Spațiu dual

În matematică spațiul dual sau spațiul dual algebric al unui $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ - spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (cu $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ un câmp), indicat cu $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ , este un anumit spațiu vectorial care se repetă în multe aplicații ale matematicii și fizicii, fiind fundamentul noțiunii de tensor .

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ A $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ - spațiu vectorial . Spațiul dual al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , indicat cu $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ , este alcătuit din toate funcționalitățile liniare

f\colon V\to \mathbb {K} .

{\ displaystyle f \ colon V \ to \ mathbb {K}.}

{\ displaystyle f \ colon V \ to \ mathbb {K}.}

Suma a două funcționale liniare $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , și produsul între $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și o urcare $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ sunt definite după cum urmează:

(f+g)(w):=f(w)+g(w)

{\ displaystyle (f + g) (w): = f (w) + g (w)}

(f + g) (w): = f (w) + g (w)

(\alpha f)(w):=\alpha f(w)

{\ displaystyle (\ alpha f) (w): = \ alpha f (w)}

(\ alfa f) (w): = \ alfa f (w)

Cu aceste operații, întregul $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ își asumă efectiv structura algebrică a spațiului vectorial. ^[1] În simboluri, putem scrie:

V^{*}={\rm {Hom}}(V,\mathbb {K} )

{\ displaystyle V ^ {*} = {\ rm {Hom}} (V, \ mathbb {K})}

{\ displaystyle V ^ {*} = {\ rm {Hom}} (V, \ mathbb {K})}

unde notația ${\rm {Hom}}(V,W)$ ${\ displaystyle {\ rm {Hom}} (V, W)}$ ${{\ rm {Hom}}} (V, W)$ indică în general spațiul vectorial format din toate hărțile liniare între două spații vectoriale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ .

Baza duală

Același subiect în detaliu: bază duală .

Dimensiune finită

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are dimensiuni finite $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , asa de $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ are aceeași dimensiune ca $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . ^[2] Folosind matrici se arată că

\dim \;{\rm {Hom}}(V,W)=\dim V\cdot \dim W.

{\ displaystyle \ dim \; {\ rm {Hom}} (V, W) = \ dim V \ cdot \ dim W.}

\ dim \; {{\ rm {Hom}}} (V, W) = \ dim V \ cdot \ dim W.

În acest caz, obținem:

\dim \;V^{*}=\dim \;{\rm {Hom}}(V,\mathbb {K} )=n\cdot 1=n

{\ displaystyle \ dim \; V ^ {*} = \ dim \; {\ rm {Hom}} (V, \ mathbb {K}) = n \ cdot 1 = n}

{\ displaystyle \ dim \; V ^ {*} = \ dim \; {\ rm {Hom}} (V, \ mathbb {K}) = n \ cdot 1 = n}

.

Având în vedere o bază de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , este posibil să se construiască o bază duală de $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ în felul următor. De sine

B=\{{\textbf {v}}_{1},\dots ,{\textbf {v}}_{n}\}

{\ displaystyle B = \ {{\ textbf {v}} _ {1}, \ dots, {\ textbf {v}} _ {n} \}}

{\ displaystyle B = \ {{\ textbf {v}} _ {1}, \ dots, {\ textbf {v}} _ {n} \}}

este o bază pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , baza duală

B^{*}=\{{\textbf {v}}_{1}^{*},\dots ,{\textbf {v}}_{n}^{*}\}

{\ displaystyle B ^ {*} = \ {{\ textbf {v}} _ {1} ^ {*}, \ dots, {\ textbf {v}} _ {n} ^ {*} \}}

{\ displaystyle B ^ {*} = \ {{\ textbf {v}} _ {1} ^ {*}, \ dots, {\ textbf {v}} _ {n} ^ {*} \}}

este definit de relațiile:

{\textbf {v}}_{i}^{*}({\textbf {v}}_{j})=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se }}i=j\\0&{\mbox{se }}i\neq j\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle {\ textbf {v}} _ {i} ^ {*} ({\ textbf {v}} _ {j}) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se} } i = j \\ 0 & {\ mbox {se}} i \ neq j \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle {\ textbf {v}} _ {i} ^ {*} ({\ textbf {v}} _ {j}) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {se} } i = j \\ 0 & {\ mbox {se}} i \ neq j \ end {matrix}} \ right.}

Cu alte cuvinte, funcționalul $v_{i}^{*}$ ${\ displaystyle v_ {i} ^ {*}}$ $v_ {i} ^ {*}$ este definit ca singurul funcțional pe care îl trimite ${\textbf {v}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}} _ {i}}$ în 1 și toate celelalte elemente ${\textbf {v}}_{j}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}} _ {j}}$ a bazei în zero.

Deci aplicația:

{\begin{matrix}\phi _{B}:V\longrightarrow V^{*}\\\qquad \qquad {\textbf {v}}_{i}\longmapsto \phi _{B}({\textbf {v}}_{i})={\textbf {v}}_{i}^{*}\end{matrix}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ phi _ {B}: V \ longrightarrow V ^ {*} \\\ qquad \ qquad {\ textbf {v}} _ {i} \ longmapsto \ phi _ {B} ( {\ textbf {v}} _ {i}) = {\ textbf {v}} _ {i} ^ {*} \ end {matrix}} \ qquad \ forall i \ in \ {1, \ dots, n \ }}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ phi _ {B}: V \ longrightarrow V ^ {*} \\\ qquad \ qquad {\ textbf {v}} _ {i} \ longmapsto \ phi _ {B} ( {\ textbf {v}} _ {i}) = {\ textbf {v}} _ {i} ^ {*} \ end {matrix}} \ qquad \ forall i \ in \ {1, \ dots, n \ }}

este un izomorfism care, totuși, depinde de alegerea bazei, de aceea nu este canonic.

Mai concret, dacă $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este spațiul vectorilor de coloană cu n componente, spațiul dual $({\mathbb {R} ^{n}})^{*}$ ${\ displaystyle ({\ mathbb {R} ^ {n}}) ^ {*}}$ $({\ mathbb {R} ^ {n}}) ^ {*}$ este spațiul vectorilor rând cu n componente: fiecare vector rând ${\textbf {v}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}}}$ poate fi de fapt interpretat ca o funcționalitate care trimite vectorul coloanei ${\textbf {w}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {w}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {w}}}$ în alpinism ${\textbf {v}}\cdot {\textbf {w}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}} \ cdot {\ textbf {w}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}} \ cdot {\ textbf {w}}}$ obținută prin multiplicare ${\textbf {v}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}}}$ Și ${\textbf {w}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {w}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {w}}}$ prinînmulțirea obișnuităîntre matrice . În acest caz, dacă $\{{\textbf {e}}_{1},\dots ,{\textbf {e}}_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {{\ textbf {e}} _ {1}, \ dots, {\ textbf {e}} _ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {{\ textbf {e}} _ {1}, \ dots, {\ textbf {e}} _ {n} \}}$ este baza canonică a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , asa de ${\textbf {e}}_{i}^{*}$ ${\ displaystyle {\ textbf {e}} _ {i} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {e}} _ {i} ^ {*}}$ este pur și simplu transpunerea ${\textbf {e}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ textbf {e}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {e}} _ {i}}$ .

Dimensiune infinită

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are o dimensiune infinită, construcția ${\textbf {e}}^{i}$ ${\ displaystyle {\ textbf {e}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {e}} ^ {i}}$ descris mai sus produce vectori independenți în $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ , dar nu o bază: acești vectori nu sunt suficienți pentru a genera toate funcționalitățile liniare. Intr-adevar $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ este mai mare decât $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , în sensul că este infinit cu o mai mare cardinalitate .

De exemplu, spațiul $\mathbb {R} ^{\infty }$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$ $\ mathbb {R} ^ {{\ infty}}$ de succesiuni de numere reale care au doar un număr finit de elemente diferite de zero are dimensiunea numărabilă . Spațiul dual poate fi identificat cu spațiul $\mathbb {R} ^{(\omega )}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {(\ omega)}}$ $\ mathbb {R} ^ {{(\ omega)}}$ din toate secvențele numerelor reale și are o dimensiune mai mult decât numărabilă (are aceeași cardinalitate ca $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ). Identificarea are loc după cum urmează: o secvență ( $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ ) din $\mathbb {R} ^{(\omega )}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {(\ omega)}}$ $\ mathbb {R} ^ {{(\ omega)}}$ este funcționalul care trimite elementul ( $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ ) din $\mathbb {R} ^{(\infty )}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {(\ infty)}}$ $\ mathbb {R} ^ {{(\ infty)}}$ în alpinism $\sum _{n}a_{n}x_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n} x_ {n}}$ $\ sum _ {n} a_ {n} x_ {n}$ .

Spațiu bidirecțional

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ A $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ - spațiu vectorial . Atunci $V^{**}$ ${\ displaystyle V ^ {**}}$ $V ^ {**}$ este definit astfel:

V^{**}=(V^{*})^{*}=\operatorname {Hom} (V^{*},\mathbb {K} )

{\ displaystyle V ^ {**} = (V ^ {*}) ^ {*} = \ operatorname {Hom} (V ^ {*}, \ mathbb {K})}

{\ displaystyle V ^ {**} = (V ^ {*}) ^ {*} = \ operatorname {Hom} (V ^ {*}, \ mathbb {K})}

și se numește spațiul bidual al lui V.

De aici și spațiul bidual $V^{**}$ ${\ displaystyle V ^ {**}}$ $V ^ {**}$ a unui spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se obține luând dualul spațiului $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ .

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are dimensiunea finită, aceasta este întotdeauna aceeași dimensiune ca $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

{\begin{matrix}\phi _{B^{*}}:V^{*}\longrightarrow V^{**}\\\qquad \qquad {\textbf {v}}_{i}^{*}\longmapsto \phi _{B^{*}}({\textbf {v}}_{i}^{*})={\textbf {v}}_{i}^{**}\end{matrix}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ phi _ {B ^ {*}}: V ^ {*} \ longrightarrow V ^ {**} \\\ qquad \ qquad {\ textbf {v}} _ {i} ^ {*} \ longmapsto \ phi _ {B ^ {*}} ({\ textbf {v}} _ {i} ^ {*}) = {\ textbf {v}} _ {i} ^ {**} \ end {matrix}} \ qquad \ forall i \ in \ {1, \ dots, n \}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ phi _ {B ^ {*}}: V ^ {*} \ longrightarrow V ^ {**} \\\ qquad \ qquad {\ textbf {v}} _ {i} ^ {*} \ longmapsto \ phi _ {B ^ {*}} ({\ textbf {v}} _ {i} ^ {*}) = {\ textbf {v}} _ {i} ^ {**} \ end {matrix}} \ qquad \ forall i \ in \ {1, \ dots, n \}}

este un izomorfism (necanonic) din $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ în $V^{**}$ ${\ displaystyle V ^ {**}}$ $V ^ {**}$ .

Spre deosebire de $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ , de sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ spațiul are dimensiune finită $V^{**}$ ${\ displaystyle V ^ {**}}$ $V ^ {**}$ este canonic izomorf a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , printr-un izomorfism canonic $\Psi :V\to V^{**}$ ${\ displaystyle \ Psi: V \ to V ^ {**}}$ $\ Psi: V \ to V ^ {{**}}$ care nu depinde de nicio alegere de bază, definită după cum urmează:

(\Psi ({\textbf {v}}))(\phi )=\phi ({\textbf {v}})

{\ displaystyle (\ Psi ({\ textbf {v}})) (\ phi) = \ phi ({\ textbf {v}})}

{\ displaystyle (\ Psi ({\ textbf {v}})) (\ phi) = \ phi ({\ textbf {v}})}

unde este ${\textbf {v}}\in V$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}} \ în V}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}} \ în V}$ Și $\phi \in V^{*}$ ${\ displaystyle \ phi \ în V ^ {*}}$ $\ phi \ în V ^ {*}$ .

Tot pentru fiecare $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ baza $\Psi =\phi _{B^{*}}\circ \phi _{B}$ ${\ displaystyle \ Psi = \ phi _ {B ^ {*}} \ circ \ phi _ {B}}$ $\ Psi = \ phi _ {{B ^ {*}}} \ circ \ phi _ {B}$ .

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ harta are o dimensiune infinită $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ este doar injectiv.

Anulare

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ A $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ - spațiul vectorial $\Psi :V\to V^{**}$ ${\ displaystyle \ Psi: V \ to V ^ {**}}$ $\ Psi: V \ to V ^ {{**}}$ izomorfismul canonic din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $V^{**}$ ${\ displaystyle V ^ {**}}$ $V ^ {**}$ și fie $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ un element de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Atunci:

\operatorname {Ann} (v)=\operatorname {Ker} (\Psi (v))=\{f\in V^{*}|\;f(v)=0\}

{\ displaystyle \ operatorname {Ann} (v) = \ operatorname {Ker} (\ Psi (v)) = \ {f \ in V ^ {*} | \; f (v) = 0 \}}

{\ displaystyle \ operatorname {Ann} (v) = \ operatorname {Ker} (\ Psi (v)) = \ {f \ in V ^ {*} | \; f (v) = 0 \}}

și se numește anulator al $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Dacă extindeți această definiție la orice subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ primesti:

\mathrm {Ann} [S]=\bigcap _{s\in S}\mathrm {Ann} (s)=\bigcap _{s\in S}\operatorname {Ker} (\Psi (s))=\{f\in V^{*}|\;f[S]=\{0\}\}=\{f\in V^{*}|\;f_{|S}=0\}

{\ displaystyle \ mathrm {Ann} [S] = \ bigcap _ {s \ in S} \ mathrm {Ann} (s) = \ bigcap _ {s \ in S} \ operatorname {Ker} (\ Psi (s) ) = \ {f \ in V ^ {*} | \; f [S] = \ {0 \} \} = \ {f \ in V ^ {*} | \; f_ {| S} = 0 \} }

{\ displaystyle \ mathrm {Ann} [S] = \ bigcap _ {s \ in S} \ mathrm {Ann} (s) = \ bigcap _ {s \ in S} \ operatorname {Ker} (\ Psi (s) ) = \ {f \ in V ^ {*} | \; f [S] = \ {0 \} \} = \ {f \ in V ^ {*} | \; f_ {| S} = 0 \} }

Proprietate

Pentru toți $S\subseteq V$ ${\ displaystyle S \ subseteq V}$ $S \ subseteq V$ , $\mathrm {Ann} [S]$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} [S]}$ ${\ mathrm {Ann}} [S]$ este un subspatiu vectorial al $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ ;
$S\subseteq T$ ${\ displaystyle S \ subseteq T}$ $S \ subseteq T$ implica $\mathrm {Ann} [T]\subseteq \mathrm {Ann} [S]$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} [T] \ subseteq \ mathrm {Ann} [S]}$ ${\ mathrm {Ann}} [T] \ subseteq {\ mathrm {Ann}} [S]$ ;
$\mathrm {Ann} [S]=\mathrm {Ann} [\mathrm {Span} (S)]$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} [S] = \ mathrm {Ann} [\ mathrm {Span} (S)]}$ ${\ mathrm {Ann}} [S] = {\ mathrm {Ann}} [{\ mathrm {Span}} (S)]$ ;
De sine $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este un subspatiu vectorial al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $\dim \;U=k$ ${\ displaystyle \ dim \; U = k}$ $\ dim \; U = k$ , asa de $\dim \;\mathrm {Ann} [U]=n-k$ ${\ displaystyle \ dim \; \ mathrm {Ann} [U] = nk}$ $\ dim \; {\ mathrm {Ann}} [U] = n-k$ ;
$f\in V^{*}$ ${\ displaystyle f \ in V ^ {*}}$ $f \ în V ^ {*}$ implica $\mathrm {Ann} (f)=\Psi [\operatorname {Ker} f]$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} (f) = \ Psi [\ operatorname {Ker} f]}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} (f) = \ Psi [\ operatorname {Ker} f]}$ ;
De sine $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este un subspatiu vectorial al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , asa de $\mathrm {Ann} [\mathrm {Ann} [U]]=\Psi [U]$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ann} [\ mathrm {Ann} [U]] = \ Psi [U]}$ ${\ mathrm {Ann}} [{\ mathrm {Ann}} [U]] = \ Psi [U]$ .

Transpunerea unei hărți liniare

De sine $f:V\to W$ ${\ displaystyle f: V \ to W}$ $f: V \ to W$ este o aplicație liniară între spații vectoriale, transpunerea sa este definită $^{t}f:W^{*}\to V^{*}$ ${\ displaystyle ^ {t} f: W ^ {*} \ to V ^ {*}}$ $^ {t} f: W ^ {*} \ to V ^ {*}$ în felul următor:

({}^{t}f)(\phi )=\phi \circ f

{\ displaystyle ({} ^ {t} f) (\ phi) = \ phi \ circ f}

({} ^ {t} f) (\ phi) = \ phi \ circ f

unde este $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este un funcțional în $W^{*}$ ${\ displaystyle W ^ {*}}$ $W ^ {*}$ .

Cu alte cuvinte, leagă un funcțional pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ la unul pe $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ prin compunerea cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Functia $^{t}f:W^{*}\to V^{*}$ ${\ displaystyle ^ {t} f: W ^ {*} \ to V ^ {*}}$ $^ {t} f: W ^ {*} \ to V ^ {*}$ este liniar și $^{t}(^{t}f)=f$ ${\ displaystyle ^ {t} (^ {t} f) = f}$ $^ {t} (^ {t} f) = f$ dacă nu identificare $\Psi _{1}:\;V\to V^{**}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {1}: \; V \ to V ^ {**}}$ $\ Psi _ {1}: \; V \ to V ^ {{**}}$ Și $\Psi _{2}:W\to W^{**}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {2}: W \ to W ^ {**}}$ $\ Psi _ {2}: W \ to W ^ {{**}}$ , sau:

f=\Psi _{2}^{-1}\circ \;^{t}(^{t}f)\;\circ \;\Psi _{1}

{\ displaystyle f = \ Psi _ {2} ^ {- 1} \ circ \; ^ {t} (^ {t} f) \; \ circ \; \ Psi _ {1}}

f = \ Psi _ {2} ^ {{- 1}} \ circ \; ^ {t} (^ {t} f) \; \ circ \; \ Psi _ {1}

În plus $\mathrm {ker} \;^{t}f=\mathrm {Ann} [\mathrm {Im} \;f]$ ${\ displaystyle \ mathrm {ker} \; ^ {t} f = \ mathrm {Ann} [\ mathrm {Im} \; f]}$ ${\ mathrm {ker}} \; ^ {t} f = {\ mathrm {Ann}} [{\ mathrm {Im}} \; f]$ Și $\operatorname {Im} ^{t}f=\operatorname {Ann} [\operatorname {Ker} f]$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} ^ {t} f = \ operatorname {Ann} [\ operatorname {Ker} f]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} ^ {t} f = \ operatorname {Ann} [\ operatorname {Ker} f]}$ si daca $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este matricea asociată cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu privire la două baze ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , apoi transpune-l $^{t}A$ ${\ displaystyle ^ {t} A}$ $^ {t} A$ este matricea asociată cu $^{t}f$ ${\ displaystyle ^ {t} f}$ $^ {t} f$ cu privire la bazele duale ale $W^{*}$ ${\ displaystyle W ^ {*}}$ $W ^ {*}$ Și $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ .

În limbajul teoriei categoriilor , operația care transformă spațiile vectoriale și morfismele lor în spații vectoriale duale cu morfisme transpuse este un functor contravariant din categoria spațiilor vectoriale de pe $\mathbb {K}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ $\ mathbb {K}$ in sinea lui.

Forma biliniară și spațiul bidual

După cum sa menționat mai sus, dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are spații de dimensiuni finite $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ sunt izomorfe: izomorfismul dintre cele două spații nu este, totuși, canonic , în sensul că pentru a o defini este necesar să se facă o alegere, aceea a unei baze pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Diferite alegeri dau izomorfisme diferite: fiecare izomorfism $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ definește o formă bilineară nedegenerată pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în felul următor:

\langle {\textbf {v}},{\textbf {w}}\rangle =(\Phi ({\textbf {v}}))({\textbf {w}})

{\ displaystyle \ langle {\ textbf {v}}, {\ textbf {w}} \ rangle = (\ Phi ({\ textbf {v}})) ({\ textbf {w}})}

{\ displaystyle \ langle {\ textbf {v}}, {\ textbf {w}} \ rangle = (\ Phi ({\ textbf {v}})) ({\ textbf {w}})}

și în mod similar, fiecare formă bilineară nedegenerată definește un izomorfism între $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ .

Spațiu dual topologic

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vector topologic și, prin urmare, este echipat cu o topologie adecvată (de exemplu, dacă este un spațiu Hilbert sau Banach ), putem generaliza noțiunea anterioară prin introducerea spațiului dual topologic, numit și spațiu dual continuu al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Spațiul topologic dual este utilizat pe scară largă în analiza matematică, în principal deoarece structurile topologice interesante pot fi definite pe acesta.

Definiție

Spațiul topologic dual ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ a spațiului vector topologic $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este definit ca spațiul funcționalelor liniare și continue pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . ^[3] Dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are dimensiuni finite, spații duale algebrice $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ și topologic ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ coincid, deoarece toate funcționalitățile liniare sunt continue. În general, acest lucru nu este adevărat $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are dimensiune infinită. Definiția dată este redusă la cea a spațiului algebric dual, chiar și în cazul în care este considerat spațiul vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ echipat cu topologia discretă , în care toate funcționalitățile sunt continue. Dualul continuu ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ a unui spațiu normat (de exemplu un spațiu Banach sau Hilbert ) este un spațiu normat complet sau spațiul Banach și norma $\|\phi \|$ ${\ displaystyle \ | \ phi \ |}$ $\ | \ phi \ |$ a uneifuncționale liniare continue $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este definit ca: ^[3]

\|\phi \|=\sup\{|\phi (x)|:\|x\|\leq 1\}

{\ displaystyle \ | \ phi \ | = \ sup \ {| \ phi (x) |: \ | x \ | \ leq 1 \}}

\ | \ phi \ | = \ sup \ {| \ phi (x) |: \ | x \ | \ leq 1 \}

Continuitatea $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ garantează că $\|\phi \|$ ${\ displaystyle \ | \ phi \ |}$ $\ | \ phi \ |$ este un număr finit. ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ este întotdeauna un spațiu Banach, chiar dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ nu este. În mod similar, un produs dot pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ induce unul pe ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ în așa fel încât, dacă primul este al lui Hilbert, la fel este și dualitatea lui.

Cu toate acestea, într-un spațiu vector topologic generic, pentru a defini noțiunea de limitare este necesar să recurgeți, în loc de noțiuni precum distanța sau norma obișnuită, la vecinătățile de origine: dat un spațiu vector topologic $(X,\tau )$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ $(X, \ tau)$ pe un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , un set $E\subset X$ ${\ displaystyle E \ subset X}$ $E \ subset X$ se spune că este limitată în topologie $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ dacă și numai dacă pentru fiecare cartier $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ a originii există un număr real pozitiv $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ (dependent de $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ ) astfel încât $E\subset \alpha D$ ${\ displaystyle E \ subset \ alpha D}$ $E \ subset \ alpha D$ , adică $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ trebuie să fie conținut într-un multiplu adecvat al fiecărui cartier de origine. Cu alte cuvinte, un set este delimitat dacă este un set absorbant pentru orice vecinătate a vectorului zero.

Caracterizarea cu o topologie a spațiului dual continuu ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ a unui spațiu vector topologic $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , prin urmare, se întâmplă datorită unei clase ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${{\ mathcal A}}$ subseturi delimitate de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ astfel încât topologia este generată de o familie de semi - norme de formă:

\|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|

{\ displaystyle \ | \ varphi \ | _ {A} = \ sup _ {x \ în A} | \ varphi (x) |}

\ | \ varphi \ | _ {A} = \ sup _ {{x \ în A}} | \ varphi (x) |

unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este o funcționalitate liniară continuă definită pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ intervale în clasă ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${{\ mathcal A}}$ . Această topologie este asociată cu convergența uniformă a funcționalităților definite pe seturile de ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${{\ mathcal A}}$ :

\|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}

{\ displaystyle \ | \ varphi _ {i} - \ varphi \ | _ {A} = \ sup _ {x \ in A} | \ varphi _ {i} (x) - \ varphi (x) | {\ underset {i \ to \ infty} {\ longrightarrow}} 0 \ qquad \ forall A \ in {\ mathcal {A}}}

\ | \ varphi _ {i} - \ varphi \ | _ {A} = \ sup _ {{x \ in A}} | \ varphi _ {i} (x) - \ varphi (x) | {\ underset { i \ to \ infty} {\ longrightarrow}} 0 \ qquad \ forall A \ in {{\ mathcal A}}

Clasa este de obicei presupusă a fi ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${{\ mathcal A}}$ îndeplinește următoarele condiții:

Fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ aparține unor seturi $A\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}$ $A \ in {{\ mathcal A}}$ .
Fiecare pereche de seturi $A\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}$ $A \ in {{\ mathcal A}}$ Și $B\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {A}}}$ $B \ in {{\ mathcal A}}$ este cuprins într-un anumit set $C\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle C \ in {\ mathcal {A}}}$ $C \ in {{\ mathcal A}}$ .
Clasa ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${{\ mathcal A}}$ este închisă în raport cu înmulțirea prin operație scalară.

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, atunci topologia corespunzătoare este activată ${V.}^{'}$ ${\ displaystyle V '}$ $V '$ este al lui Hausdorff, iar mulțimile:

U_{A}=\{x\in V:\quad ||\varphi ||_{A}<1\}\qquad A\in {\mathcal {A}}

{\ displaystyle U_ {A} = \ {x \ in V: \ quad || \ varphi || _ {A} <1 \} \ qquad A \ in {\ mathcal {A}}}

U_ {A} = \ {x \ in V: \ quad || \ varphi || _ {A} <1 \} \ qquad A \ in {{\ mathcal A}}

constituie baza sa locală.

Exemple

Este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un număr real mai mare de 1. Spațiul l ^p este ansamblul tuturor secvențelor $\mathbf {a} =(a_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {n})}$ ${\ mathbf {a}} = (a_ {n})$ astfel încât

\|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {a} \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}

\ | {\ mathbf {a}} \ | _ {p} = \ left (\ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {{ 1 / p}}

s-a terminat. Este $p^{*}$ ${\ displaystyle p ^ {*}}$ $p ^ {*}$ numărul pentru care se aplică $1/p+1/p^{*}=1$ ${\ displaystyle 1 / p + 1 / p ^ {*} = 1}$ $1 / p + 1 / p ^ {*} = 1$ . Apoi dualul continuu al $l^{p}$ ${\ displaystyle l ^ {p}}$ $l ^ {p}$ se identifică în mod natural cu $l^{p^{*}}$ ${\ displaystyle l ^ {p ^ {*}}}$ ${\ displaystyle l ^ {p ^ {*}}}$ în modul următor: dat o funcționalitate continuă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ pe $l^{p}$ ${\ displaystyle l ^ {p}}$ $l ^ {p}$ , elementul corespunzător din $l^{p}$ ${\ displaystyle l ^ {p}}$ $l ^ {p}$ este succesiunea $(\phi (\mathbf {e} _{n}))$ ${\ displaystyle (\ phi (\ mathbf {e} _ {n}))}}$ $(\ phi ({\ mathbf e} _ {n}))$ , unde este $\mathbf {e} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {n}}$ ${\ mathbf e} _ {n}$ este secvența al cărei al treilea termen este 1 și toți ceilalți sunt nul. Pe de altă parte, dat un element $\mathbf {a} =(a_{n})\in l^{p^{*}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {n}) \ în l ^ {p ^ {*}}}$ ${\ mathbf {a}} = (a_ {n}) \ în l ^ {{p ^ {*}}}$ , funcțional liniar continuu corespunzător $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ pe $l^{p}$ ${\ displaystyle l ^ {p}}$ $l ^ {p}$ este definit ca:

\phi (\mathbf {a} )=\sum _{n}a_{n}b_{n}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {a}) = \ sum _ {n} a_ {n} b_ {n}}

\ phi ({\ mathbf a}) = \ sum _ {n} a_ {n} b_ {n}

pentru fiecare $\mathbf {a} =(a_{n})\in l^{p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {n}) \ în l ^ {p}}$ ${\ mathbf {a}} = (a_ {n}) \ în l ^ {p}$ . Identificarea folosește inegalitatea Hölder .

Am notat asta $p^{**}=p$ ${\ displaystyle p ^ {**} = p}$ $p ^ {{**}} = p$ : și în acest context spațiul este izomorf într-un mod natural cu bidualul său. Cu toate acestea, acest lucru nu este întotdeauna adevărat în general: dualul continuu al $l^{1}$ ${\ displaystyle l ^ {1}}$ $l ^ {1}$ se identifică în mod natural cu spațiul $l^{\infty }$ ${\ displaystyle l ^ {\ infty}}$ $l ^ {\ infty}$ de secvențe mărginite, dar dualul continuu al $l^{\infty }$ ${\ displaystyle l ^ {\ infty}}$ $l ^ {\ infty}$ este un spațiu „mai mare” decât $l^{1}$ ${\ displaystyle l ^ {1}}$ $l ^ {1}$ .

Bidual și spații reflectorizante

Același subiect în detaliu: Spațiu reflectorizant .

Bidualul topologic $V^{**}$ ${\ displaystyle V ^ {**}}$ $V ^ {**}$ este deci definit ca dualul topologic al $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ . Similar cu ceea ce am văzut mai sus, există o hartă canonică injectivă, numită harta lui James:

\Psi :V\to V''

{\ displaystyle \ Psi: V \ to V ''}

\ Psi: V \ to V "

Spre deosebire de cele de mai sus, această hartă poate fi totuși surjectivă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ are o dimensiune infinită: în acest caz, spațiul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ se spune reflexiv ^[4] . În special, un spațiu convex local este reflexiv dacă coincide cu dualul continuu al dualului său continuu atât ca spațiu topologic, cât și ca spațiu vector.

Fiecare spațiu Hilbert este reflexiv ^[5] . Spații Banach L ^p per $p>1$ ${\ displaystyle p> 1}$ $p> 1$ sunt reflexive ^[6] , dar $L^{1}$ ${\ displaystyle L ^ {1}}$ $L ^ {1}$ Și $L^{\infty }$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty}}$ $L ^ {\ infty}$ ei nu sunt.

Spațiul precedent

Dacă închideți un spațiu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ atunci este spațiul dual al unui alt spațiu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ se numește spațiu predual sau pur și simplu predual . ^[7]

Notă

^ S. Lang , Pagina 167 .
^ S. Lang , p. 169 .
^ ^a ^b H. Brezis , Pagina 4 .
^ H. Brezis , pagina 66 .
^ H. Brezis , p . 127 .
^ H. Brezis , pagina 92 .
^ Treccani - Dicționar de științe fizice (2012) , pe treccani.it . Adus la 26 iulie 2011 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Haïm Brezis , Analiza funcțională - Teorie și aplicații , Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe spațiu dual

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] S. Lang , Pagina 167 .

[2] S. Lang , p. 169 .

[HBrezis-3] H. Brezis , Pagina 4 .

[4] H. Brezis , pagina 66 .

[5] H. Brezis , p . 127 .

[6] H. Brezis , pagina 92 .

[7] Treccani - Dicționar de științe fizice (2012) , pe treccani.it . Adus la 26 iulie 2011 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Carrier · subspatiu ( Subspatiul generat ) · Aplicație Liniar ( Core · imagine ) · Base · Dimensiunea · dimensiunea Teorema · Grassmann Formula · sistem liniar · Gauss algoritm · Rouche-Capelli , teorema · Regula lui Cramer · spațiu dual · proiectiv spațiu · afină spațiu · Dimensiune teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema