Punct periodic

În matematică , un punct periodic cu un punct $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ a unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ a domeniului $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ unde apare:

f^{n}(x_{0})=x_{0}

{\ displaystyle f ^ {n} (x_ {0}) = x_ {0}}

{\ displaystyle f ^ {n} (x_ {0}) = x_ {0}}

unde este $f^{n}$ ${\ displaystyle f ^ {n}}$ $f ^ {n}$ este definit recursiv prin:

f^{0}(x)=x\qquad f^{n}(x)=f(f^{n-1}(x))

{\ displaystyle f ^ {0} (x) = x \ qquad f ^ {n} (x) = f (f ^ {n-1} (x))}

{\ displaystyle f ^ {0} (x) = x \ qquad f ^ {n} (x) = f (f ^ {n-1} (x))}

Cel mai mic $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru care $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un punct periodic se numește perioadă primitivă sau perioadă minimă . Dacă toate punctele domeniului unei funcții sunt periodice cu aceeași perioadă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , se are în vedere o funcție de perioadă periodică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Un punct fix este un punct periodic cu perioada primitivă 1.

În studiul sistemelor dinamice , fiecare punct al unei orbite periodice este un punct periodic pentru orbită.

Sisteme dinamice

Un punct periodic al unui sistem dinamic este un punct al unei traiectorii periodice (închise) neconstante parcurse de sistemul dinamic. Adică, având în vedere un sistem dinamic real $(\mathbb {R} ,X,\Phi )$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, X, \ Phi)}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, X, \ Phi)}$ , cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ spațiul de fază e $\Phi :\mathbb {R} \times X\to X$ ${\ displaystyle \ Phi: \ mathbb {R} \ times X \ to X}$ ${\ displaystyle \ Phi: \ mathbb {R} \ times X \ to X}$ evoluția sa, un punct $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ este periodic cu punct $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ de sine:

\Phi (t+T,x)=\Phi (t,x)

{\ displaystyle \ Phi (t + T, x) = \ Phi (t, x)}

{\ displaystyle \ Phi (t + T, x) = \ Phi (t, x)}

\Phi (t+t',x)\neq \Phi (t,x)\qquad 0<t'<T

{\ displaystyle \ Phi (t + t ', x) \ neq \ Phi (t, x) \ qquad 0 <t' <T}

{\ displaystyle \ Phi (t + t ', x) \ neq \ Phi (t, x) \ qquad 0 <t' <T}

De sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un punct periodic limita relativă setată coincide cu traiectoria periodică la care $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ apartine.

Puncte hiperbolice

De sine $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ este o funcție diferențiată , un punct fix $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ se spune că este hiperbolic dacă matricea iacobiană a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ nu are valori proprii ale modulului 0 sau 1. Un punct periodic al perioadei $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ se numește punct periodic hiperbolic dacă este un punct fix hiperbolic pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . ^[1]

Dacă există vreo valoare proprie $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ al Jacobianului din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ calculat la un punct periodic hiperbolic $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ satisface $0<|\lambda |<1$ ${\ displaystyle 0 <| \ lambda | <1}$ ${\ displaystyle 0 <| \ lambda | <1}$ asa de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ se numește „fântână” sau atrăgător ; dacă există vreo valoare proprie $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ al Jacobianului din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ satisface $|\lambda |>1$ ${\ displaystyle | \ lambda |> 1}$ ${\ displaystyle | \ lambda |> 1}$ asa de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ se numește „sursă”, altfel este un punct de șa .

Notă

^ Yaroslav Vorobets - Lectura 18: Multiple stabile și instabile. Seturi hiperbolice.

Bibliografie

( EN ) L. Markus, Prelegeri în dinamică diferențiată , Amer. Matematica. Soc. (1980) pp. Anexa II MR0309152 Zbl 0214.50701
( EN ) DA Neumann, "Existența orbitelor periodice pe 2-colectoare" J. Eq. Diferențială. , 27 (1987) pp. 313-319 MR0482857 Zbl 0337.34041
( EN ) PH Rabinowitz; A. Ambrosetti; I. Ekeland; EJ Zehnder, Soluții periodice ale sistemelor hamiltoniene și subiecte conexe , Proc. NATO Adv. Res. Workshop, 1986, Reidel (1987)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VM Millionshchikov, punct periodic , în Enciclopedia de matematică , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Punct periodic în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Cea mai mică perioadă în MathWorld Wolfram Research.

Portal de inginerie

Portalul de matematică

[1] Yaroslav Vorobets - Lectura 18: Multiple stabile și instabile. Seturi hiperbolice.

[1]