a muta în conformitate cu o anumită lege până la schimbarea bazei, astfel de tensori sunt numiți contravarianți de ori h și covarianți de k ori. Mai mult, un tensor care are numai indici în partea de jos se numește tensor covariant, un tensor care are numai indici în partea de sus se numește tensor contravariant, în timp ce un tensor având ambii indici în partea de sus și în partea de jos se numește tensor mixt .

Notația Einstein

Același subiect în detaliu: notația Einstein .

În cartea Teoria relativității, Albert Einstein introduce o notație care face formulele relativității generale mai concise: „Când un indice apare de două ori într-un termen al unei expresii, este necesar să adăugați în raport cu acesta, cu excepția cazului în care este indicat în mod explicit opusul. "

Tensorii sunt cantități complicate de manipulat: multe operații cu tensori sunt descrise folosind coordonate și este ușor să găsiți expresii cu mulți indici și simboluri. Pentru a simplifica scrierea, este adesea util să folosiți notația lui Einstein : conform acestei notații, indicii repetați , adică care apar cel puțin de două ori în expresie, trebuie adăugați de la 1 la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (dimensiunea spațiului vectorial original $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ). Simbolul însumării pentru acești indici este exclus.

De exemplu, relația care descrie schimbarea coordonatelor la schimbarea unei baze poate fi scrisă mai succint fără a scrie însumările, după cum urmează:

{\hat {T}}_{\,j_{1}\ldots j_{h}}^{i_{1}\ldots i_{k}}=A_{l_{1}}^{i_{1}}\cdots A_{l_{k}}^{i_{k}}C_{j_{1}}^{m_{1}}\cdots C_{j_{h}}^{m_{h}}T_{m_{1}\ldots m_{h}}^{l_{1}\ldots l_{k}}.

{\ displaystyle {\ hat {T}} _ {\, j_ {1} \ ldots j_ {h}} ^ {i_ {1} \ ldots i_ {k}} = A_ {l_ {1}} ^ {i_ { 1}} \ cdots A_ {l_ {k}} ^ {i_ {k}} C_ {j_ {1}} ^ {m_ {1}} \ cdots C_ {j_ {h}} ^ {m_ {h}} T_ {m_ {1} \ ldots m_ {h}} ^ {l_ {1} \ ldots l_ {k}}.}

\ hat {T} ^ {i_1 \ ldots i_k} _ {\, j_1 \ ldots j_h} = A ^ {i_1} _ {l_1} \ cdots A ^ {i_k} _ {l_k} C ^ {m_1} _ {j_1 } \ cdots C ^ {m_h} _ {j_h} T ^ {l_1 \ ldots l_k} _ {m_1 \ ldots m_h}.

Calculul tensorului

Același subiect în detaliu: calculul tensorului .

Două tensori de același tip $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ pot fi adăugate și înmulțite cu un scalar, în conformitate cu regulile utilizate în mod normal pentru funcțiile evaluate într-un câmp. Cu aceste operații, tensorii de tip $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ formează un spațiu vectorial de dimensiune $n^{h+k}$ ${\ displaystyle n ^ {h + k}}$ $n ^ {h + k}$ , egal cu numărul de coordonate ale unui tensor, unde $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este mărimea lui $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Contracția unui tensor

Același subiect în detaliu: Contracția unui tensor .

Contracția unui tensor este o operație care transformă un tensor de tip mixt $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ într-un tensor de tip $(h-1,k-1)$ ${\ displaystyle (h-1, k-1)}$ $(h-1, k-1)$ . Se definește în felul următor: scriem tensorul inițial folosind notația cu indici, apoi luăm două, una superioară și cealaltă inferioară, ne indicăm reciproc cu aceeași literă și interpretăm tensorul rezultat în funcție de notația lui Einstein.
De exemplu, dat $T_{\ \ cd}^{ab}$ ${\ displaystyle T _ {\ \ cd} ^ {ab}}$ $T ^ {ab} _ {\ \ cd}$ , tensorul obținut prin contractarea indicilor $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este următorul:

U_{\ d}^{a}=T_{\ \ id}^{ai}=T_{\ \ 1d}^{a1}+\ldots +T_{\ \ nd}^{an}.

{\ displaystyle U _ {\ d} ^ {a} = T _ {\ \ id} ^ {ai} = T _ {\ \ 1d} ^ {a1} + \ ldots + T _ {\ \ nd} ^ { un}.}

U ^ a _ {\ d} = T ^ {ai} _ {\ \ id} = T ^ {a1} _ {\ \ 1d} + \ ldots + T ^ {an} _ {\ \ nd}.

Rezultatul acestei operații este efectiv un tensor. Acest fapt nu este banal: de exemplu, acest lucru nu se întâmplă în general dacă doi indici superiori sau inferiori se contractă.

Produs între tensori

Același subiect în detaliu: Produs între tensori .

Doi tensori S și T pot fi înmulțiți cu o operație numită produs tensorial, iar rezultatul este un tensor a cărui ordine este suma ordinelor tensorilor de pornire.
Când este definit ca aplicații multiliniare, produsul tensor este definit doar ca:

(S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),

{\ displaystyle (S \ otimes T) (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}, v_ {n + 1}, \ ldots, v_ {n + m}) = S (v_ {1}, \ ldots , v_ {n}) T (v_ {n + 1}, \ ldots, v_ {n + m}),}

(S \ otimes T) (v_1, \ ldots, v_n, v_ {n + 1}, \ ldots, v_ {n + m}) = S (v_1, \ ldots, v_n) T (v_ {n + 1}, \ ldots, v_ {n + m}),

care produce o aplicație multiliniară suplimentară. În ceea ce privește componentele, acestea se înmulțesc:

(S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+n}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+m}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+n}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+m}},

{\ displaystyle (S \ otimes T) _ {j_ {1} \ ldots j_ {k} j_ {k + 1} \ ldots j_ {k + n}} ^ {i_ {1} \ ldots i_ {l} i_ { l + 1} \ ldots i_ {l + m}} = S_ {j_ {1} \ ldots j_ {k}} ^ {i_ {1} \ ldots i_ {l}} T_ {j_ {k + 1} \ ldots j_ {k + n}} ^ {i_ {l + 1} \ ldots i_ {l + m}},}

(S \ otimes T) ^ {i_1 \ ldots i_l i_ {l + 1} \ ldots i_ {l + m}} _ {j_1 \ ldots j_k j_ {k + 1} \ ldots j_ {k + n}} = S ^ {i_1 \ ldots i_l} _ {j_1 \ ldots j_k} T ^ {i_ {l + 1} \ ldots i_ {l + m}} _ {j_ {k + 1} \ ldots j_ {k + n}},

Deci, dacă S este de tipul ( k , l ) și T este de tipul ( n , m ), produsul tensor S ⊗ T este de tipul ( k + n , l + m ).

Permutarea indicilor

Permutând indicii inferiori sau superiori ai unui tensor, se obține un alt tensor de același ordin cu cel anterior. De exemplu, dacă $T_{ab}$ ${\ displaystyle T_ {ab}}$ $T_ {ab}$ este un tensor, $T_{ba}$ ${\ displaystyle T_ {ba}}$ $T_ {ba}$ este un alt tensor. Această operațiune corespunde permutării variabilelor din domeniul tensorial, inițial definit ca o aplicație multiliniară. Nu este posibil să schimbați indici mai mari cu indici mai mici. Permutarea indicilor caracterizează și simetria unui tensor:

Un tensor este simetric dacă nu se modifică după orice permutare a indicilor în sus sau în jos. Un tensor de ordine $(0,2)$ ${\ displaystyle (0,2)}$ $(0,2)$ sau $(2,0)$ ${\ displaystyle (2,0)}$ $(2.0)$ este simetric dacă și numai dacă coordonatele sale formează o matrice simetrică . Această proprietate a matricelor nu depinde de fapt de baza aleasă (adică este păstrată de congruența dintre matrice ).
Un tensor este antisimetric sau hemimetric dacă, după orice permutare a indicilor, se schimbă numai cu un singur semn, egal cu semnul permutării . Un tensor de ordine $(0,2)$ ${\ displaystyle (0,2)}$ $(0,2)$ sau $(2,0)$ ${\ displaystyle (2,0)}$ $(2.0)$ este antisimetric dacă și numai dacă coordonatele sale formează o matrice antisimetrică .

Într-un tensor antisimetric, coordonatele în care un indice se repetă cel puțin de două ori sunt toate nule. În cazul matricilor, acest lucru este echivalent cu faptul că valorile de pe diagonala principală sunt toate nule. De exemplu, într-un tensor antisimetric $T_{abc}$ ${\ displaystyle T_ {abc}}$ $T_ {abc}$ fiecare valoare $T_{iij}$ ${\ displaystyle T_ {iij}}$ $T_ {iij}$ este nul.

Din acest fapt rezultă că un tensor antisimetric de tip $(h,k)$ ${\ displaystyle (h, k)}$ $(h, k)$ cu $k>n$ ${\ displaystyle k> n}$ $k> n$ sau $h>n$ ${\ displaystyle h> n}$ $h> n$ este neapărat nul, pentru că nu poate avea $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ (sau $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ ) valori diferite în ansamblu $\{1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}$ $\ {1, \ ldots, n \}$ . Mai mult, există un singur tensor de ordine antisimetric, cu excepția cazului în care este înmulțit cu scalar $(n,0)$ ${\ displaystyle (n, 0)}$ $(n, 0)$ : determinantul sau tensorul Levi-Civita .

Tensorii antisimetrici sunt utilizați în construcția formelor diferențiale .

Calcul diferențial

Același subiect în detaliu: derivat Covariant .

Derivata covariantă extinde conceptul obișnuit de derivată direcțională prezentă în spațiul euclidian obișnuit la o varietate arbitrară diferențiată . Prin intermediul derivatei covariante este posibil să se calculeze derivata unui câmp vector sau a unui câmp tensorial mai general într-un punct, de-a lungul unei direcții fixe. Spre deosebire de ceea ce se întâmplă în calculul diferențial obișnuit pentru di deschis $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , în contextul mai general al varietăților diferențiate, totuși, pentru a defini în mod unic o derivată, este necesar să se stabilească o altă structură, numită conexiune . O conexiune poate fi descrisă în mod concret prin simbolurile sale Christoffel .
Derivata covariantă a unui tensor de tip $(k,h)$ ${\ displaystyle (k, h)}$ $(k, h)$ este un tensor de tip $(h,k+1)$ ${\ displaystyle (h, k + 1)}$ $(h, k + 1)$ . În prezența unei varietăți riemanniene (adică cu un tensor metric definit pozitiv), există o conexiune canonică, numită conexiune Levi-Civita : în acest caz este deci posibil să se utilizeze noțiunea de derivată fără a stabili nicio altă structură.
Prin derivata covariantă se definesc diferiți tensori care măsoară curbura colectorului, inclusiv tensorul Riemann și tensorul Ricci .

Câmpul tensorial

În diferite discipline fizice și matematice, componentele unui tensor sunt funcții și, prin urmare, se numește câmp tensorial. În mod similar cu câmpul vectorial , un câmp tensor este obținut prin asocierea fiecărui punct al unui distribuitor diferențiat , de exemplu un set deschis de spațiu euclidian. $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , un tensor definit pe spațiul tangent în punct. Mai mult, acest tensor trebuie să varieze continuu, mai precis într-un mod diferențiat pe măsură ce punctul din colector variază. Această condiție poate fi exprimată cerând ca coordonatele tensorului exprimate într-o hartă , adică într-un sistem local de referință, să varieze continuu (sau într-un mod diferențiat) pe măsură ce punctul variază, iar această condiție nu depinde de Hartă.

Componentele unui câmp tensorial în raport cu două hărți diferite sunt conectate prin legi de transformare adecvate, exprimate în termeni de derivate parțiale ale funcțiilor de coordonate ${\bar {x}}_{i}(x_{1},\ldots ,x_{k})$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k})}$ $\ bar {x} _i (x_1, \ ldots, x_k)$ în felul următor:

{\hat {T}}_{i_{n+1}\dots i_{m}}^{i_{1}\dots i_{n}}({\bar {x}}_{1},\ldots ,{\bar {x}}_{k})={\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{1}}}{\partial x^{j_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{n}}}{\partial x^{j_{n}}}}{\frac {\partial x^{j_{n+1}}}{\partial {\bar {x}}^{i_{n+1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{m}}}{\partial {\bar {x}}^{i_{m}}}}T_{j_{n+1}\dots j_{m}}^{j_{1}\dots j_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{k}).

{\ displaystyle {\ hat {T}} _ {i_ {n + 1} \ dots i_ {m}} ^ {i_ {1} \ dots i_ {n}} ({\ bar {x}} _ {1} , \ ldots, {\ bar {x}} _ {k}) = {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {i_ {1}}} {\ partial x ^ {j_ {1}}} } \ cdots {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {i_ {n}}} {\ partial x ^ {j_ {n}}}} {\ frac {\ partial x ^ {j_ {n + 1}}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {i_ {n + 1}}}} cdots {\ frac {\ partial x ^ {j_ {m}}} {\ partial {\ bar {x }} ^ {i_ {m}}}} T_ {j_ {n + 1} \ dots j_ {m}} ^ {j_ {1} \ dots j_ {n}} (x_ {1}, \ ldots, x_ { k}).}

\ hat {T} ^ {i_1 \ dots i_n} _ {i_ {n + 1} \ dots i_m} (\ bar {x} _1, \ ldots, \ bar {x} _k) = \ frac {\ partial \ bar {x} ^ {i_1}} {\ partial x ^ {j_1}} \ cdots \ frac {\ partial \ bar {x} ^ {i_n}} {\ partial x ^ {j_n}} \ frac {\ partial x ^ {j_ {n + 1}}} {\ partial \ bar {x} ^ {i_ {n + 1}}} \ cdots \ frac {\ partial x ^ {j_m}} {\ partial \ bar {x} ^ { i_m}} T ^ {j_1 \ dots j_n} _ {j_ {n + 1} \ dots j_m} (x_1, \ ldots, x_k).

Tensor metric

Același subiect în detaliu: Tensor metric .

Câmpurile tensoriale sunt un instrument fundamental în geometria diferențială : sunt utilizate pe scară largă pentru a defini pe o varietate diferențiată noțiunile de distanță între puncte, unghi, lungimea unei curbe, geodezică , curbură , volum etc. Instrumentul care permite definirea acestor concepte este tensorul metric : este un tensor de tip $(2,0)$ ${\ displaystyle (2,0)}$ $(2.0)$ care măsoară produsul scalar a doi vectori de spațiu tangenți la un punct.

Plecând de la tensorul metric, se definesc alți tensori, adesea mai complicați, care captează curbura colectorului. Dintre acestea, tensorul Riemann și tensorul Ricci . Aceasta din urmă este esențială în formularea relativității generale , deoarece este prezentă în ecuația de câmp a lui Einstein .

Forme diferențiale

Același subiect în detaliu: Forma diferențială .

Formele diferențiale sunt câmpuri tensoriale în care tensorul asociat fiecărui punct este antisimetric și de tip $(k,0)$ ${\ displaystyle (k, 0)}$ $(k, 0)$ . Acestea sunt un instrument util din esență un singur motiv: o formă diferențială de tip $(k,0)$ ${\ displaystyle (k, 0)}$ $(k, 0)$ poate fi integrat pe o sub-varietate de dimensiuni $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Formele diferențiale sunt utile și pentru definirea cohomologiei de Rham , un instrument important în topologia algebrică și stau la baza definirii structurii simplectice .

Exemple

Tensorul generalizează multe noțiuni definite în algebră liniară pornind de la un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Un tensor de tip $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ este o urcare.
Un tensor de tip $(1,0)$ ${\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ este un vector al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .
Un tensor de tip $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ este un covector, adică un element al spațiului dual $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ .
Un tensor de tip $(1,1)$ ${\ displaystyle (1,1)}$ $(1.1)$ reprezintă un endomorfism $f:V\to V$ ${\ displaystyle f: V \ to V}$ $f: V \ to V$ prin relație $T(v,w)=w(f(v)).$ ${\ displaystyle T (v, w) = w (f (v)).}$ ${\ displaystyle T (v, w) = w (f (v)).}$ Endomorfismul poate fi descris ca fiind $v^{i}\mapsto T_{\ j}^{i}v^{j}$ ${\ displaystyle v ^ {i} \ mapsto T _ {\ j} ^ {i} v ^ {j}}$ $v ^ i \ mapsto T ^ i _ {\ j} v ^ j$ , iar imaginea este rezultatul unui produs de doi tensori și o contracție.
Un tensor de tip $(2,0)$ ${\ displaystyle (2,0)}$ $(2.0)$ este un bivector .
Un tensor de tip $(0,2)$ ${\ displaystyle (0,2)}$ $(0,2)$ este o formă biliniară , cum ar fi produsele scalare . Se asociază cu doi vectori $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ urcare $T_{ij}v^{i}w^{j}$ ${\ displaystyle T_ {ij} v ^ {i} w ^ {j}}$ $T_ {ij} v ^ iw ^ j$ , obținut prin contractarea a două perechi de indici. Forma biliniară estesimetrică dacă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este, și asta dacă $T_{ij}=T_{ji}$ ${\ displaystyle T_ {ij} = T_ {ji}}$ $T_ {ij} = T_ {ji}$ pentru fiecare $the, j$ ${\ displaystyle i, j}$ $i, j$ .
Un tensor de tip $(2,1)$ ${\ displaystyle (2,1)}$ $(2.1)$ definește produsul vectorial în spațiul euclidian tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . Poate fi definit ca un tensor $T_{\ jk}^{i}$ ${\ displaystyle T _ {\ jk} ^ {i}}$ $T ^ i _ {\ jk}$ ale cărei componente față de baza canonică sunt aceleași cu simbolul Levi-Civita. Produsul vector al a doi vectori $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ este deci dat de $T_{\ jk}^{i}v^{j}w^{k}.$ ${\ displaystyle T _ {\ jk} ^ {i} v ^ {j} w ^ {k}.}$ $T ^ i _ {\ jk} v ^ jw ^ k.$
Un tensor de tip $(0,3)$ ${\ displaystyle (0,3)}$ ${\ displaystyle (0,3)}$ este o formă triliniară , cum ar fi produsul mixt .

Delta Kronecker

Același subiect în detaliu: Delta Kronecker .

Delta Kronecker

\delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se }}i=j\\0&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ delta _ {j} ^ {i} = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se}} i = j \\ 0 & {\ mbox {se}} i \ neq j \ end {matrix}} \ right.}

\ delta ^ i_j = \ left \ {\ begin {matrix} 1 & \ mbox {se} i = j \\ 0 & \ mbox {se} i \ n și j \ end {matrix} \ right.

este un tensor de tip (1,1) care reprezintă identitatea autoadjunctă a endomorfismului $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Coordonatele sale sunt aceleași în orice bază.

Levi-Civita tensor

Același subiect în detaliu: simbol Levi-Civita și Determinant (algebră) .

Sia $V=\mathbb {R} ^{n}$ $V=\mathbb {R} ^{n}$ $V = \R^n$ lo spazio euclideo di dimensione $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ . Il simbolo di Levi-Civita

\epsilon _{i_{1},\ldots ,i_{n}}:={\begin{cases}+1&{\text{se }}(i_{1},\ldots ,i_{n}){\text{ permutazione pari di }}(1,\ldots ,n)\\-1&{\text{se }}(i_{1},\ldots ,i_{n}){\text{ permutazione dispari di }}(1,\ldots ,n)\\0&{\text{se almeno due indici coincidono}}\end{cases}}

\epsilon _{i_{1},\ldots ,i_{n}}:={\begin{cases}+1&{\text{se }}(i_{1},\ldots ,i_{n}){\text{ permutazione pari di }}(1,\ldots ,n)\\-1&{\text{se }}(i_{1},\ldots ,i_{n}){\text{ permutazione dispari di }}(1,\ldots ,n)\\0&{\text{se almeno due indici coincidono}}\end{cases}}

\epsilon_{i_1,\ldots, i_n} := \begin{cases} +1 & \text{se }(i_1,\ldots,i_n) \text{ permutazione pari di } (1,\ldots,n) \\ -1 & \text{se }(i_1,\ldots,i_n) \text{ permutazione dispari di } (1,\ldots,n) \\ 0 & \text{se almeno due indici coincidono} \end{cases}

definisce un tensore, se interpretato rispetto alla base canonica di $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ . Il tensore di Levi-Civita è un tensore di tipo $(n,0)$ ${\displaystyle (n,0)}$ $(n,0)$ e coincide con il determinante valutato sulle colonne di una matrice quadrata: il determinante è infatti un'applicazione multilineare sulle $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ colonne di una matrice. Rispetto a un cambiamento di base, le coordinate del tensore cambiano per una costante moltiplicativa.

Bibliografia

( EN ) CTJ Dodson, Tim Poston (1991): Tensor Geometry. The Geometric Viewpoint and its Use , 2nd ed., Springer, ISBN 3-540-52018-X
( EN ) James G. Simmonds: A brief on Tensor Analysis , Springer, 2nd edition, 1997

In relazione alla geometria differenziale :

( EN ) John Lee, Introduction to Smooth Manifolds , Springer, 2002. - Copre tutti i risultati fondamentali in modo dettagliato. L'autore si impegna molto per dare anche una visione intuitiva e motivata dell'argomento.
( EN ) James Munkres, Analysis on Manifolds , Westview Press, 1990. - Semplice da seguire, scritto molto bene (quasi come Topology , dello stesso autore). Tratta solo varietà in ambiente reale. Gli unici prerequisiti sono algebra lineare di base e calcolo in più variabili (non è essenziale ma aiuta).
( EN ) Richard Bishop, Samuel Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds , Dover, 1980. - Tratta più cose rispetto al Lee ( varietà riemanniane e applicazioni fisiche), è scorrevole e chiaro, ma decisamente più sintetico e con meno esercizi.

Per un punto di vista algebrico:

Serge Lang, Algebra , Springer, 2005. - Una classica introduzione all'algebra a livello di laurea specialistica. Si parla di prodotto tensoriale tra spazi vettoriali da una prospettiva algebrica (universale), prerequisito fondamentale per trattare argomenti come l' algebra commutativa e la geometria algebrica .
Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra , AMS Chelsea, 1999. - Altro classico, scritto da due matematici che hanno dato contributi importanti in geometria.

Voci correlate

Altri progetti

Wikizionario contiene il lemma di dizionario « tensore »
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su tensore

Collegamenti esterni

Che cos'è un tensore , su ulisse.sissa.it . URL consultato il 12 luglio 2008 (archiviato dall' url originale il 12 giugno 2008) .
( EN ) Dissemination of IT for the Promotion of Materials Science (DoITPoMS), "Tensors in Materials Science" , su doitpoms.ac.uk .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 31131 · NDL ( EN , JA ) 00572865

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica